В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.
Что такое модуль?
Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3
| 3 |= 3
|−3|= 3
Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:
Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:
|x1 − x2|
Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.
Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.
Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:
|2 − 5| = |−3| = 3
Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:
Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3
То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:
|5 − 2| = | 3 | = 3
Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:
|x1 − x2| = |x2 − x1|
Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.
Раскрытие модуля
Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ 0» и «если x < 0».
В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.
Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x < 0, то под знáком модуля располагается отрицательное число. После знака равенства нужно подстáвить данное отрицательное число вместо x и раскрыть скобки.
Например, найдём модуль числа −7, используя правило раскрытия модуля:
Итак, x = −7
|−7|
В данном случае выполняется второе условие x < 0, ведь −7 < 0
Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = −x. Подстáвим вместо x число −7
Отсюда:
Поэтому |−7| = 7.
Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5
| 5 |
В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0
Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.
Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,
|√4 − 6|
Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид
|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4|
x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x < 0, ведь −4 < 0
Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x. Продолжаем решение в исходном примере:
|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4
На практике обычно рассуждают так:
«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».
Примеры:
|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0
|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 < 0
В некоторых учебниках можно встретить следующую запись правила раскрытия модуля:
В этой записи первое условие которое ранее выглядело как x ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если x > 0, то выражение |x| будет равно x, а если x=0, то выражение |x| будет равно нулю.
Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:
| 0 |
В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0
Отсюда: |0| = 0
Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3
Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.
Если x < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −x + 3. Чтобы сделать это выражение более удобным для восприятия, поменяем местами его члены, полýчим 3 − x
Теперь запишем решение так:
Проверим это решение при произвольных значениях x.
Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:
|x|+ 3 = x + 3 = 5 + 3 = 8
Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 < 0, то модуль содержащийся в выражении |x|+ 3 раскроется со знаком минус и тогда решение примет вид:
|x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9
Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|
Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3, откуда 2x + 3.
Если x + 3 < 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком минус и тогда исходное выражение примет вид x − (x + 3), откуда x − x − 3 = −3.
Запишем решение так:
Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 являются неравенствами. Их можно привести к более простому виду, решив их:
Тогда условия из решения можно заменить на равносильные x ≥ −3 и x < −3
Во втором случае когда x строго меньше −3 выражение x +|x + 3| всегда будет равно постоянному числу −3.
Например, найдём значение выражения x +|x + 3| при x = −5. Поскольку −5 < −3, то согласно нашему решению значение выражения x +|x + 3| будет равно −3
При x = −5,
x +|x + 3| = x − x − 3 = −5 − (−5) − 3 = −3
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11
При x = 4,
x +|x + 3| = 2x+3 = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.
Поскольку −3 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3
x +|x + 3| = 2x + 3 = 2 × (−3) + 3 = −6 + 3 = −3
Пример 3. Раскрыть модуль в выражении 
Как и прежде используем правило раскрытия модуля:
Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие x ≥ 0, которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.
В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0
Перепишем решение так:
В первом случае написано условие x > 0. Тогда выражение станет равно 1. Например, если x = 3, то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1
И так будет при любом x, бóльшем нуля.
Во втором случае написано условие x = 0. Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.
В третьем случае написано условие x < 0. Тогда выражение станет равно −1. Например, если x = −4, то числитель станет равен 4, а знаменатель −4, откуда полýчится единица −1
Пример 4. Раскрыть модуль в выражении 
Если x ≥ 0, то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид 
, которое при любом x, бóльшем нуля, будет равно единице:
Если x < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид 
Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x < 0 следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x
Преобразование выражений с модулями
Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.
Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.
Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.
Решение
Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:
Раскроем модуль в получившемся выражении. Если |x| ≥ 0, то получим 3x − 2x + 5y, откуда x + 5y.
Если |x| < 0, то получим −3x − 2x + 5y, откуда −5x + 5y. Вынесем за скобки множитель −5, получим −5(x − y)
В итоге имеем следующее решение:
Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|
Решение
В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x
Если x < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c.
В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:
ax2 + bx + c = 0
Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.
Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.
Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:
a(x − x1)(x − x2)
Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
x2 − 8x + 12
Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:
x2 − 8x + 12 = 0
В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:
Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2
x2 − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)
Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:
x2 − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)
Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.
Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12
(x − 6)(x − 2) = x2 − 6x − 2x + 12 = x2 − 8x + 12
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
2x2 − 14x + 24
Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:
2x2 − 14x + 24 = 0
Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:
Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2
2x2 − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)
Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x2 − 14x + 24
2(x − 4)(x − 3) = 2(x2 − 4x −3x + 12) = 2(x2 − 7x + 12) = 2x2 − 14x + 24
Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
x2 + bx + c
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Тогда приведённый квадратный трехчлен x2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x2
Далее замечаем, что выражение (x − x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Мы пришли к тому, что выражение x2 + bx + c стало равно (x − x1)(x − x2)
x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2)
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax2 + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства 
и 
Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1
Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a
Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax2 + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:
Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:
Мы пришли к тому, что выражение ax2 + bx + c стало равно a(x − x1)(x − x2)
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2.
Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2. Например, квадратный трёхчлен x2 + 4x + 4 имеет только один корень −2
Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:
Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:
При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 − 2x − 1
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x2 − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3 − 11x + 6x2
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
6x2 − 11x + 3
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 + 7x − 6
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)
Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x1
Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби 
, а произведение корней — дроби 
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим 
. Если поменять местами сомножители, то получится 
. То есть коэффициент a станет равным 
Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Теорема Виета
Что называют теоремой?
Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.
Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.
Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.
Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:
«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».
А затем привести такое доказательство:
Пусть, имеется дробь 
. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь 
. Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство 
является верным.
Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:
Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и 
равны. Теорема доказана.
Теорема Виета
Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.
То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:
Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.
Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.
Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:
А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x2 + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x2 + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:
А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x2 + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:
Значит выражение является справедливым.
Рассмотрим квадратное уравнение x2 − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:
А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:
Видим, что корнями уравнения x2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x2 − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.
А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x2 − 8x + 15 = 0.
Значит выражение является справедливым.
Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.
Например, рассмотрим квадратное уравнение x2 − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:
Но уравнение x2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:
D1 = k2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3
А значит записывать выражение не имеет смысла.
Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.
Например, запишем для уравнения x2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5, так и равенству x1 × x2 = 6.
Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2
Значит, x1 = 3, x2 = 2
Доказательство теоремы Виета
Пусть дано приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.
Вспомним формулы корней квадратного уравнения:
Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2
Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим дробь 
на 2, тогда получим −b
Значит x1 + x2 действительно равно −b
x1 + x2 = −b
Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.
Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:
Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:
В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится 
А знаменатель будет равен 4
Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение 
станет равно просто D
Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c
В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим получившуюся дробь на 4
Значит x1 × x2 действительно равно c.
x1 × x2 = c
Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c). Теорема доказана.
Теорема, обратная теореме Виета
Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:
Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.
Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.
Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:
А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.
Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.
Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8
Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6, так и равенству x1 × x2 = 8
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.
Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.
4 × 2 = 8
1 × 8 = 8
Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8, но и равенству x1 + x2 = 6.
Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8, но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6.
Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8, так и равенству x1 + x2 = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:
Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.
Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:
Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0
Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1
Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b
Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.
Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.
Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.
Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета
Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:
В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4
Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле 
Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.
Пример 2. Решить уравнение x2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.
Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.
Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2.
Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2, но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3.
Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.
Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.
Итак, корнями являются числа −1 и −2
Пример 3. Решить уравнение x2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.
Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.
Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15
Пример 4. Решить уравнение x2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10
Значит корнями уравнения x2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13
Пример 5. Первый корень уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.
По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45
x1 × x2 = 45
При этом один из корней уже известен — это корень 15.
15 × x2 = 45
Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3
15 × 3 = 45
Значит x2 = 3
Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2
Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:
15 + 3 = 18
По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:
x2 − 18x + 45 = 0
Значит b = −18.
Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:
Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 45
Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:
Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:
Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18
Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18
Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1
Теперь возвращаемся к исходному уравнению x2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b
Выполним умножение −18 на x. Получим −18x
Раскроем скобки:
Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.
В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2, x2 = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.
Запишем сумму и произведение корней:
По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.
Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.
Значит b = −10, c = 16. Отсюда:
x2 − 10x + 16 = 0
Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 
и 
.
Запишем сумму и произведение корней:
Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:
x2 − 2x − 1 = 0
Когда квадратное уравнение неприведённое
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.
Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.
Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a
Получилось уравнение 
, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен 
, а свободный член равен 
. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:
Например, решим квадратное уравнение 4x2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4
Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен 
, а свободный член 
. Тогда по теореме Виета имеем:
Отсюда методом подбора находим корни −1 и
Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.
Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x2 − 7x + 2 = 0
Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.
Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2
Получили уравнение 
. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:
Отсюда методом подбора находим корни 2 и 
Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x2 − 3x − 2 = 0
Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2
Далее если −3x разделить на 2, то полýчится 
. Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде 
Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1
Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:
Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:
Отсюда методом подбора находим корни 2 и 
Задания для самостоятельного решения
![](http://spacemath.xyz/wp-content/uploads/2019/11/teorema-vieta-zadanie-1.png")
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D1 = k2 − ac, а корни по формулам 
и 
.
Примеры
Решим квадратное уравнение x2 + 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.
Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.
n = 2k
Например, число 10 можно представить как 2 × 5.
10 = 2 × 5
В этом произведении k = 5.
Число 12 можно представить как 2 × 6.
12 = 2 × 6
В этом произведении k = 6.
Число −14 можно представить как 2 × (−7)
В этом произведении k = −7.
Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.
В уравнении x2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.
Найдем дискриминант по формуле D1 = k2 − ac
D1 = k2 − ac = 32 − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25
Теперь вычислим корни по формулам: и .
Значит корнями уравнения x2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.
В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b2 − 4ac), в формуле D1 = k2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.
И в отличие от формул 
и 
формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.
Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x2 − 6x + 1=0
Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac
D1 = k2 − ac = (−3)2 − 5 × 1 = 9 − 5 = 4
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
Пример 3. Решить квадратное уравнение x2 − 10x − 24 = 0
Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac
D1 = k2 − ac = (−5)2 − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.
Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2
Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2
Пример 5. Решить квадратное уравнение 
Коэффициент b равен 
. Это выражение состоит из множителя 2 и выражения 
. То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что 
Найдём дискриминант по формуле D1 = k2 − ac
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и
При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.
В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен 
.
Вычислим второй корень уравнения:
Вывод формул
Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.
Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k
b = 2k
Заменим в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k
ax2 + 2kx + c = 0
Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:
D = b2 − 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k2 − 4ac
Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4
D = b2 − 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k2 − 4ac = 4(k2 − ac)
Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k2 − ac.
В выражении 4(k2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k2 − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.
То есть выражение k2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1
D1 = k2 − ac
Теперь посмотрим как выводятся формулы и .
В нашем уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k2 − ac)
Но ранее было сказано, что выражение k2 − ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:
Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:
Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2
Сократим получившуюся дробь на 2
Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Квадратное уравнение
Что такое квадратное уравнение и как его решать?
Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.
Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.
Например, следующие уравнения являются квадратными:
Решим первое из этих уравнений, а именно x2 − 4 = 0.
Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.
Итак, в уравнении x2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:
Получили уравнение x2 = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.
У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.
Чтобы решить уравнение x2 = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.
Число b называется квадратным корнем из числа a, если b2 = a и обозначается как 
У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x2 = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.
Тогда можно записать, что 
. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.
Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед 
следует поставить знак ±
Затем найти арифметическое значение квадратного корня
Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:
Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:
В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.
Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)2 = 25
Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5
То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:
Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:
Значит корнями уравнения (x + 2)2 = 25 являются числа 3 и −7.
В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что 
.
Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.
Запишем полностью решение уравнения (x + 2)2 = 25
Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2
В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x1 = 2 и x2 = −2.
Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.
Сделаем проверку для уравнения (x + 2)2 = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:
В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.
Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:
ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.
Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.
Пусть дано уравнение 3x2 + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.
Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax2 + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:
3x2 + 2x − 16 = 0
Получили уравнение 3x2 + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.
В квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.
В нашем случае для уравнения 3x2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2; свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.
Так, в уравнении 3x2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.
В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.
Например, если дано уравнение −5 + 4x2 + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.
В уравнении −5 + 4x2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:
Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.
Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0.
Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.
Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.
Пусть дано квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:
Получилось уравнение 2x2 − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:
2x2 = 8
Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2
У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x2 = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x2 = 4, то 
. Отсюда x = 2 и x = −2.
Значит корнями уравнения 2x2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:
Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:
В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.
Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax2 + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0.
У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x2 − 4 = 0.
В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x2 − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax2 + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.
Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.
Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0
Получили квадратное уравнение 2x2 + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:
Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).
В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:
Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.
Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:
Видим, что второй корень равен −3.
Значит корнями уравнения 2x2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:
Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:
Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:
Получили уравнение 2x2 = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 02 = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.
Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.
Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.
Например, если дано уравнение 2x2 − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax2 + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.
Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x2 − 2x + 1 = 0.
Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.
Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)2.
Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x
Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что 
. В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.
Значит корнем уравнения x2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.
Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x2 + 2x − 3 = 0.
В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:
В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:
Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что 
. Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3
Значит корнями уравнения x2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.
Выполним проверку:
Пример 3. Решить уравнение x2 − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.
Выделим полный квадрат из левой части:
Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x
Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:
Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x2 + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:
Выделим полный квадрат из левой части:
Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:
Воспользуемся квадратным корнем:
Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:
Пример 5. Решить уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0
Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.
Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)2 = 22x2 = 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:
В уравнении 2x2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.
Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.
Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:
Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2
Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:
Выделим полный квадрат.
При представлении члена 
в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби 
сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.
Свернём полученный полный квадрат:
Приведём подобные члены:
Перенесём дробь 
в правую часть, изменив знак:
Воспользуемся квадратным корнем. Выражение 
представляет собой квадратный корень из числа 
Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Тогда наше уравнение примет вид:
Полýчим два уравнения:
Решим их:
Значит корнями уравнения 2x2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и 
.
Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.
Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:
В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0 решено верно.
Решая уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:
Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.
Любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 нужно разделить на a
Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x2 + x + 2 = 0
Сделаем данное уравнение приведённым:
Выделим полный квадрат:
Получили уравнение 
, в котором квадрат выражения 
равен отрицательному числу 
. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.
Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.
А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x2 + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.
Формулы корней квадратного уравнения
Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.
Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.
Взяв за основу буквенное уравнение ax2 + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.
Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a
Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:
Перенесем члены 
и 
в правую часть, изменив знак:
Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:
В числителе правой части вынесем за скобки a
Сократим правую часть на a
Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение 
имеет те же корни, что и исходное уравнение ax2 + bx + c = 0.
Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.
Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби 
будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b2 − 4ac.
Выражение b2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D
D = b2 − 4ac
Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x2 + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac
D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.
Видим, что D (оно же b2 − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.
Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.
Итак, D равно b2 − 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b2 − 4ac букву D
Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:
В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.
Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:
В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:
Получили уравнение 
. Из него полýчится два уравнения: 
и 
. Выразим x в каждом из уравнений:
Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.
Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:
Очерёдность применения формул не важнá.
Решим например квадратное уравнение x2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.
Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.
Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x2 + 2x − 8 = 0
D = b2 − 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения x2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:
Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:
И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:
Далее выражаем x
Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x2 − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.
Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:
D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле
Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является число 3.
Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.
Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3
Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.
Пример 3. Решить уравнение 5x2 − 6x + 1 = 0
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения 5x2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и 
.
Ответ: 1; .
Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x + 4 = 0
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле
Значит корнем уравнения x2 + 4x + 4 = 0 является число −2.
Ответ: −2.
Пример 5. Решить уравнение 3x2 + 2x + 4 = 0
Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.
Ответ: корней нет.
Пример 6. Решить уравнение (x + 4)2 = 3x + 40
Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:
Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:
Приведём подобные члены в левой части:
В получившемся уравнении найдём дискриминант:
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения (x + 4)2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8.
Ответ: 3; −8.
Пример 7. Решить уравнение 
Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:
В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0
Приведём подобные члены в левой части:
В получившемся уравнении найдём дискриминант:
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.
Ответ: 23; −1.
Пример 8. Решить уравнение 
Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:
В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:
Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0
Приведём подобные члены в левой части:
В получившемся уравнении найдём дискриминант:
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:
Значит корнями уравнения являются числа 
и 2.
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1. Решить уравнение x2 = 81
Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:
Ответ: 9, −9.
Пример 2. Решить уравнение x2 − 9 = 0
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:
Ответ: 3, −3.
Пример 3. Решить уравнение x2 − 9x = 0
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:
Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.
Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:
Ответ: 0, 9.
Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x − 5 = 0
Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.
Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:
D = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:
Ответ: 1, −5.
Пример 5. Решить уравнение 
Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:
В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:
Приведём подобные члены:
Решим получившееся уравнение с помощью формул:
Ответ: 5, 
.
Пример 6. Решить уравнение x2 = 6
В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:
Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:
Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:
Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)2 + (x − 2)2 = 13
Раскроем скобки в левой части уравнения:
В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:
Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:
Ответ: 0, −1,6.
Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0
Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.
Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.
Раскроем скобки:
Приведём подобные члены:
Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:
Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:
Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:
Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:
Примеры решения задач
Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?
Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:
Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:
Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:
2x × x
По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8
2x × x = 8
Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.
Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:
2x2 = 8
В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.
Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2
Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.
Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.
А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:
2x = 2 × 2 = 4
Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2
4 × 2 = 8 м2
Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.
Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2
Решение
Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:
x(x + 10) = 1200
Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:
Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0
Решим получившееся уравнение с помощью формул:
Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.
Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:
x + 10 = 30 + 10 = 40 м
Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2
40 × 30 = 1200 м2
Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.
Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:
P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.
Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.
Задания для самостоятельного решения
.Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Алгоритм извлечения квадратного корня
Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня 
Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.
Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.
Как пользоваться алгоритмом
Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.
Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.
Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:
Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.
Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:
Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40
Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36
Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496
Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5
Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4
Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6
А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496
Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:
Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:
Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64
Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.
Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:
Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:
Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4
Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41
Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41
Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1
Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2
А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41
Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:
Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.
Разбиваем число 101761 на грани:
Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.
Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:
Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)
Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117
Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117
Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1
Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3
Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.
Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661
Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661
Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1
Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:
Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.
Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:
Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.
Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:
Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)
Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.
Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 52 на 5 квадратных единиц.
Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.
Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525
Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5
Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:
Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:
В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55
Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.
Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.
Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:
Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.
Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:
Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)
Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232
Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232
Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5
Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2
Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.
Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 252 на 7 квадратных единиц.
Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:
Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1
Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125
Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.
К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125
Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5
Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1
Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:
В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515
Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.
Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:
В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3
Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)
Выполним вычитание 11 − 9 = 2
Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 32 на две квадратные единицы.
Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.
Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.
Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:
Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:
Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
В данном случае подойдёт цифра 3
Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00
Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.
К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
В данном случае подойдёт цифра 1
Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00
Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.
К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.
Проверим цифру 7
Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6
Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1
Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144
Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.
Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:
Как работает алгоритм
Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Геометрически эту формулу можно представить так:
То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Нужно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.
Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.
Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :
212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 × 20 × 1 + 12 = 400 + 40 + 1 = 441
Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.
Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.
Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, 
. Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.
А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:
1232 = (100 + 20 + 3)2
При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)2
Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.
Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:
Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:
Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:
Запишем каждое число под знáком корня:
Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:
Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.
Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096
(a + b)2 = 4096
Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b
Перепишем в равенстве (a + b)2 = 4096 левую часть в виде a2 + 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 = 4096
Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:
Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.
Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:
Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.
Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:
На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.
Из 4000 как и 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:
10 — один десяток
30 — три десятка
120 — двенадцать десятков
При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:
102 = 100
302 = 900
1202 = 14400
Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.
Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a2 значение 3600
Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:
Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60
Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:
Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.
Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496
На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.
Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.
Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:
Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b
Сумма площадей 2ab + b2 должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:
2ab + b2 = 496
Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:
2 × 60 × b + b2 = 496
120b + b2 = 496
Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4
120 × 4 + 42 = 496
480 + 16 = 496
496 = 496
Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b + b2 = 496 и вынесем b за скобки:
b(120 + b) = 496
Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.
Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.
Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.
Итак, b = 4. Тогда:
4(120 + 4) = 496
4 × 124 = 496
496 = 496
При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.
Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:
4096 − 3600 − 496 = 0
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756
Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:
Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:
Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.
Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000
10000 < 54756 < 90000
Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.
Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.
Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756
(a + b + c)2 = 54756
Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c
Выполним в левой части равенства (a + b + c)2 = 54756 возведéние в квадрат:
Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:
Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc
2(ac + bc) = 2ac + 2bc
Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.
Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.
При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:
Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:
На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.
Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:
100 — одна сотня
500 — пять сотен
900 — девять сотен
При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:
1002 = 10000
5002 = 250000
9002 = 810000
Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.
Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a2 значение 40000
Теперь извлечём корень из квадрата 40000
Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200
Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:
Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:
Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756
Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b2 (или 2ab + b2). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b2.
Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:
Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b2
2ab + b2 = 14700
Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:
2 × 200 × b + b2 = 14700
400b + b2 = 14700
Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b
b(400 + b) = 14700
Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40
40(400 + 40) = 14700
17600 ≠ 14700
Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30
30(400 + 30) = 14700
12900 ≤ 14700
Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:
Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b2 это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000
Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.
Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856
С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856
Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c2. В эту сумму и должен входить последний остаток 1856
2(a + b)c + c2 = 1856
Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:
2(200 + 30)c + c2 = 1856
2 × 230c + c2 = 1856
460c + c2 = 1856
Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с
с(460 + c) = 1856
Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4
4(460 + 4) = 1856
4 × 464 = 1856
1856 = 1856
Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856
Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.
Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.
Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:
54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3
Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.
Пусть 3 это площадь следующего квадрата:
Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:
Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4
√1 < √3 < √4
Корни из 1 и 4 являются целыми числами.
√1 < √3 < √4
1 < √3 < 2
Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.
Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b
Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.
(a + b)2 ≈ 3
Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:
a2 + 2ab + b2 ≈ 3
Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:
Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1
Если a2 это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:
Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b2. Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его
2ab + b2 ≈ 2
Значение a уже известно, оно равно единице:
2b + b2 ≈ 2
Вынесем за скобки b
b(2 + b) ≈ 2
Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.
Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8
0,8(2 + 0,8) ≈ 2
2,24 ≈ 2
Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7
0,7(2 + 0,7) ≈ 2
1,89 ≈ 2
Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b
Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7
К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Квадратный корень
Основные сведения
Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.
Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см
S = 32 = 9 см2
Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.
Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.
Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.
Введём для работы с корнями новые обозначения.
Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .
Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)
Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)
Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.
Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:
Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.
Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9
Получается, что выражение 
имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.
Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.
Например, извлечём квадратный корень из числа 4
Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4
Поэтому ответ к выражению вида 
записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.
Запишем ответ к выражению 
с плюсом и минусом:
Определения
Дадим определение квадратному корню.
Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.
То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b2 = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал так, что 
. На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение 
Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16
42 = 16
Корень 4 можно обозначить через радикал 
так, что 
.
Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16
(−4)2 = 16
Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.
Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.
В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».
Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.
Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.
Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись
. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.
Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:
Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:
12 = 1
и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:
Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство 
, поскольку 02 = 0.
Выражение вида 
смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение 
, поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.
Если выражение вида 
возвести во вторую степень, то есть если записать 
, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a
Например, выражение 
равно 4
Это потому что выражение равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.
Еще примеры:
Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:
Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5
Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5
Действительно, если не пользуясь правилом 
, вычислять выражение 
обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5
Не следует путать правило с правилом 
. Правило верно при любом a, тогда как правило верно в том случае, если выражение имеет смысл.
В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:
Примеры: √4, √9, √16.
Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.
Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.
49 < 64
Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,
√49 < √64
Отсюда:
7 < 8
Примеры извлечения квадратных корней
Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.
Пример 1. Извлечь квадратный корень √36
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 62 = 36
√36 = 6
Пример 2. Извлечь квадратный корень √49
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 72 = 49
√49 = 7
В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:
7 × 7 = 49
Но 7 × 7 это 72
72 = 49
Отсюда, √49 = 7.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √100
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.
Пример 3. Извлечь квадратный корень √256
Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.
Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.
Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.
Пример 4. Найти значение выражения 2√16
В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2
Пример 7. Решить уравнение 
В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.
Значение переменной x равно 16, поскольку 
. Значит корень уравнения равен 16.
Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .
Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.
Из определения мы знаем, что квадратный корень равен числу b, при котором выполняется равенство b2 = a.
Применим равенство b2 = a к нашему примеру . Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем 
, а именно переменная x
В выражении 42 = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.
Пример 8. Решить уравнение 
Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:
Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x
Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения равен 64
Пример 9. Решить уравнение 
Воспользуемся определением квадратного корня:
Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x
В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:
Корень уравнения равен 
. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
Пример 10. Найти значение выражения 
В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.
Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2
Приближённое значение квадратного корня
Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.
Например, извлечь квадратный корень 
можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 82 = 64. То есть 
А извлечь квадратный корень 
нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.
Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.
Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.
Найдём значение корня приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.
Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:
√1 = 1
Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2
√4 = 2
√1 меньше, чем √4
√1 < √4
А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:
√1 < √3 < √4
Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2
1 < √3 < 2
Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.
Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1
1,12 = 1,21
Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.
Проверим тогда дробь 1,8
1,82 = 3,24
Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.
Проверим тогда дробь 1,7
1,72 = 2,89
Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈
√3 ≈ 1,7
Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.
В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.
Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8
1,7 < √3 < 1,8
Проверим дробь 1,74
1,742 = 3,0276
Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.
Проверим тогда дробь 1,73
1,732 = 2,9929
Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.
Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:
√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)
√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)
√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).
Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:
√3 ≈ 1
Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.
В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.
Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком
Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.
В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.
С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:
√3 ≈ 1
Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.
Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2
√3 ≈ 2
Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:
√3 ≈ 2 (с избытком)
Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.
Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.
Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:
√5 ≈ 2,23
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1
√51 ≈ 7
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1
√51 ≈ 7,1
Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01
√51 ≈ 7,14
Границы, в пределах которых располагаются корни
Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].
Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 82 = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49
Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 72 = 49
√49 = 7
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1
Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 12 = 1
√1 = 1
Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100
Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 102 = 100
√100 = 10
Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].
Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:
√37 ≈ 6,08
Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.
Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:
Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.
Например, 62 = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600
602 = 3600
А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:
6002 = 360000
Тогда можно сделать следующий вывод:
Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.
Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3
Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3
Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000
Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:
Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000
Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:
Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500
Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:
Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.
Например, 
. Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:
И наоборот, если в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:
Пример 2. Увеличим в равенстве 
подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз
Пример 3. Уменьшим в равенстве подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз
Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.
Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.
Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве 
подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:
Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.
В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.
Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, 
.
Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.
Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.
Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:
Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз
Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.
Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225
Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз
Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].
В этом случае применяется таблица квадратов:
Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576
Видим, что это число 24. Значит 
.
Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.
Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.
Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.
В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.
Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:
20,82 = 432,64
Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7
20,72 = 428,49
Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.
Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.
Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900
3600 < 4225 < 4900
Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:
Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)
Корень 64 не годится. Проверим корень 65
Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225
Тождественные преобразования с квадратными корнями
Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из произведения это выражение вида 
, где a и b некоторые числа.
Например, выражение 
является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.
Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение в виде произведения корней 
. Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6
Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36
Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.
Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12
Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.
Итак, разлóжим число 144 на простые множители:
Получили следующее разложение:
В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.
Тогда четыре двойки можно заменить на запись 22 × 22, а две тройки заменить на 32
В результате будем иметь следующее разложение:
Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144
Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:
Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.
Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12
Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.
Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:
затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:
Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:
С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.
Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.
Итак, разложим число 13456 на простые множители:
В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456
Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456
Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то 
. То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.
Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b2 = a.
В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.
Итак, выпишем правую часть равенства и возведём ее во вторую степень:
Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:
Ранее было сказано, что если выражение вида возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня 
Значит равенство справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.
Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:
, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.
Пример 1. Найти значение квадратного корня 
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 2. Найти значение квадратного корня 
Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:
Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100
Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:
Пример 3. Найти значение квадратного корня 
Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:
Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:
Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 112 × 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:
Пример 4. Найти значение квадратного корня 
Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:
Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:
Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:
Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения 
Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:
Пример 6. Найти значение квадратного корня 
Пример 7. Найти значение квадратного корня 
Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.
Например, произведение 8 × 4 равно 32
8 × 4 = 32
Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.
(8 × 2) × (4 : 2) = 32
Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.
Например, извлечём квадратный корень из произведения 
. Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.
Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.
Запишем полное решение данного примера:
Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:
Пример 9. Найти значение квадратного корня 
Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:
Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство 
. Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.
Например, узнáем чему равно значение выражения 
.
Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40
Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:
А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20
Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.
Например, найдём значение выражения 
.
Воспользуемся правилом
Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24
Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2
Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Пример 12. Найти значение выражения 
Воспользуемся правилом
Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7
Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 22 × 22, а две семёрки как 72
Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:
Квадратный корень из дроби
Квадратный корень вида
равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b
Например, квадратный корень из дроби 
равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9
Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:
Значит, квадратный корень из дроби равен 
Докáжем, что равенство является верным.
Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь 
, то это будет означать, что равенство верно:
Пример 1. Извлечь квадратный корень 
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 2. Извлечь квадратный корень 
Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 3. Извлечь квадратный корень 
Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.
Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:
Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
Пример 4. Найти значение выражения 
Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:
Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:
В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.
Пример 5. Найти значение выражения 
Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4
Пример 6. Найти значение выражения 
Сначала найдём значение квадратного корня 
. Он равен 0,6 поскольку 0,62 = 0,36
Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:
Вынесение множителя из-под знака корня
В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.
Рассмотрим квадратный корень из произведения 
. Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:
В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение 
оставим без изменений:
Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.
На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении 
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:
Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении 
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:
Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:
Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении 
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:
Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:
Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении 
Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3
Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:
Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:
Пример 6. Упростить выражение 
Предстáвим второе слагаемое 
в виде 
. А третье слагаемое 
предстáвим в виде 
Теперь в выражениях 
и вынесем множитель из-под знака корня:
Во втором слагаемом 
перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:
Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вычислим содержимое скобок, полýчим −1
Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3
Внесение множителя под знак корня
Рассмотрим следующее выражение:
В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.
Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.
Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15
Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.
Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:
Итак, если данó выражение 
, и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:
Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении 
Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:
Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 
Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:
Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 
Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида не имеет смысла.
Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.
Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении 
В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:
Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:
Теперь необходимо упростить получившееся выражение.
Для выражений 
и 
применим правило 
. Ранее мы говорили, что если выражение вида возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.
А в выражении 
для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:
Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом 
вычислить произведение, которое под кóрнем:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Тождественные преобразования многочленов
Возведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
(a + b)4
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
(a + b)(a + b)3
Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:
(a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2
(a + b)2(a + b)2
Но выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2. Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a2 + 2ab + b2
(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2)
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
Возведение трёхчлена в степень
Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.
Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c
(a + b + c)2
Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:
((a + b) + c)2
В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Применим эту формулу к нашему примеру:
Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d
(a + b + c + d)2
Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d. Для этого заключим их в скобки:
((a + b) + (c + d))2
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:
Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b)2 + c, где (a + b)2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.
Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Для начала нужно построить выражение вида a2 + 2ab + b2. Строить мы его будем из трехчлена 4x2 + 16x + 19. Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b
Роль переменной a будет играть член 2x, поскольку первый член трехчлена 4x2 + 16x + 19, а именно 4x2 получается если 2x возвести в квадрат:
(2x)2 = 4x2
Итак, переменная a равна 2x
a = 2x
Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x. Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x) и второго пока неизвестного нам выражения b. Временно поставим на его место вопросительный знак:
2 × 2x × ? = 16x
Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x, то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x, и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4.
2 × 2x × 4 = 16x
Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4
b = 4
Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
4x2 + 16x + 19 =
Вместо 4x2 записываем (2x)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2
Далее вместо 16x записываем удвоенное произведение, а именно 2 × 2x × 4
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4
Далее прибавляем квадрат второго выражения:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42
А член 19 пока переписываем как есть:
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19
Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x2 + 16x + 19. Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 к стандартному виду:
(2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19 = 4x2 + 16x + 42 + 19
Видим, что получается многочлен 4x2 + 16x + 42 + 19, а должен был получиться 4x2 + 16x + 19. Это по причине того, что член 42 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x2 + 16x + 19.
Чтобы сохранить значение исходного многочлена, нужно после прибавления члена 42 сразу же вычесть его
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19
Теперь выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b)2. В нашем случае получится выражение (2x + 4)2
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19
Оставшиеся члены −42 и 19 можно сложить. −42 это −16, отсюда −16 + 19 = 3
4x2 + 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19 = (2x + 4)2 + 3
Значит, 4x2 + 16x + 19 = (2x + 4)2 + 3
Пример 2. Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x2 + 2x + 2
Сначала построим выражение вида a2 +2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x2 = x2.
Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x) и второго выражения b (это будет 1).
2 × x × 1 = 2x
Если b = 1, то полным квадратом будет выражение x2 + 2x + 12.
Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x2 + 2x + 12
x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 12 − 12 + 2 = (x + 1)2 + 1
Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.
Рассмотрим следующее числовое выражение:
9 + 6 + 2
Значение этого выражения равно 17
9 + 6 + 2 = 17
Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a2 + 2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет число 3, поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2, а именно 9 можно представить как 32.
Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1
2 × 3 × 1 = 6
То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 32 + 2 × 3 × 1 + 12. Внедрим его в исходное выражение:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2
Свернем полный квадрат, а члены −12 и 2 слóжим:
32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Получилось выражение (3 + 1)2 + 1, которое по прежнему равно 17
(3 + 1)2+1 = 42 + 1 = 17
Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см
Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 32 = 9 см2, площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см2, площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см2
Запишем сумму площадей этих прямоугольников:
9 + 6 + 2
Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:
Тогда получается фигура, площадь которой 17 см2. Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.
Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.
Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:
Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:
Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?
(3 + 1)2
Выражение (3 + 1)2 равно 16, поскольку 3 + 1 = 4, а 42 = 16. Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
(3 + 1)2 = 32 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.
Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:
(3 + 1)2 + 1
Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1)2 + 1. А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 32 + 6 + 2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)2 + 1
Выражение (3 + 1)2 + 1, как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17. Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см2.
Пример 4. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 6x + 8
x2 + 6x + 8 = x2 + 2 × x × 3 + 32 − 32 + 8 = (x + 3)2 − 1
В некоторых примерах при построении выражения a2 + 2ab + b2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b.
Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 + 3x + 2
Переменной a соответствует x. Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так:
Получившаяся дробь 
и содержит значения переменных a и b. Наша задача суметь правильно их распознать. Перепишем эту дробь в виде произведения множителя 2, дроби и переменной x
Теперь второй член представлен в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. Переменная a, как было сказано ранее, равна x. А переменная b равна дроби
Возвращаемся к нашему примеру и прибавляем квадрат второго выражения, и чтобы значение выражения не изменилось, сразу же вычитаем его:
Прибавляем оставшийся член 2
Свернём полный квадрат:
Оставшийся квадрат второго выражения и число 2 можно сложить. В итоге получим:
Пример 6. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 9x2 + 18x + 7
Пример 7. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 − 10x + 1
В данном трёхчлене первые два члена связаны знаком «минус». В этом случае как и раньше нужно выделить полный квадрат, но это будет квадрат разности. Проще говоря, нужно построить выражение вида a2 − 2ab + b2.
Пример 8. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 16x2 + 4x + 1
Пример 9. Разложить многочлен x2 + 6x + 8 на множители при помощи выделения полного квадрата.
Сначала выделим полный квадрат:
Получившийся многочлена (x + 3)2 − 1 является разностью квадратов, поскольку единица может быть представлена в виде 12. Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим многочлен (x + 3)2 − 1 на множители:
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Деление многочленов
Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся их делить.
Деление многочлена на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на этот одночлен каждый член многочлена, затем сложить полученные частные.
Например, разделим многочлен 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на одночлен xy. Запишем это деление в виде дроби:
Теперь делим каждый член многочлена 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на одночлен xy. Получающиеся частные будем складывать:
Получили привычное для нас деление одночленов. Выполним это деление:
Таким образом, при делении многочлена 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на одночлен xy получается многочлен 15xy2 + 10y + 5y2.
При делении одного числа на другое, частное должно быть таким, чтобы при его перемножении с делителем, получалось делимое. Это правило сохраняется и при делении многочлена на одночлен.
В нашем примере произведение полученного многочлена 15xy2 + 10y + 5y2 и делителя xy должно быть равно многочлену 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3, то есть исходному делимому. Проверим так ли это:
(15xy2 + 10y + 5y2)xy = 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3
Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Мы помним, что для сложения дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Например, чтобы сложить дроби , 
и 
Если мы вычислим выражение 
, то получим дробь 
, значение которой равно 1,5.
При этом выражение мы можем вернуть в исходное состояние 
, и вычислить по отдельности каждую дробь, затем сложить полученные частные. Результат по прежнему будет равен 1,5
Тоже самое происходит при делении многочлена на одночлен. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена. Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x, образуется три дроби с общим знаменателем x
Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c
Пример 2. Разделить многочлен 8m3n + 24m2n2 на одночлен 8m2n
Пример 3. Разделить многочлен 4c2d − 12c4d3 на одночлен −4c2d
Деление одночлена на многочлен
Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.
Допустим, мы захотели разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5.
Результатом этого деления должен быть многочлен, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 даёт одночлен 2xy. Но не существует многочлена, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 давало бы в результате одночлен 2xy, поскольку перемножение многочленов даёт в результате многочлен, а не одночлен.
Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В исходных выражениях таких заданий бывает выполнено деление одночлена на многочлен. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.
Например, найдём значение выражения 
при x = 2.
Выражение представляет собой деление одночлена на многочлен. В данном случае мы не сможем выполнить какие-либо преобразования. Единственное, что мы сможем сделать — это подставить число 2 в исходное выражение вместо переменной x и найти значение выражения:
Деление многочлена на многочлен
Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x + 5 на многочлен x + 3, получается многочлен x2 + 8x + 15
(x + 5)(x + 3) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
(x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15
Если произведение разделить на множитель, то получится множимое. Это правило распространяется не только для чисел, но и для многочленов.
Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5.
Деление многочлена на многочлен выполняется уголком. Отличие будет в том, что при делении многочленов не нужно определять первое неполное делимое, как в случае деления обычных чисел.
Выполним уголком деление многочлена x2 + 8x + 15 на многочлен x + 3. Так мы поэтапно увидим, как получается многочлен x + 5.
В данном случае результат нам известен заранее. Это будет многочлен x + 5. Но чаще всего результат бывает неизвестным. Поэтому решение будем комментировать так, будто результат нам неизвестен.
Результатом деления должен быть новый многочлен. Члены этого многочлена будут появляться один за другим в процессе деления.
Сейчас наша задача найти первый член нового многочлена. Как это сделать?
Когда мы изначально перемножали многочлены x + 5 и x + 3, мы сначала умножили первый член первого многочлена на первый член второго многочлена. Тем самым мы получили первый член третьего многочлена:
Если мы обратно разделим первый член третьего многочлена на первый член второго многочлена, то получим первый член первого многочлена. А это то, что нам нужно. Ведь мы должны прийти к многочлену x + 5.
Этот же принцип нахождения первого члена будет выполняться и при решении других задач на деление многочленов.
Итак, чтобы найти первый член нового многочлена, нужно первый член делимого разделить на первый член делителя.
Если первый член делимого (в нашем случае это x2) разделить на первый член делителя (это x), получится x. То есть первым членом нового многочлена является x. Записываем его под правым углом:
Теперь, как и при делении обычных чисел, умножаем x на делитель x + 3. На этом этапе нужно суметь умножить одночлен на многочлен. При умножении x на x + 3, получается x2 + 3x. Записываем этот многочлен под делимым x2+ 8x+ 15 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:
Теперь из делимого x2 + 8x + 15 вычитаем x2 + 3x. Подобные члены вычитаем из подобных им членов. Если из x2 вычесть x2, получится 0. Ноль не записываем. Далее если из 8x вычесть 3x, получится 5x. Записываем 5x так, чтобы этот член оказался под членами 3x и 8x
Теперь, как и при делении обычных чисел, сносим следующий член делимого. Следующий член это 15. Сносить его нужно вместе со своим знаком:
Теперь делим многочлен 5x + 15 на x + 3. Для этого нужно найти второй член нового многочлена. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член 5x) разделить на первый член делителя (это член x). Если 5x разделить на x, получится 5. То есть вторым членом нового многочлена является 5. Записываем его под правым углом, вместе со своим знаком (член 5 в данном случае положителен)
Теперь умножаем 5 на делитель x + 3. При умножении 5 на x + 3, получается 5x + 15. Записываем этот многочлен под делимым 5x + 15
Теперь из делимого 5x + 15 вычитаем 5x + 15. Если из 5x + 15 вычесть 5x + 15 получится 0.
На этом деление завершено.
После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3, должен получаться многочлен x2 + 8x + 15
(x + 5)(x + 3) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
Пример 2. Разделить многочлен x2 − 8x + 7 на многочлен x − 7
Записываем уголком данное деление:
Находим первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x. Записываем x под правым углом:
Умножаем x на x − 7, получаем x2 − 7x. Записываем этот многочлен под делимым x2 − 8x + 7 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:
Вычитаем из x2 − 8x + 7 многочлен x2 − 7x. При вычитании x2 из x2 получается 0. Ноль не записываем. А при вычитании −7x из −8x получается −x, поскольку −8x − (−7x) = −8x + 7x = −x. Записываем −x под членами −7x и −8x. Далее сносим следующий член 7
Следует быть внимательным при вычитании отрицательных членов. Часто на этом этапе допускаются ошибки. Если на первых порах вычитание в столбик даётся тяжело, то можно использовать обычное вычитание многочленов в строку, которое мы изучили ранее. Для этого нужно отдельно выписать делимое и вычесть из него многочлен, который под ним располагается. Преимущество этого метода заключается в том, что следующие члены делимого сносить не нужно — они автоматически перейдут в новое делимое. Давайте воспользуемся этим методом:
Вернёмся к нашей задаче. Разделим многочлен −x + 7 на x − 7. Для этого нужно найти второй член частного. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член −x) разделить на первый член делителя (это член x). Если −x разделить на x, получится −1. Записываем −1 под правым углом вместе со своим знаком:
Умножаем −1 на x − 7, получаем −x + 7. Записываем этот многочлен под делимым −x + 7
Теперь из −x + 7 вычитаем −x + 7. Если из −x + 7 вычесть −x + 7 получится 0
Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x2 − 8x + 7 на многочлен x − 7 равно x − 1
Выполним проверку. Умножим частное x − 1 на делитель x − 7. У нас должен получиться многочлен x2 − 8x + 7
(x − 1)(x − 7) = x2 − x − 7x + 7 = x2 − 8x + 7
Пример 3. Разделить многочлен x6 + 2x4 + x7 + 2x5 на многочлен x2 + x3
Найдём первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x4
Умножаем x4 на делитель x2 + x3 и полученный результат записываем под делимым. Если x4 умножить на x2 + x3 получится x6 + x7. Члены этого многочлена записываем под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:
Теперь из делимого вычитаем многочлен x6 + x7. Вычитание x6 из x6 даст в результате 0. Вычитание x7 из x7 тоже даст в результате 0. Оставшиеся члены 2x4 и 2x5 снесём:
Получилось новое делимое 2x4 + 2x5. Это же делимое можно было получить, выписав отдельно многочлен x6 + 2x4 + x7 + 2x5 и вычтя из него многочлен x6 + x7
Разделим многочлен 2x4 + 2x5 на делитель x2 + x3. Как и раньше сначала делим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x2. Записываем этот член в частном:
Умножаем 2x2 на делитель x2 + x3 и полученный результат записываем под делимым. Если 2x2 умножить на x2 + x3 получится 2x4 + 2x5. Записываем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом. Затем выполним вычитание:
Вычитание многочлена 2x4 + 2x5 из многочлена 2x4 + 2x5 дало в результате 0, поэтому деление успешно завершилось.
В промежуточных вычислениях члены нового делимого располагались друг от друга, образуя большие расстояния. Это было по причине того, что при умножении частного на делитель, результаты были записаны так, чтобы подобные члены располагались друг под другом.
Эти расстояния между членами нового делимого образуются тогда, когда члены исходных многочленов расположены беспорядочно. Поэтому перед делением желательно упорядочить члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда решение примет более аккуратный и понятный вид.
Решим предыдущий пример, упорядочив члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Если члены многочлена x6 + 2x4 + x7 + 2x5 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x7 + x6 + 2x5 + 2x4. А если члены многочлена x2 + x3 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x3 + x2
Тогда деление уголком многочлена x6 + 2x4 + x7 + 2x5 на многочлен x2 + x3 примет следующий вид:
Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x6 + 2x4 + x7 + 2x5 на многочлен x2 + x3 равно x4 + 2x2
Выполним проверку. Умножим частное x4 + 2x2 на делитель x2 + x3. У нас должен получиться многочлен x6 + 2x4 + x7 + 2x5
(x4 + 2x2)(x2 + x3) = x4 (x2 + x3) + 2x2(x2 + x3) = x6 + 2x4 + x7 + 2x5
При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней. Тогда члены полученного многочлена тоже будут упорядочены в порядке убывания степеней.
Перепишем умножение (x4 + 2x2)(x2 + x3) упорядочив члены многочленов в порядке убывания степеней.
(x4 + 2x2)(x3 + x2) = x4(x3 + x2) + 2x2(x3 + x2) = x7 + x6 + 2x5 + 2x4
Пример 4. Разделить многочлен 17x2 − 6x4 + 5x3 − 23x + 7 на многочлен 7 − 3x2 − 2x
Упорядочим члены исходных многочленов в порядке убывания степеней и выполним уголком данное деление:
Значит,
Пример 5. Разделить многочлен 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 на многочлен a2 − 3ab − 9b2
Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 4a2. Записываем 4a2 в частном:
Умножим 4a2 на делитель a2 − 3ab − 9b2 и полученный результат запишем под делимым:
Вычтем из делимого полученный многочлен 4a4 − 12a3b − 36a2b2
Теперь делим −2a3b + 12a2b2 − 54b4 на делитель a2 − 3ab − 9b2. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим −2ab. Записываем −2ab в частном:
Умножим −2ab на делитель a2 − 3ab − 9b2 и полученный результат запишем под делимым −2a3b + 12a2b2 − 54b4
Вычтем из многочлена −2a3b + 12a2b2 − 54b4 многочлен −2a3b + 12a2b2 − 18ab3. При вычитании подобных членов обнаруживаем, что члены −54b4 и 18ab3 не являются подобными, а значит их вычитание не даст никакого преобразования. В этом случае выполняем вычитание там где это можно, а именно вычтем −2a3b из −2a3b и 6a2b2 из 12a2b2, а вычитание 18ab3 из −54b4 запишем в виде разности −54b4 − (+18ab3) или −54b4 − 18ab3
Этот же результат можно получить, если выполнить вычитание многочленов в строку с помощью скобок:
Вернёмся к нашей задаче. Разделим 6a2b2 − 54b4 − 18ab3 на делитель a2 − 3ab − 9b2. Делим первый член делимого на первый член делителя, получим 6b2. Записываем 6b2 в частном:
Умножим 6b2 на делитель a2 − 3ab − 9b2 и полученный результат запишем под делимым 6a2b2 − 54b4 − 18ab3. Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 6a2b2 − 54b4 − 18ab3
Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 на многочлен a2 − 3ab − 9b2 равно 4a2 − 2ab + 6b2.
Выполним проверку. Умножим частное 4a2 − 2ab + 6b2 на делитель a2 − 3ab − 9b2. У нас должен получиться многочлен 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4
Деление многочлена на многочлен с остатком
Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.
Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:
То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:
Рациональное число 
читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.
Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c, да еще останется остаток q, то ответ будет записан так:
Например, разделим многочлен 2x3 − x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3
Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x2. Записываем 2x2 в частном:
Умножим 2x2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:
Вычтем из делимого полученный многочлен 2x3 − 6x2
Теперь делим 5x2 − 5x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x. Записываем 5x в частном:
Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5x2 − 5x + 4
Вычтем из многочлена 5x2 − 5x + 4 многочлен 5x2 − 15x
Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10. Записываем 10 в частном:
Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4. Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4
Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4, является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34.
Поэтому при делении многочлена 2x3 − 2x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2x2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:
Когда деление многочленов невозможно
Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.
Например, нельзя разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.
Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, и даже получить частное x−1, которое при перемножении с делителем будет давать делимое:
Но при делении многочлена на многочлен должен получаться именно многочлен, а частное x−1 многочленом не является. Ведь многочлен состоит из одночленов, а одночлен в свою очередь это произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x−1 это дробь 
, которая не является произведением.
Пусть имеется прямоугольник со сторонами 4 и 2
Площадь этого прямоугольника будет равна 4 × 2 = 8 кв.ед.
Увеличим длину и ширину этого прямоугольника на x
Достроим отсутствующие стороны:
Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражаться многочленом x2 + 6x + 8
(x + 4)(x + 2) = x2 + 4x + 2x + 8 = x2 + 6x + 8
При этом мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4.
Степень многочлена x2 + 6x + 8 равна сумме степеней многочленов-сомножителей x + 4 и x + 2, а значит ни одна из степеней многочленов-сомножителей не может превосходить степень многочлена-произведения. Следовательно, чтобы обратное деление было возможным, степень делителя должна быть меньше степени делимого.
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Разложение многочлена на множители
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:
6x + 3xy = 3x(2 + y)
В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.
В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y). По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)
Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.
Рассмотрим следующий многочлен:
ax + ay + 3x + 3y
Члены ax и ay имеют общий множитель a. Выпишем эти члены и заключим их в скобки:
(ax + ay)
Далее в многочлене ax + ay + 3x + 3y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:
(3x + 3y)
Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»
(ax + ay) + (3x + 3y)
В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a, а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:
Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:
Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:
Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3). Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y
(x + y)(a + 3) = ax + ay + 3x + 3y
Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.
Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a. Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»
(9x − 9y) + (ax − ay)
В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a
(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y)
Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)
(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y) = (x − y)(9 + a)
Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b2 − 3a на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a. А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b2. Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»
(ab − 3a) + (−3b + b2)
В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель b
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(−3 + b)
Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3)
Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)
Пример 4. Разложить многочлен x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:
В первой группе вынесем за скобки общий множитель x, во второй группе — общий множитель y, в третьей группе — общий множитель 2
Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений
Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.
Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a2 + 2ab + b2, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).
a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x2 + 12xy + 9y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член многочлена 4x2 + 12xy + 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, поскольку (3y)2 = 9y2, а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x, а переменная b равна 3y
a = 2x
b = 3y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x2 + 12xy + 9y2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y)2, но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y)2
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
А поскольку (2x + 3y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y), то исходный многочлен 4x2 + 12xy + 9y2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Полностью решение можно записать так:
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 + 12x + 36
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x2 = x2, третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 62 = 36, а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6, поскольку 2 × x × 6 = 12x.
Воспользуемся формулой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. Роль переменной a играет одночлен x, а роль переменной b играет одночлен 6. Отсюда:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
А поскольку (x + 6)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6), то исходный многочлен x2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)
x2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений
Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.
Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a2 − 2ab + b2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).
a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x2 − 12xy + 4y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 − 2ab + b2 = (a − b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x, поскольку (3x)2 = 9x2. Третий член 4y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2y, поскольку (2y)2 = 4y2, а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2 × 3x × 2y = 12xy.
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x, а переменная b равна 2y
a = 3x
b = 2y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x2 − 12xy + 4y2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y)2, но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x2 − 12xy + 4y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y)2
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2
А поскольку (3x − 2y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y), то исходный многочлен 9x2 − 12xy + 4y2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)(3x − 2y)
Полностью решение можно записать так:
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2 × 3x × 2y + (2y)2 = (3x − 2y)2 = (3x − 2y)(3x − 2y)
Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − 4x + 4
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
x2 − 4x + 4 = x2 − 2 × x × 2 + 22 = (x − 2)2 = (x − 2)(x − 2)
Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений
Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a3 + 3a2b +3ab2 + b3, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a + b)(a + b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m
m3 = m3
Последний член 8n3 является результатом возведения в куб одночлена 2n
(2n)3 = 8n3
Второй член 6m2n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n
3 × m2 × 2n = 6m2n
Третий член 12mn2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n
3 × m × (2n)2 = 3 × m × 4n2 = 12mn2
То есть исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m, а переменной b соответствует 2n
a = m
b = 2n
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n)3, но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n)3
m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3
А поскольку (m + 2n)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n), то исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)
m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x
(5x)3 = 125x3
Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1
13 = 1
Второй член 75x2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1
3 × (5x)2 × 1 = 3 × 25x2 = 75x2
Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1
3 × 5x × 12 = 15x
Воспользуемся формулой a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3. Роль переменной a играет одночлен 5x, а роль переменной b играет одночлен 1
a = 5x
b = 1
Поэтому,
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3
А поскольку (5x + 1)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1), то исходный многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)
Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений
Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.
Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3
Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)(a − b)(a − b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3
Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4
43 = 64
Последний член 8x3 является результатом возведения в куб одночлена 2x
(2x)3 = 8x3
Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x
3 × 42 × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x
Третий член 48x2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x
3 × 4 × (2x)2 = 3 × 4 × 4x2 = 48x2
Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4, а переменной b соответствует 2x
a = 4
b = 2x
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x2 − 8x3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x)3, но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x)3
64 − 96x + 48x2 − 8x3 = (4 − 2x)3
А поскольку (4 − 2x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x), то исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x), (4 − 2x) и (4 − 2x)
64 − 96x + 48x2 − 8x3 = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3
33 = 27
Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x
(5x)3 = 125x3
Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x
3 × 32 × 5x = 3 × 9 × 5x = 135x
Третий член 225x2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x
3 × 3 × (5x)2 = 3 × 3 × 25x2 = 225x2
Воспользуемся формулой a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3. Роль переменной a играет одночлен 3, а роль переменной b играет одночлен 5x
a = 3
b = 5x
Поэтому,
27 − 135x + 225x2 − 125x3 = (3 − 5x)3
А поскольку (3 − 5x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x), то исходный многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x), (3 − 5x) и (3 − 5x)
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (3 − 5x)(3 − 5x)(3 − 5x)
Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений
Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a2 − b2 на множители (a − b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x2 − 25y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член 16x2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x
(4x)2 = 16x2
Второй член 25y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y
(5y)2 = 25y2
То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x, а переменной b соответствует одночлен 5y
a = 4x
b = 5y
Теперь можно воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b). Подставим в неё наши значения a и b
(4x)2 − (5y)2 = (4x − 5y)(4x + 5y)
Полностью решение можно записать так:
16x2 − 25y2 = (4x)2 − (5y)2 = (4x − 5y)(4x + 5y)
Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y). Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x2 − 25y2
(4x − 5y)(4x + 5y) = 16x2 − 20xy + 20xy − 25y2 = 16x2 − 25y2
Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − y2
В данном случае переменной a соответствует x, а переменной b соответствует y. Тогда по формуле квадрата разности имеем:
x2 − y2 = (x − y)(x + y)
Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b.
Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.
Например, чтобы разложить многочлен 4x4 − 9y6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x2)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x4
(2x2)2 = 4x4
А член 9y6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3y3)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y6
(3y3)2 = 9y6
Теперь мы знаем, чему равны a и b. Они равны 2x2 и 3y3 соответственно. Подставим их в формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(2x2)2 − (3y3)2 = (2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3)
Полностью решение можно записать так:
4x4 − 9y6 = (2x2)2 − (3y3)2 = (2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3)
Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.
Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x4 − 9y6
(2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3) = 2x2(2x2 + 3y3) − 3y3(2x2 + 3y3)
= 4x4 + 6x2y3 − 6x2y3 − 9y6 = 4x4 − 9y6
Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64
Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:
81 − 64 = 92 − 82 = (9 − 8)(9 + 8)
Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений
Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 + b3 на множители (a + b) и (a2 − ab + b2).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x3 + 64y3
Представим члены 27x3 и 64y3 в виде одночленов, возведённых в куб
27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x, переменная b равна 4y
27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 − 3x × 4y + (4y)2) =
(3x + 4y)(9x2 − 12xy + 16y2)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8
Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:
125 + 8 = 53 + 23
Далее воспользуемся формулой суммы кубов:
125 + 8 = 53 + 23 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)
Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 − b3 на множители (a − b) и (a2 + ab + b2).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x3 − 27y3
Представим члены 64x3 и 27y3 в виде одночленов, возведённых в куб:
64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x, переменная b равна 3y
64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3 = (4x − 3y)((4x)2 + 4x × 3y + (3y)2) =
(4x − 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27
Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:
64 − 27 = 43 − 33 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)
Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x3 − 1
Представим члены 125x3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:
125x3 − 1 = (5x)3 − 13
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x, переменная b равна 1
125x3 − 1 = (5x)3 − 13 = (5x − 1)((5x)2 + 5x × 1 + 12) =
(5x − 1)(25x2 + 5x + 1)
Разложение многочлена на множители различными способами
К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.
Пример 1. Разложить на множители многочлен ax2 − ay2
В данном многочлене содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки:
ax2 − ay2 = a(x2 − y2)
При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:
ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x2 + 6xy + 3y2
Вынесем за скобки общий множитель 3
3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)
В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y. Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y)2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)
3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y)
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже