Решение уравнений с модулем методом интервалов

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений. Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

|− 5| − |x| = 1

У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:

uravnenie-s-modulem-risunok-52

Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.

Решим уравнение | 5|  |x| = 1 методом интервалов.

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

уравнение с модулем рисунок 49

Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.

Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |− 5| и |x|.

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:

метод интервалов рис 1

Для модуля |− 5| точкой перехода будет 5. Для модуля |x| точкой перехода будет 0.

Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:

уравнение с модулем рисунок 51

Проведем дуги от точек перехода:

уравнение с модулем рисунок 52

С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

уравнение с модулем рисунок 53

Обратите внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ < 5.

Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5.

Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.

уравнение с модулем рисунок 53

Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид ≤ 0, а второй промежуток принял бы вид 0 < < 5, потому что ноль уже был включен в первый промежуток.

Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.

Теперь выясним как будут вести себя модули |− 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.

Начнем с первого промежутка x < 0.

Если x < 0, то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение − 5 станет отрицательным, а значит модуль |− 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке x < 0 тоже будет раскрываться со знаком минус.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(− 5) + x = 1

уравнение с модулем рисунок 55

Второй модуль |x| на промежутке < 0 раскрылся с минусом. В самом же уравнении |− 5 |− |x| = 1 после выражения |x − 5| тоже располагался минус. В математике два минуса, идущие подряд, дают плюс. Поэтому и получилось выражение −(− 5) + x = 1.

Решим уравнение −( 5) + x = 1, которое получилось после раскрытия модулей на промежутке x < 0

уравнение с модулем рисунок 59

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.

Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0  < 5.

Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение  5, станет отрицательным, а значит модуль | 5| на промежутке 0  x < 5 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0  < 5 будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке 0  x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −( 5) − x = 1

уравнение с модулем рисунок 56

Решим это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 60

Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является  корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку  0  x < 5. Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1. Проверка также показывает это:

уравнение с модулем рисунок 70

Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5.

Если x больше или равно пяти, то модуль |− 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид − 5 − x = 1.

уравнение с модулем рисунок 57

Решим это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 71

Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.

В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0  x < 5.

Ответ: 2.


Пример 2. Решить уравнение |− 3| + |+ 2| = 7

Решение

Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |− 3| и |+ 2|

метод интервалов рис 2

Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:

метод интервалов рис 3

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули | 3| и |+ 2| на этих промежутках.

На промежутке < −2 модуль |− 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка < −2. Например, числа −4 или −9

|− 3| = |−4 − 3| = |−7| = −(−7) = 7

|− 3| = |−9 − 3| =|−12| = −(−12) = 12

Следующий модуль |+ 2| на промежутке < −2 тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка < −2 в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8

|+ 2| = |−6 + 2| = |−4| = −(−4) = 4

|+ 2| = |−8 + 2| = |−6| = −(−6) = 6

Значит после раскрытия модулей на промежутке < −2 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3   2 = 7

Решим его:

метод интервалов рис 8

Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток < −2. Для этого нужно подставить в неравенство < −2 найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 < −2 верно, значит корень −3 входит в промежуток < −2 и соответственно является корнем исходного уравнения.

На следующем промежутке −2  < 3 модуль | 3| будет раскрываться с минусом, а модуль|+ 2| будет раскрываться с плюсом.

Значит после раскрытия модулей на промежутке −2  < 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

метод интервалов рис 5

Это уравнение не имеет решений, значит на промежутке −2 ≤ < 3  исходное уравнение тоже не имеет решений (корней).

Наконец рассмотрим промежуток  3

На промежутке  3 модуль | 3| будет раскрываться с плюсом. Модуль|+ 2| так же будет раскрываться с плюсом. Значит на промежутке ≥ 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

x − 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

метод интервалов рис 6

Этот корень входит в рассматриваемый промежуток ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

метод интервалов рис 7

Ответ: −3 и 4.


Пример 3. Решить уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16

Решение

Найдём точки перехода для модулей |2x  3| и |2x + 7|

метод интервалов рис 9

Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:

метод интервалов рис 10

Решим исходное уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16 на промежутке метод интервалов рис 11. Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:

метод интервалов рис 12

Корень −5 принадлежит промежутку метод интервалов рис 11, значит является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке метод интервалов рис 13. Модуль |2x  3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:

метод интервалов рис 14

Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).

Теперь решим исходное уравнение на промежутке метод интервалов рис 15. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

метод интервалов рис 16

Корень 3 принадлежит промежутку метод интервалов рис 15, значит является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5 и 3.


Пример 4. Решить уравнение | 2| + 3= | 5|  18

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x  2| и |x 5|

метод интервалов рис 17

Отметим точки перехода на координатной прямой:

метод интервалов рис 18

Решим исходное уравнение на промежутке < 2. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:

метод интервалов рис 19

Число −5 принадлежит промежутку < 2, значит является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке 2  < 5. Модуль | 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |− 5| — с минусом:

метод интервалов рис 20

Число -11 na 5 не принадлежит промежутку 2  x < 5, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке  5. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:

метод интервалов рис 21

Число −7 не принадлежит промежутку  5, значит не является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5


Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x 4|

метод интервалов рис 22

Отметим точки перехода на координатной прямой:

метод интервалов рис 23

Решим исходное уравнение на промежутке < 0. Все три модуля: |x|, |− 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:

метод интервалов рис 24

Число 13 na 4 не принадлежит промежутку < 0, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0  < 4. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |− 7| и |x 4| — с минусом:

метод интервалов рис 25

Число метод интервалов рис 26 не принадлежит промежутку 0  < 4, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4  < 7. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль | 7| — с минусом; модуль |− 4| — с плюсом:

метод интервалов рис 27

Число три вторых не принадлежит промежутку 4  < 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:

метод интервалов рис 28

Число 17 na 4 не принадлежит промежутку x ≥ 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.


Пример 6. Решить уравнение метод интервалов рис 29

Решение

Найдём точки перехода для модулей метод интервалов рис 30 и метод интервалов рис 31

Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.

Если у модуля метод интервалов рис 30 внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2− 1 ≥ 0 (что равносильно метод интервалов рисунок 40), то исходное уравнение примет вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|. Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны одна вторая. Отметим эту точку на координатной прямой.

метод интервалов рис 39

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|, то точки перехода надо найти для модулей |2− 1 − 5| и |6 − x|.

Для модуля |2− 1 − 5| точкой перехода будет число 3, а для модуля |6 − x| — число 6. Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку одна вторая

метод интервалов рис 40

Сейчас нас интересуют только те значения x, которые удовлетворяют условию метод интервалов рис 42, потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток метод интервалов рис 41 мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию метод интервалов рис 42

метод интервалов рис 43

Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это метод интервалов рис 44. На нем модуль |2 1  5| раскрывается с минусом, а модуль |6  x| с плюсом:

метод интервалов рис 45

Получили тождество — равенство верное при любом значении x. В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка метод интервалов рис 44. Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию метод интервалов рис 42

Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3  < 6. Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 46

Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию метод интервалов рис 42, согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке  6. На этом промежутке модуль |2 1  5| раскрывается с плюсом, а модуль |6  x| с минусом. Тогда:

метод интервалов рис 47

Корень 0 не удовлетворяет условию  6, значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.

Итак, если внутренний модуль уравнения метод интервалов рис 29 раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток метод интервалов рис 44, а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:

метод интервалов рис 48

Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2− 1 < 0 (что равносильно неравенству метод интервалов рисунок 41). В этом случае исходное уравнение примет вид:

|−2x + 1 − 5| + x = |6 − x|

Отметим точку одна вторая на координатной прямой.

метод интервалов рис 49

Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от одна вторая. Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.

Найдем точки перехода для модулей |−2+ 1  5| и |6  x|. Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6

метод интервалов рис 50

Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от одна вторая. Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом

метод интервалов рис 51

Решим уравнение на промежутке < −2. На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 52

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < −2 исходное уравнение не имеет корней.

Решим теперь уравнение на промежутке метод интервалов рисунок 42. Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2+ 1  5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка метод интервалов рисунок 42 модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом.

Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток < −2, который мы уже рассмотрели. На промежутке < −2 модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.

На промежутке метод интервалов рисунок 42 модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 53

Получится корень который не удовлетворяет условию метод интервалов рисунок 42. Несмотря на это число одна вторая является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2− 1 ≥ 0.


Задания для самостоятельного решения

Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ [−5 ; 3].
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ [3 ; +∞).
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: , 0.
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −5.
Задание 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −4, 2.
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: , .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Уравнение с модулем

Уравнение с модулем достаточно сложная тема для начинающих. Учитывая это обстоятельство, в данный урок войдут только элементарные уравнения.

Что такое уравнение с модулем и как его решить?

В уравнениях с модулем неизвестное значение содержится под знáком модуля. Например:

|x − 2| = 5

Уравнения с модулем бывают разными и решаются они различными методами. Нельзя сказать что какой-то метод наиболее рационален. Всё зависит от исходного уравнения.

Например, в каких-то уравнениях можно просто угадать корень, в то время как в других нужно логически мыслить, раскрывать модули, выполнять тождественные преобразования. Человек волен выбирать каким методом решения пользоваться.

К примеру, решим вышеприведённое уравнение |x − 2| = 5. Допустим, что мы не знаем ни одного метода решения. Как бы мы его решили?

Прежде всего заметим, что правая часть данного уравнения равна числу 5. Слева же располагается модуль из выражения |x − 2|. Это означает что подмодульное выражение x − 2 должно равняться числу 5 или −5

модуль числа рисунок 30

Значит нужно выяснить при каких значениях переменной x подмодульное выражение x − 2 будет обращаться в число 5 или −5.

Искомые значения x найдутся если приравнять подмодульное выражение к числу 5 и −5, а затем поочерёдно решить каждое из уравнений:

уравнение с модулем рисунок 11

Значит корнями уравнения |x − 2| = 5 являются числа 7 и −3.

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить используя правило раскрытия модуля. Для этого раскрывают модуль содержащийся в уравнении, затем получившееся выражение подставляют в исходное уравнение вместо выражения с модулем.

Раскрывать модуль нужно для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля.

Решим наше уравнение |x − 2| = 5 с помощью правила раскрытия модуля. Выпишем отдельно его модуль и раскроем его:

модуль числа рисунок 29

В этой конструкции говорится, что если подмодульное выражение − 2 больше или равно нулю, то модуль раскроется как − 2, и тогда исходное уравнение примет вид − 2 = 5, откуда = 7

модуль числа рисунок 31

А если же подмодульное выражение − 2 меньше нуля, то модуль раскроется как −(− 2). Тогда исходное уравнение примет вид −(− 2) = 5, откуда = −3

модуль числа рисунок 32

Итак, уравнение |x − 2|= 5 имеет корни 7 и −3. Для проверки подстáвим числа 7 и −3 в исходное уравнение вместо x. Тогда получим верное равенство:

модуль числа рисунок 22

Подмодульное выражение как правило содержит такое x, которое может обращать всё подмодульное выражение как в положительное число, так и в отрицательное, либо вообще в ноль.

Поэтому модуль и раскрывается для каждого из случаев: когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля. Каждый из случаев будет давать независимое уравнение со своим корнем.

Вернёмся теперь к моменту, где мы раскрывали модуль:

модуль числа рисунок 29

Условия − 2 ≥ 0 и − 2 < 0 являются неравенствами, которые можно решить, тем самым приведя их к простому виду:

уравнение с модулем рисунок 46

Символ означает равносильность. В данном случае указывается, что условие  2  0 равносильно условию  2, а условие  2 < 0 равносильно условию < 2.

Такой вид записи условий позволяет однозначно сказать при каких x модуль будет раскрываться с плюсом, а при каких с минусом.

В первом случае получилось условие ≥ 2. Это значит что при всех x бóльших либо равных 2, модуль |− 2| будет раскрываться с плюсом. Так, при = 7, подмодульное выражение станет равно 5

|7 − 2| = |5|

А значит дальнейшее раскрытие будет с плюсом

|7 − 2| = |5| = 5

Таким же образом модуль |− 2| будет вести себя и с другими значениями x на промежутке ≥ 2. То есть, будет раскрываться с плюсом. Примеры:

При x = 3, |3 − 2|=|1| = 1
При = 4, |4 − 2|=|2| = 2
При = 2, |2 − 2|=|0| = 0
При = 13, |13 − 2|=|11| = 11

А во втором случае получилось условие < 2. Это значит что при всех x мéньших 2, модуль будет раскрываться с минусом. Так, при = −3, подмодульное выражение опять же станет равно 5. Но в промежуточных вычислениях можно увидеть, что модуль раскрывается с минусом:

|−3 − 2| = |−5| = −(−5) = 5

Модуль |− 2| будет вести себя так же и с другими значениями x на промежутке x < 2. Примеры:

При = 1, |1 − 2|=|−1| = −(−1) = 1
При = 0, |0 − 2|=|−2| = −(−2) = 2
При = −1, |−1 − 2|=|−3| = −(−3) = 3
При = −9,|−9 − 2|=|−11| = −(−11) = 11

Число 2 является своего рода точкой перехода, в которой модуль |− 2| меняет свой порядок раскрытия.

Можно представить как модуль |− 2| двигался по маршруту от минус бесконечности до числа 2, раскрываясь в каждой точке с минусом. Попав в точку 2, модуль поменял свой порядок раскрытия — а именно раскрывшись в точке 2 с плюсом, он далее стал раскрываться с плюсом, двигаясь в правую часть к плюс бесконечности.

С помощью координатной прямой это можно представить так:

уравнение с модулем рисунок 48

Красные знаки минуса и плюса указывают, как будет раскрываться модуль |− 2| на промежутках < 2 и ≥ 2.

Точку перехода можно найти для любого модуля. Для этого нужно узнать при каких x подмодульное выражение равно нулю. Ноль это то значение, до и после которого модуль всегда сохраняет свой знак. Это следует из правила раскрытия модуля:

модуль числа свойство

В этом примере в момент когда x станет равным нулю, модуль |x| раскроется с плюсом и далее при всех x, бóльших нуля, будет раскрываться с плюсом. Напротив, при всех x, мéньших нуля модуль будет раскрываться с минусом:

модуль рисунок 1

А например для модуля |2+ 6| точкой перехода будет число −3, потому что при его подстановке в подмодульное выражение 2+ 6 вместо x, данное подмодульное выражение станет равно нулю. Изобразим это на рисунке:

уравнение с модулем рисунок 50

При всех x, бóльших либо равных −3, модуль будет раскрываться с плюсом. Примеры:

При = −3, |2 × (−3) + 6| = |0| = 0
При = 4, |2 × 4 + 6| = |14| = 14
При = 5, |2 × 5 + 6| = |16| = 16

А при всех x, мéньших 3, модуль будет раскрываться с минусом. Примеры:

При = −4, |2 × (−4) + 6| = |−2| = −(−2) = 2
При = −5, |2 × (−5) + 6| = |−4| = −(−4) = 4
При = −6, |2 × (−6) + 6| = |−6| = −(−6) = 6


Пример 2. Решить уравнение |x| + 3= −2

Решение

Раскроем модуль, который содержится в левой части уравнения:

модуль числа свойство

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид x + 3x = −2. Сразу решим это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 40

Теперь рассмотрим второй случай — когда x < 0. В этом случае модуль в исходном уравнении раскроется со знаком минус, и тогда получится уравнение x + 3x = −2. Решим и это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 41

Получили корни минус одна вторая и −1.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение. Проверим корень минус одна вторая

уравнение с модулем рисунок 42

Видим, что при подстановке корня минус одна вторая исходное уравнение не обращается в верное равенство. Значит минус одна вторая не является корнем исходного уравнения.

Проверим теперь корень −1

уравнение с модулем рисунок 43

Получили верное равенство. Значит из двух найденных решений только −1 является корнем уравнения.

Ответ: −1.

Здесь можно сделать важный вывод. В уравнениях с модулем найденные корни не всегда удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы убедиться в правильности своего решения, нужно выполнять проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение.

Кроме того, проверить является ли найденное значение корнем уравнения можно с помощью условия, согласно которому был раскрыт модуль.

Так, в данном примере мы раскрывали модуль |x| для случаев когда подмодульное выражение больше или равно нулю, и когда подмодульное выражение меньше нуля:

уравнение с модулем рисунок 93

Условия x≥0 и x<0 являются неравенствами. В эти неравенства можно подставлять найденные корни. Если неравенства окажутся верными, значит корни удовлетворяют исходному уравнению.

Так, при раскрытии модуля со знаком плюс, получилось уравнение + 3= −2. Корнем этого уравнения стало число минус одна вторая. Это число не удовлетворяет условию ≥ 0, согласно которому был раскрыт модуль |x| и согласно которому было получено уравнение x + 3x = −2. Действительно, при подстановке числа минус одна вторая в неравенство ≥ 0 получается неверное неравенство.

А при раскрытии модуля со знаком минус, получилось уравнение x + 3x = −2. Корнем этого уравнения стало число −1. Это число удовлетворяет условию x<0, согласно которому был раскрыт модуль |x| и согласно которому было получено уравнение x + 3x = −2. Действительно, при подстановке числа −1 в неравенство x < 0 получается верное неравенство.


Пример 3. Решить уравнение |1 − 2x| − 4= −6

Решение

Раскроем модуль:

уравнение с модулем рисунок 80

При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком плюс, получим уравнение 1 − 2x − 4= −6. Решим его:

уравнение с модулем рисунок 81

При раскрытии модуля |1 − 2x| со знаком минус, получим уравнение −1 + 2− 4= −6. Решим его:

уравнение с модулем рисунок 83

Получили корни семь шестых и пять вторых.

Корень семь шестых не удовлетворяет условию уравнение с модулем рисунок 82, значит не является корнем исходного уравнения.

Корень пять вторых удовлетворяет условию уравнение с модулем рисунок 84, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

уравнение с модулем рисунок 85

Ответ: пять вторых.


Пример 4. Решить уравнение |x− 3x| = 0

Решение

Если модуль числа равен нулю, то подмодульное выражение тоже равно нулю:

уравнение с модулем рисунок 86

То есть можно не раскрывать модуль. Достаточно узнать при каких значениях x подмодульное выражение равно нулю. В данном случае для этого нужно решить неполное квадратное уравнение:

уравнение с модулем рисунок 87

Получили корни 0 и 3. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Проверка показывает это:

уравнение с модулем рисунок 88


Пример 5. Решить уравнение x− 5|x| + 6 = 0

Выпишем отдельно модуль |x| и раскроем его:

модуль числа свойство

При раскрытии модуля |x| со знаком плюс, исходное уравнение примет вид x− 5+ 6 = 0. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

уравнение с модулем рисунок 94

Оба корня удовлетворяют условию ≥ 0, значит являются корнями исходного уравнения.

При раскрытии модуля |x| со знаком минус, исходное уравнение примет вид x2 + 5+ 6 = 0. Это тоже квадратное уравнение. Решим его как и предыдущее:

уравнение с модулем рисунок 95

При условии ≥ 0, модуль из уравнения раскрылся с плюсом, получились корни 3 и 2. Оба корня удовлетворяют условию ≥ 0, значит удовлетворяют и исходному уравнению.

При условии < 0, модуль из уравнения раскрылся с минусом, получились корни −2 и −3. Оба корня удовлетворяют условию < 0, значит удовлетворяют и исходному уравнению.

Ответ: 3, 2, −2 и −3.


Сведéние уравнения с модулем в совокупность

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить сведéнием их к так называемой совокупности уравнений.

Элементарными мы будем называть те уравнения с модулем, в которых левая часть является модулем из какого-то выражения, а правая часть — числом. Например, |x| = 3  или |2− 1| = 3.

Решим наше самое первое уравнение |− 2| = 5 сведéнием его к совокупности уравнений. Корнями этого уравнения были числа 7 и −3. Это уравнение тоже считается элементарным.

Если раскрыть модуль |− 2| со знаком плюс, то уравнение |− 2| = 5 примет вид − 2 = 5.

Если раскрыть модуль |− 2| со знаком минус, то уравнение |− 2| = 5 примет вид −(− 2) = 5, то есть+ 2 = 5.

Видим, что из уравнения |− 2| = 5 получилось два уравнения: − 2 = 5 и + 2 = 5. Причём каждое из уравнений имеет свой собственный корень. Уравнение − 2 = 5 имеет корень 7, а уравнение + 2 = 5 — корень −3

Выпишем уравнения x − 2 = 5 и x + 2 = 5 и объединим их квадратной скобкой:

модуль числа рисунок 39

Такой вид записи называют совокупностью уравнений.

Совокупность уравнений — это несколько уравнений, объединённых квадратной скобкой, и имеющих множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Так, число 7 является решением совокупности модуль числа рисунок 39 потому что это число удовлетворяет первому уравнению х − 2 = 5.

Число −3 тоже является решением данной совокупности, поскольку удовлетворяет второму уравнению −х + 2 = 5.

Вместе же числа 7 и −3 образуют множество решений данной совокупности.

В отличие от системы уравнений, совокупность состоит из уравнений, которые не зависят друг от друга. Для каждого уравнения, входящего в совокупность, значение переменной x будет разным. А в системе уравнений значение переменной x удовлетворяет как первому уравнению, так и второму.

Решить совокупность уравнений означает найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений, входящих в данную совокупность.

Решим каждое уравнение совокупности модуль числа рисунок 39 по-отдельности. Это обычные линейные уравнения, которые легко решаются:

уравнение с модулем рисунок 3

Символ ⇔ как было ранее сказано означает равносильность. В данном случае он указывает на то, что все получающиеся совокупности равносильны друг другу.

Итак, мы получили корни 7 и −3. Поскольку эти два числа являются решениями совокупности модуль числа рисунок 39, то значит являются и решениями уравнения |x − 2| = 5.

В исходную совокупность можно включать условия, согласно которым был раскрыт модуль. В этом случае каждое уравнение вместе со своим условием обрамляется знаком системы.

Дополним предыдущую совокупность условиями, согласно которым был раскрыт модуль. К первому уравнению x − 2 = 5 добавим условие x − 2 ≥ 0, а ко второму уравнению −x + 2 = 5 добавим условие x − 2 < 0

модуль числа рисунок 44

Решение каждого уравнения должно удовлетворять своему условию. Поэтому условия и уравнения обрамлены знáком системы.

Решим получившуюся совокупность с условиями. Условия являются неравенствами, которые тоже можно решать:

уравнение с модулем рисунок 4

В первом случае получили корень 7, который удовлетворяет своему условию x ≥ 2. Во втором случае получили корень −3, который удовлетворяет своему условию x < 2.

Не следует бояться таких записей. Это лишь подробное решение, показывающее что откуда взялось. Чаще всего решение можно записать покороче.

Существует схема для сведéния в совокупность уравнения вида |x| = a. Выглядит эта схема так:

уравнение с модулем рисунок 22

Данная схема легко позволяет свести уравнение с модулем в совокупность. Эту схему можно прочитать так: «Если выражение |x| равно a, то подмодульное выражение равно a или −a»

Квадратная скобка в совокупностях заменяет собой слово «или».

Например, уравнение |x| = 5 можно свести в совокупность, рассуждая так: если выражение |x| равно 5, то подмодульное выражение равно 5 или −5.

уравнение с модулем рисунок 25

А применительно к нашему предыдущему примеру можно рассуждать так: если |− 2| равно 5, то подмодульное выражение равно 5 или −5

уравнение с модулем рисунок 26

Это та же самая совокупность, что и в прошлый раз. Убедитесь в этом, умножив обе части второго уравнения на −1.

В уравнениях где слева модуль, а справа число, мы будем чаще использовать именно такой способ записи совокупности. Он позволяет не прибегать к правилу раскрытия модуля, а сразу получить совокупность.

Но надо помнить, что эта схема будет работать только для уравнений вида |x| = a. То есть для уравнений, у которого слева модуль, а справа число.


Пример 2. Решить уравнение |2− 1| = 3

Решение

У этого уравнения слева модуль, а справа число. Значит его можно свести в совокупность, воспользовавшись схемой уравнение с модулем рисунок 89

Если выражение |2− 1| равно 3, то подмодульное выражение 2− 1 равно 3 или −3

уравнение с модулем рисунок 23

Теперь решим каждое уравнение совокупности по отдельности:

уравнение с модулем рисунок 24

Ответ: 2 и −1.


Пример 3. Решить уравнение |+ 2| − 3 = 8

Решение

В некоторых случаях прежде чем свести исходное уравнение в совокупность, его следует упростить.

Так, в данном случае −3 следует перенести в правую часть, изменив знак:

уравнение с модулем рисунок 8

Получили уравнение |+ 2| = 11. Если выражение |+ 2| равно 11, то подмодульное выражение + 2 равно 11 или −11

уравнение с модулем рисунок 39

Решим данную совокупность:

уравнение с модулем рисунок 27

Ответ: 9 и −13.


Пример 4. Решить уравнение  4|x| + 4 = 2|x| + 10

Решение

Перенесём 2|x| из правой части в левую часть, а 4 перенесём из левой части в правую часть:

4|x| − 2|x| = 10 − 4
2|x| = 6

Разделим обе части получившегося уравнения на 2. Тогда получится простое уравнение с модулем:

уравнение с модулем рис 39

Ответ: 3 и −3.


Пример 5. Решить уравнение уравнение с модулем рисунок 76

Решение

Если выражение |2 − 5x2| равно 3, то подмодульное выражение 2 − 5x2 равно 3 или −3

уравнение с модулем рисунок 77

В обоих уравнениях перенесём 2 в правую часть, изменив знак:

уравнение с модулем рисунок 78

В первом уравнении разделим обе части на −5. Во втором уравнении так же разделим обе части на −5. Тогда получим два квадратных уравнения

Первое уравнение не имеет корней, потому что квадрат любого числа положителен, а в данном случае он равен отрицательному числу. Корнями второго уравнения являются числа 1 и −1, поскольку вторая степень этих чисел равна единице.

Ответ: 1 и −1.


Пример 6. Решить уравнение |+ 6| + 4= 5

Решение

Данное уравнение не является уравнением вида |x| = a, значит не получится воспользоваться схемой уравнение с модулем рисунок 89.

Чтобы свести данное уравнение в совокупность, нужно сначала раскрыть его модуль, затем записать совокупность из получившихся уравнения.

Раскроем модуль |+ 6|

уравнение с модулем рисунок 92

Если + 6 ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид + 6 + 4= 5

Если + 6 < 0, то модуль раскроется со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид −x − 6 + 4= 5. Получим следующую совокупность:

уравнение с модулем рисунок 90

Дальнейшее решение элементарно:

уравнение с модулем рисунок 91

Из найденных корней только -1 na 5 является корнем исходного уравнения, поскольку удовлетворяет условию ≥ −6. А корень 11 na 3 не является корнем уравнения, поскольку не удовлетворяет условию x < −6.

Ответ: -1 na 5


Наиболее простой вид

Наиболее простой вид уравнения с модулем выглядит так:

| x | = a

где x — корень уравнения, a — произвольное число, бóльшее или рáвное нулю. То есть a ≥ 0

Если условие a ≥ 0 не выполнено, то уравнение |x|= a корней не имеет. Это следует из определения модуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен.

Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = a

Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

Решение

В данном случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получим верное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение для этого уравнения можно записать, сведя его в совокупность:

«Если выражение |x| равно 2, то подмодульное выражение x равно 2 или −2«

уравнение с модулем рисунок 5

Ответ: 2 и −2


Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

Решение

Если выражение |−x| равно 4, то подмодульное выражение равно 4 или −4

уравнение с модулем рисунок 28

Умножим оба уравнения на −1

уравнение с модулем рисунок 29

Ответ: −4 и 4.


Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

В данном случае корней нет, поскольку модуль всегда неотрицателен. А в данном случае модуль равен отрицательному числу.

Если уравнение с модулем не имеет корней, обычно пишут что x принадлежит пустому множеству:

x ∈ ø

Напомним, что пустым называют множество, не имеющее элементов.


Модуль внутри модуля

Рассмотрим уравнение:

уравнение с модулем рисунок 30

В этом уравнении слева располагается модуль, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, а справа уравнения располагается число. Такой вид уравнения с модулем можно решить, сведя его в совокупность с помощью схемы, которую мы рассмотрели ранее:

уравнение с модулем рисунок 22

В нашем случае если выражение уравнение с модулем рисунок 31 равно 9, то подмодульное выражение |2 + x| + 3 равно 9 или −9

уравнение с модулем рисунок 12

В получившейся совокупности имеется два уравнения с модулем. Эти уравнения тоже в свою очередь следует свести в совокупность. Но сначала немного упростим эти уравнения. В первом и во втором уравнении перенесем 3 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

уравнение с модулем рисунок 13

Теперь сведём эти уравнения в совокупности. Первое уравнение распадётся на следующую совокупность:

уравнение с модулем рисунок 14

Сразу решим совокупность уравнение с модулем рисунок 15. Первый корень равен 4, второй −8.

уравнение с модулем рисунок 16

Теперь решим второе уравнение |2 + x| = −12. Но замечаем, что его правая часть равна отрицательному числу. Это уравнение не имеет корней, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Значит уравнение уравнение с модулем рисунок 30 имеет корни 4 и −8. Проверим эти корни, подставив их в исходное уравнение уравнение с модулем рисунок 30

уравнение с модулем рисунок 29

В данном случае оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 4 и −8.

Вообще, уравнение с модулем внутри которого содержится другой модуль, тоже решается различными способами. Какой способ использовать зависит от самогó уравнения. Решим например следующее уравнение:

уравнение с модулем рисунок 34

Здесь уже нельзя использовать схему уравнение с модулем рисунок 89 потому что слева располагается не только модуль, но и переменная x. Конечно, переменную x можно перенести в правую часть, и тогда можно будет свести данное уравнение в совокупность:

уравнение с модулем рисунок 99

Но тогда справа появляется переменная x, на которую нужно будет вводить дополнительное ограничение, чтобы правая часть уравнения не стала отрицательной. Такой способ решения мы рассмотрим позже. А пока решим исходное уравнение с помощью правила раскрытия модуля.

Чтобы раскрыть модули данного уравнения нужно сначала определиться где внешний и где внутренний модуль.

В уравнении уравнение с модулем рисунок 99 внешним модулем является полностью левая часть уравнение с модулем рисунок 100, а внутренним модулем — выражение уравнение с модулем рисунок 101

уравнение с модулем рисунок 102

Значение внешнего модуля зависит от внутреннего модуля, и раскрываться внешний модуль будет исходя от результата который получился в результате вычисления его подмодульного содержимого.

Например, если = 3, то внутренний модуль |3  x| примет значение 0, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно −2. А это значит что внешний модуль будет раскрываться с минусом.

||3 − x| − x + 1| = ||3 − 3| − 3 + 1| = ||0| − 3 + 1| = |−2| = −(−2) = 2

А если например x = −2, то внутренний модуль |3 − x| примет значение 5, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно 8. А это значит что внешний модуль будет раскрываться с плюсом:

||3 − x| − x + 1| = ||3 − (−2)| − (−2) + 1| = ||5| − (−2) + 1| = | 8 |=8

Поэтому решение будем начинать с раскрытия внутреннего модуля.

Если внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 3 − ≥ 0 (что равносильно неравенству ≤ 3), то исходное уравнение примет вид:

уравнение с модулем рисунок 115

Теперь уравнение имеет только внешний модуль. Решим его раскрыв модуль:

уравнение с модулем рисунок 100

Если −2+ 4  0, то:

уравнение с модулем рисунок 104

Сейчас нас интересуют только те значения x при которых внутренний модуль раскрывается с плюсом, а это произойдет при условии  3. Поэтому для наглядности рядом с найденным корнем указано, что он удовлетворяет условию  3

Решаем далее. Если −2+ 4 < 0, то:

уравнение с модулем рисунок 105

Несмотря на то, что оба найденных корня удовлетворяют уравнению |−2x+4|=6−x, мы исключаем корень 10 na 3 из решений, потому что нас сейчас интересуют только те значения x, при которых внутренний модуль изначального уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рядом с корнем 10 na 3 указано, что он не удовлетворяет условию  3.

Итак, если внутренний модуль раскрывается с плюсом, исходное уравнение принимает вид |−2+ 4| = 6  x и корнем этого уравнения является число −2.

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда 3  < 0 (что равносильно неравенству > 3). Внутренний модуль будет раскрываться с минусом при всех значениях x больших 3.

Если внутренний модуль раскроется с минусом, то исходное уравнение примет вид:

уравнение с модулем рисунок 106

Модуль −2 равен 2. Тогда получаем простейшее линейное уравнение, корень которого равен 4

уравнение с модулем рисунок 107

Получили корень 4, который удовлетворяет условию > 3.

В итоге корнями уравнения являются числа −2 и 4.

Ответ: 2 и 4.


Пример 3. Решить уравнение || 1|  7| = 10

Решение

Слева располагается модуль, а справа число, значит можно применить схему:уравнение с модулем рисунок 22

В данном случае если выражение ||x − 1| − 7| равно 10, то подмодульное выражение |− 1| − 7 равно 10 или 10. Получится совокупность из двух уравнений:

уравнение с модулем рисунок 108

Упростим получившиеся уравнения. Перенесём число −7 в обоих уравнениях в правую часть, изменив знак:

уравнение с модулем рисунок 109

Второе уравнение корней не имеет. Первое уравнение распадется на совокупность уравнение с модулем рисунок 110, корни которой 18 и −16.

уравнение с модулем рисунок 111

Ответ: 18 и −16.

Решим это же уравнение с помощью раскрытия модулей. Начнем с внутреннего модуля.

Если  1  0 (что равносильно  1), то исходное уравнение примет вид:

уравнение с модулем рисунок 114

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

уравнение с модулем рисунок 112

Далее решаем уравнение для случаев когда  8  0 и  8 < 0

уравнение с модулем рисунок 113

Сейчас нас интересуют те значения, при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. А это будет при условии, что  1. Этому условию удовлетворяет только значение 18, поэтому мы пометили его зеленой галочкой для наглядности.

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда  1 < 0 (или что равносильно неравенству < 1).

Если  1 < 0, то исходное уравнение примет вид:

уравнение с модулем рисунок 116

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

уравнение с модулем рисунок 117

Далее решаем уравнение для случаев когда − 6 ≥ 0 и  6 < 0

уравнение с модулем рисунок 118

Из найденных корней только −16 удовлетворяет условию < 1.

В итоге корнями уравнения || 1|  7| = 10 являются числа 18 и −16.

Видно, что с помощью схемы уравнение с модулем рисунок 89  данное уравнение решилось легче и быстрее, чем способом раскрытия модулей.


Слева модуль, а справа выражение с переменной

Решим следующее уравнение с модулем:

|4− 3| = 3x

Здесь так же применима схема:

уравнение с модулем рисунок 22

То есть, если выражение |4− 3| равно 3x, то подмодульное выражение 4− 3 должно равняться 3x или −3x.

уравнение с модулем рисунок 96

Но в исходном уравнении переменная x содержится не только под знáком модуля, но и в правой части. Нам пока неизвестно какое значение примет переменная x. Если x примет отрицательное значение, то правая часть станет полностью отрицательной. В этом случае корней не будет, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Поэтому, если мы хотим решить данное уравнение, то при сведéнии его в совокупность, дополнительно следует ввести ограничение в виде условия 3≥ 0. Это будет означать, что правая часть уравнения |4 3| = 3x должна быть больше либо равна нулю:

уравнение с модулем рисунок 16

Совокупность и условие обрамлены знаком системы, потому что решения совокупности должны удовлетворять условию 3x ≥ 0.

Итак, решим совокупность. Условие 3x ≥ 0 является неравенством, которое тоже можно решить:

уравнение с модулем рисунок 30

Получившиеся корни можно подставить в условие ≥ 0 и посмотреть выполняется ли оно. Если выполняется, то найденные корни удовлетворяют уравнению. В данном случае при подстановке обеих корней в неравенство, оно выполняется. Проверка также показывает, что корни удовлетворяют уравнению:

уравнение с модулем рисунок 36


Пример 2. Решить уравнение |2− 1| = 5− 10

Решение

Решим это уравнение таким же образом, как и предыдущее. Введём условие, требующее чтобы правая часть была больше либо равна нулю:

уравнение с модулем рисунок 18

В данном случае только значение 3 удовлетворяет условию ≥ 2. Оно же является единственным корнем исходного уравнения. Проверка показывает это:

уравнение с модулем рисунок 19

А число 11 na 7 не удовлетворяет условию ≥ 2 и не является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

уравнение с модулем рисунок 20

Видим, что модуль стал равен отрицательному числу, а это противоречит определению модуля и нашему условию ≥ 2.


Пример 3. Решить уравнение уравнение с модулем рисунок 34

Решение

Это уравнение мы решили, когда учились решать уравнения с модулем внутри которых другой модуль. Теперь данное уравнение можно решить, сведя его в совокупность.

Для начала перенесём x в правую часть, изменив знак:

уравнение с модулем рисунок 30

Теперь сведём данное уравнение в совокупность. Дополнительно введём условие в виде неравенства 6 − ≥ 0

уравнение с модулем рисунок 31

В левой части первого уравнения оставим модуль, остальные члены перенесём в правую часть. Тоже самое сделаем и со вторым уравнением. Также будем решать неравенство 6 − ≥ 0, оно позволит в конце проверять найденные корни на соответствие:

уравнение с модулем рисунок 32

Решим первое уравнение. Оно распадётся на следующую совокупность:

уравнение с модулем рисунок 33

Получились корни −2 и 8. Из них только −2 удовлетворяет условию ≤ 6.

Теперь решим второе уравнение. Оно является уравнением, содержащим переменную в правой части. При сведении его в совокупность дополним его условием −7 + 2≥ 0

уравнение с модулем рисунок 34

Дальнейшее элементарно:

уравнение с модулем рисунок 35

При решении второго уравнения получились корни 10 na 3 и 4. Прежде чем сверять их с условием  6 следует сверить их с условием уравнение с модулем рисунок 97 под которое решалось уравнение |3 − x| = −7 + 2x. Условию уравнение с модулем рисунок 97 удовлетворяет только корень 4.

В итоге корнями исходного уравнения уравнение с модулем рисунок 34 являются числа −2 и 4.


Пример 4. Решить уравнение |4x + 20| = −6x

Решение

На первый взгляд покажется, что данное уравнение не имеет решений, потому что правая часть отрицательна. Но это не совсем так. Правая часть содержит переменную x, которая может принять отрицательное значение или ноль, и это приведёт к тому что правая часть станет положительной либо равной нулю. А такое уравнение имеет право на существование.

В данном случае мы решим это уравнение, сведя его в совокупность. Но при этом укажем, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

уравнение с модулем рисунок 39

Из найденных корней только корень −2 удовлетворяет исходному уравнению. Также он удовлетворяет нашему условию  0.

Ответ: −2.


Когда обе части — модули

Решим следующее уравнение:

|+ 7| = |1 + 3x|

Обе части этого уравнения являются модулями. Раскроем эти модули. Будем учитывать все возможные случаи при их раскрытии.

Случай 1. Если + 7 ≥ 0 и 1 + 3≥ 0, то модули в обеих частях раскроются со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид:

x + 7 = 1 + 3x

Это простейшее линейное уравнение. Решим его:

уравнение с модулем рис 1

Случай 2. Если + 7 < 0 и 1 + 3< 0, то модули в обеих частях раскроются со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид:

−(x + 7) = −(1 + 3x)

Раскроем скобки, получим:

x − 7 = −1 − 3x

Замечаем, что если умножить обе части этого уравнения на −1, то получается уравнение x + 7 = 1 + 3x. А это уравнение мы получали в результате раскрытия модулей со знаком плюс.

То есть уравнения x + 7 = 1 + 3x и x − 7 = −1 − 3x являются равносильными, а значит имеют одни и те же корни. Убедимся в этом, решив уравнение  7 = −1  3x

уравнение с модулем рис 2

Поэтому, раскрыв модули со знаком плюс, нет необходимости раскрывать их со знаком минус, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Следующий случай это когда + 7 ≥ 0 и 1 + 3< 0. Тогда исходное уравнение примет вид + 7 = −1 − 3x. Найдём корень этого уравнения:

уравнение с модулем рис 4

И последний случай это когда + 7 < 0 и 1 + 3x ≥ 0. Тогда уравнение примет вид x − 7 = 1 + 3x. Если умножить это уравнение на −1, то получим уравнение + 7 = −1 − 3x. А это уравнение мы получали, когда рассматривали предыдущий случай (случай + 7 ≥ 0 и 1 + 3< 0).

Следовательно, уравнениеx − 7 = 1 + 3x равносильно предыдущему уравнению + 7 = −1 − 3x. Убедимся в этом решив уравнение −x − 7 = 1 + 3x

уравнение с модулем рис 5

Значит раскрыв левую часть со знаком плюс, а правую часть со знаком минус, нет необходимости раскрывать левую часть со знаком минус, а правую часть со знаком плюс, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Вообще, если в уравнении обе части являются модулями как в данном примере, то это уравнение можно свести в следующую совокупность:

уравнение с модулем рисунок 38

В этой конструкции уравнение вида |a| = |b| сведено в совокупность из двух уравнений = b и = b. Видно что первое уравнение получается путем раскрытия обоих модулей со знаком плюс, а второе уравнение — путем раскрытия модуля |a| со знаком плюс, а модуля|b|— со знаком минус.

Важно. Данная схема работает только тогда, когда обе части являются модулями без посторонних членов. Проще говоря, если будет дано уравнение, например |a| = |b| + c, то приведенную схему использовать нельзя.


Пример 2. Решить уравнение |2 − 3x| = |+ 5|

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

уравнение с модулем рисунок 38

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс, во втором уравнении — модуль |2  3x| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |+ 5| со знаком минус:

уравнение с модулем рисунок 13

Выполним проверку:

уравнение с модулем рисунок 37

Ответ: Минус три четвертых  и  Семь вторых


Пример 3. Решить уравнение |x− 13+ 35|=|35 − x2

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

уравнение с модулем рисунок 38

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс. Во втором уравнении — модуль |x− 13+ 35| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |35 − x2| со знаком минус:

уравнение с модулем рисунок 73

Приведём подобные члены в обоих уравнениях:

уравнение с модулем рисунок 74

Первое уравнение является неполным квадратным. Решим его, вынеся x за скобки. Второе уравнение решается элементарно:

уравнение с модулем рисунок 75

Ответ:   70 na 13,  , 0.


Когда решение — числовой промежуток

Нередко приходиться решать уравнения с модулем, где корнями являются не один или два числа, а числовой промежуток. Таковым, например, является уравнение:

|5+ 3| = −5− 3

Раскроем модуль этого уравнения:

уравнение с модулем рисунок 47

Если раскрыть модуль со знаком плюс, то получается уравнение 5+ 3 = −5 3. Решим его:

уравнение с модулем рисунок 48

А если раскрыть модуль со знаком минус, то получится уравнение −5 3 = −5 3. В этом уравнении обе части являются одинаковыми, а значит данное равенство является тождеством. Оно будет верно при любом значении x. Значит корнями уравнения −5 3 = −5 3 являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

x ∈ (−∞; +∞)

Но надо помнить про условия, согласно которым были раскрыты модули. В первом случае мы получили корень Минус три пятых. Он будет верен только при условии что уравнение с модулем рисунок 62. Это условие соблюдено. Проверка также показывает что корень подходит:

уравнение с модулем рисунок 61

Значит один из корней уравнений равен Минус три пятых

Во втором случае мы получили множество корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только при условии что уравнение с модулем рисунок 63

Например, если взять любое число из промежутка (−∞; +∞), но которое не будет удовлетворять условию уравнение с модулем рисунок 63, то это число не будет обращать наше уравнение в верное равенство.

Например, число 2 принадлежит промежутку (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию уравнение с модулем рисунок 63, а значит число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

уравнение с модулем рисунок 64

А если взять к примеру число −5, то оно будет принадлежать промежутку (−∞; +∞) и удовлетворять условию уравнение с модулем рисунок 63, а значит будет обращать исходное уравнение в верное равенство:

уравнение с модулем рисунок 65

Поэтому ответ надо записать так, чтобы были выполнены оба условия уравнение с модулем рисунок 62  и уравнение с модулем рисунок 63. Для наглядности нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

уравнение с модулем рисунок 49Отметим на ней наш первый корень Минус три пятых

уравнение с модулем рисунок 66

Раскрыв модуль со знаком минус и решив получившееся уравнение, мы получили в ответе множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было дано условие уравнение с модулем рисунок 63. Значит более точным ответ в этом случае будет таким:

Корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии уравнение с модулем рисунок 63 являются все числа от минус бесконечности до Минус три пятых

Значит на координатной прямой нужно заштриховать область слева от числа Минус три пятых. Они будут иллюстрировать числа, меньшие Минус три пятых

уравнение с модулем рисунок 67

Число Минус три пятых тоже является верным корнем исходного уравнения. Он был получен при раскрытии модуля со знаком плюс. Поэтому на координатной прямой пустой кружок нужно закрасить. Так мы включим число Минус три пятых во множество решений:

Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

уравнение с модулем рисунок 69

Ответ: уравнение с модулем рисунок 69

Также, можно решить это уравнение сведя его в совокупность, дополнительно указав, что правая часть должна быть больше либо равна нулю:

уравнение с модулем рисунок 119


Пример 2. Решить уравнение |2 3| = 3  2x

Решение

уравнение с модулем рисунок 120

Решим исходное уравнение для случаев когда 2 3 ≥ 0 и 2 3 < 0

уравнение с модулем рисунок 121

уравнение с модулем рисунок 122

Ответ: уравнение с модулем рисунок 123


Использование координатной прямой

Рассмотрим ещё один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот способ используется редко, но знать о нём не помешает.

Решим наше самое первое уравнение |− 2| = 5 с помощью координатной прямой. Напомним, что корнями этого уравнения были числа 7 и −3.

Модуль есть расстояние от начала координат до точки A. Либо расстояние между двумя числами на координатной прямой.

Расстояние между двумя числами выражается в виде разности |x1x2|, где x1 — первое число, x2 — второе число.

Если внимательно посмотреть на уравнение |x − 2|= 5, то можно увидеть что его левая часть это расстояние от x до 2 (или от 2 до x) и это расстояние равно 5. Отмéтим на координатной прямой число x и число 2

модуль числа рисунок 25

Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит о том, что расстояние от x до 2 составляет пять единиц:

модуль числа рисунок 26

Если расстояние от x до 2 равно 5, то и расстояние от 2 до x тоже равно 5. Это позволяет отсчитать пять целых шагов от числа 2 к числу x и таким образом узнать значение x

модуль числа рисунок 34

Видно, что отсчитав пять шагов влево мы попали в точку с координатой −3. А это один из корней, который мы находили для уравнения |x − 2|= 5.

Но пять целых шагов от числа 2 можно отсчитать не только влево, но и вправо:

модуль числа рисунок 35

Если отсчитать пять целых шагов вправо, то попадём в точку с координатой 7. Это тоже был корень уравнения |− 2|= 5

модуль числа рисунок 23


Несколько модулей в одной части

Решим следующее уравнение:

| 5|  |x| = 1

Это уравнение содержит два модуля в левой части. Чтобы решить данное уравнение нужно раскрыть его модули. Рассмотреть нужно каждый из случаев:

  • когда оба модуля больше либо равны нулю;
  • когда оба модуля меньше нуля;
  • когда первый модуль больше либо равен нулю, а второй модуль меньше нуля;
  • когда первый модуль меньше нуля, а второй модуль больше либо равен нулю.

Не будем комментировать каждый случай, а сразу приведём решение:

uravnenie-s-modulem-risunok-52

Первые два случая корней не дали. В третьем случае нашелся корень 3, но он не удовлетворяет условиям  5  0 и < 0, поэтому не является корнем исходного уравнения.

В четвёртом случае нашёлся корень 2, который удовлетворяет условиям  5 < 0 и ≥ 0. Также он удовлетворяет исходному уравнению.

Заметно, что такой способ решения уравнения неудобен. Если модулей в уравнении будет три, четыре или более, то придётся рассматривать намного больше случаев. Человек запутавшись, может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Поэтому такой вид уравнения как в данном примере удобнее решать методом интервалов. Об этом мы поговорим в следующем уроке.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 8. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 9. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 10. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 11. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .
Задание 12. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0, 5.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

| 3 |= 3

|−3|= 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

модуль числа рисунок 10

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

|x1x2|

Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

модуль числа рисунок 26

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

|2 − 5| = |−3| = 3

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

модуль числа рисунок 27

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

модуль числа рисунок 28

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

|5 − 2| = | 3 | = 3

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

|x1 x2| = |x2 x1|

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.


Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

модуль числа свойство

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ и «если x < .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x < 0, то под знáком модуля располагается отрицательное число. После знака равенства нужно подстáвить данное отрицательное число вместо x и раскрыть скобки.

Например, найдём модуль числа −7, используя правило раскрытия модуля:

модуль числа свойство

Итак, = −7

|−7|

В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −7 < 0

модуль числа рисунок 5

Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = −x. Подстáвим вместо x число −7

модуль числа рисунок 7

Отсюда:

модуль числа рисунок 6

Поэтому |−7| = 7.


Пример 2. Пусть = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

| 5 |

В данном случае выполняется первое условие ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

модуль числа рисунок 8

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

модуль рисунок 1

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках < 0 и ≥ 0.

К примеру, если взять числа 1, 9 и 13, а они принадлежат промежутку ≥ 0, то согласно рисунку модуль  |x| раскроется со знаком плюс:

| 1 | = 1

| 9 | = 9

| 13 | = 13

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

|−3| = −(−3) = 3

|−9| = −(−9) = 9

|−15| = −(−15) = 15


Пример 3. Пусть = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

|√4 − 6|

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4|

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −4 < 0

модуль числа рисунок 5

Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x. Продолжаем решение в исходном примере:

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 < 0

В некоторых учебниках можно встретить следующую запись правила раскрытия модуля:

модуль числа рисунок 16

В этой записи первое условие которое ранее выглядело как ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если > 0, то выражение |x| будет равно x, а если x=0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

| 0 |

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

 

модуль числа рисунок 17

Отсюда: |0| = 0


Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид + 3.

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −+ 3. Чтобы сделать это выражение более удобным для восприятия, поменяем местами его члены, полýчим 3 − x

Теперь запишем решение так:

модуль числа рисунок 47

Проверим это решение при произвольных значениях x.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

|x|+ 3 = x + 3 = 5 + 3 = 8

Найдём значение выражения |x|+ 3 при = −6. Поскольку −6 < 0, то модуль содержащийся в выражении |x|+ 3 раскроется со знаком минус и тогда решение примет вид:

|x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9


Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3, откуда 2x + 3.

Если x + 3 < 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком минус и тогда исходное выражение примет вид x − (x + 3), откуда x − x − 3 = −3.

Запишем решение так:

модуль числа рисунок 5

Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 являются неравенствами. Их можно привести к более простому виду, решив их:

модуль числа рисунок 6

Тогда условия из решения можно заменить на равносильные x ≥ −3 и x < −3

модуль числа рисунок 7

Во втором случае когда x строго меньше −3 выражение x +|x + 3| всегда будет равно постоянному числу −3.

Например, найдём значение выражения x +|x + 3| при x = −5. Поскольку −5 < −3, то согласно нашему решению значение выражения x +|x + 3| будет равно −3

При x = −5,
x +|x + 3| = x − x − 3 = −5(−5) 3 = −3

Найдём значение выражения x +|x + 3| при = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

При x = 4,
x +|x + 3| = 2x+3 = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

x +|x + 3| = 2+ 3 = 2 × (−3) + 3 = −6 + 3 = −3


Пример 3. Раскрыть модуль в выражении модуль числа рисунок 8

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

модуль числа рисунок 10

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие ≥ 0, которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения модуль числа рисунок 8 обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором = 0

модуль числа рисунок 16

Перепишем решение так:

модуль числа рисунок 9

В первом случае написано условие > 0. Тогда выражение модуль числа рисунок 8 станет равно 1. Например, если = 3, то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

модуль числа рисунок 11

И так будет при любом x, бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0. Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x < 0. Тогда выражение модуль числа рисунок 8 станет равно −1. Например, если = −4, то числитель станет равен 4, а знаменатель −4, откуда полýчится единица −1

модуль числа рисунок 12


Пример 4. Раскрыть модуль в выражении модуль числа рисунок 18

Если ≥ 0, то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид модуль числа рисунок 19, которое при любом x, бóльшем нуля, будет равно единице:

модуль числа рисунок 20

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид модуль числа рисунок 21

модуль числа рисунок 22

Но надо учитывать, что при = − 1 знаменатель выражения модуль числа рисунок 18 обращается в ноль. Поэтому второе условие < 0 следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

модуль числа рисунок 23

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2+ 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

модуль числа рисунок 48

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если x ≥ 0, то получим 3− 2+ 5y, откуда + 5y.

Если < 0, то получим −3x − 2+ 5y, откуда −5+ 5y. Вынесем за скобки множитель −5, получим −5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

модуль числа рисунок 24


Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 2. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 3. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 4. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 5. Раскройте модуль:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида axbx c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

axbx c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(− x1)(− x2)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

axbx c = a(− x1)(− x2)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x− 8+ 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x− 8+ 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 2

Итак, x= 6, x= 2. Теперь воспользуемся формулой axbx c = a(− x1)(− x2). В левой части вместо выражения axbx c напишем свой квадратный трёхчлен x− 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае = 1, x= 6, x= 2

x− 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x− 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x− 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x− 6− 2+ 12 = x− 8+ 12


Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x− 14+ 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x− 14+ 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 1

Итак, x= 4, x= 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x− 14+ 24 к выражению a(− x1)(− x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае = 2

2x− 14+ 24 = 2(− 4)(− 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x− 14+ 24

2(− 4)(− 3) = 2(x− 4−3+ 12) = 2(x− 7+ 12) = 2x− 14+ 24


Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

xbx c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен xbx c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения xx= −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 12

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 13

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен xbx c

разложение квадратного трехчлена на множители рис 14

Раскроем скобки там где это можно:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 15

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 16

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель x2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 17

Далее замечаем, что выражение (− x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 18

Мы пришли к тому, что выражение xbx c стало равно (− x1)(− x2)

xbx c(− x1)(− x2)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

axbx c = a(− x1)(− x2)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид axbx = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Теорема Виета рисунок 66

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение axbx = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

квадратное уравнение рисунок 122

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида axbx c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства разложение квадратного трехчлена на множители рис 19 и разложение квадратного трехчлена на множители рис 20

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 3

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

разложение квадратного трехчлена на множители рис 4

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен axbx c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 5

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax− ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 6

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 7

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 9

Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 10

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 11

Мы пришли к тому, что выражение axbx c стало равно a(− x1)(− x2)

axbx c = a(− x1)(− x2)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(− x1)(− x2) вместо переменных x1 и x2.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2. Например, квадратный трёхчлен x+ 4+ 4 имеет только один корень −2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 12

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 13

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 14

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (+ 2)2 поскольку выражение (+ 2)(+ 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (+ 2)

разложение квадратного трехчлена на множители рис 15


Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x− 2− 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 21

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x− 2− 1, а в правой части — его разложение в виде a(− x1)(− x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 23

разложение квадратного трехчлена на множители рис 22

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 24


Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

− 11x + 6x2

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x2 − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 25

Воспользуемся формулой разложения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 26

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

разложение квадратного трехчлена на множители рис 27

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 28


Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 29

Воспользуемся формулой разложения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 30


Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x− 8k содержит множитель (− 2)

Если разложение содержит множитель (− 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 31

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби 8 na 3, а произведение корней — дроби k na 3

разложение квадратного трехчлена на множители рис 32

Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 33

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

разложение квадратного трехчлена на множители рис 34


Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 35

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим разложение квадратного трехчлена на множители рис 36. Если поменять местами сомножители, то получится 1 na 2 x v 2. То есть коэффициент a станет равным одна вторая

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 37

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 38

Воспользуемся формулой разложения:


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь a na b. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь ac na bc. Докáжем, что дроби a na b и ac na bc равны. То есть докажем, что равенство a na b ravno ac na bc является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

Основное свойство дроби рисунок 1

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Основное свойство дроби рисунок 2

Поскольку равенство a na b ravno ac na bc является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби a na b и ac na bc равны. Теорема доказана.


Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения xbx = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение xbx = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:

Теорема Виета рисунок 23

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x+ 4+ 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x+ 4+ 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

Теорема Виета рисунок 55

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x+ 4+ 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теорема Виета рисунок 54

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x+ 4+ 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Теорема Виета рисунок 58

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x+ 4+ 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x+ 4+ 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней xx2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

Теорема Виета рисунок 59

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x+ 4+ 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Теорема Виета рисунок 60

Значит выражение Теорема Виета рисунок 54 является справедливым.


Рассмотрим квадратное уравнение x− 8+ 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

Теорема Виета рисунок 57

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x− 8+ 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теорема Виета рисунок 56

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Теорема Виета рисунок 61

Видим, что корнями уравнения x− 8+ 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x− 8+ 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x− 8+ 15 = 0.

Значит выражение Теорема Виета рисунок 56 является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x− 2+ 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Теорема Виета рисунок 61

Но уравнение x− 2+ 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D1 = k− ac = (−1)− 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение Теорема Виета рисунок 61 не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x− 5+ 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Теорема Виета рисунок 50

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x× x= 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство xx= 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству xx= 5, так и равенству x× x= 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству xx= 5 так и равенству x× x= 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Теорема Виета рисунок 51

Значит, x= 3, x= 2

Теорема Виета рисунок 63


Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение xbx = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Теорема Виета рисунок 23

Докажем, что равенства xx= −b и x× xc имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 90

Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение xx2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении xbx = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Теорема Виета рисунок 3

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Теорема Виета рисунок 5

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Теорема Виета рисунок 6

Сократим дробь Теорема Виета рисунок 7 на 2, тогда получим b

Теорема Виета рисунок 8

Значит xx2 действительно равно b

xx= −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x× x2 равно свободному члену c.

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Теорема Виета рисунок 10

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

Теорема Виета рисунок 13

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a− b2. Тогда в числителе полýчится Теорема Виета рисунок 14 А знаменатель будет равен 4

Теорема Виета рисунок 16

Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение Теорема Виета рисунок 17 станет равно просто D

Теорема Виета рисунок 15

Но D равно b− 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что = 1. То есть вместо b− 4ac надо подставить b− 4c

Теорема Виета рисунок 18

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Теорема Виета рисунок 20

Сократим получившуюся дробь на 4

Теорема Виета рисунок 21

Значит x× x2 действительно равно c.

x× xc

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения xbx = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (xx= −b), а произведение корней равно свободному члену (x× xc). Теорема доказана.


Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения xbx = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения xbx = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения xbx = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x− 5+ 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

Теорема Виета рисунок 50

А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x− 5+ 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x− 5+ 6 = 0.


Пример 2. Решить квадратное уравнение x− 6+ 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8

Теорема Виета рисунок 26

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству xx= 6, так и равенству x× x= 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x× x= 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x× x= 8, но и равенству xx= 6.

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x× x= 8, но не удовлетворяют равенству xx= 6.

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x× x= 8, так и равенству xx= 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Теорема Виета рисунок 28

Значит корнями уравнения x− 6+ 8 = 0 являются числа 4 и 2.

Теорема Виета рисунок 30

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения xbx = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения xbx = 0, то числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c

Теорема Виета рисунок 46

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0.

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теорема Виета рисунок 49

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение xbx = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b

Теорема Виета рисунок 47

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения xbx = 0.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения xbx = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.

Теорема Виета рисунок 48

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения xbx = 0.


Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x− 4+ 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:

Теорема Виета рисунок 31

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Теорема Виета рисунок 32

Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле квадратное уравнение рисунок 96

Теорема Виета рисунок 33

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.


Пример 2. Решить уравнение x+ 3+ 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теорема Виета рисунок 41

Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней xx2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x× x= 2.

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x× x= 2, но не будет выполняться равенство xx= −3.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.

Теорема Виета рисунок 42

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Теорема Виета рисунок 43


Пример 3. Решить уравнение x+ 16+ 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теорема Виета рисунок 44

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x+ 16+ 15 = 0 являются числа −1 и −15

Теорема Виета рисунок 45


Пример 4. Решить уравнение x− 10− 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теорема Виета рисунок 52

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10

Теорема Виета рисунок 53

Значит корнями уравнения x− 10− 39 = 0 являются числа −3 и 13

Теорема Виета рисунок 73


Пример 5. Первый корень уравнения xbx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

x1 × x2 = 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15.

15 × x2 = 45

Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

15 × 3 = 45

Значит x2 = 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

Теорема Виета рисунок 74

Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:

15 + 3 = 18

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

x2 − 18+ 45 = 0

Значит = −18.

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Теорема Виета рисунок 23

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения xbx + 45 = 0 равен 45

Теорема Виета рисунок 77

Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:

Теорема Виета рисунок 78

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теорема Виета рисунок 79

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Теорема Виета рисунок 80

Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18

Теорема Виета рисунок 81

Этот же результат можно получить если в выражении Теорема Виета рисунок 80 умножить первое равенство на −1

Теорема Виета рисунок 82

Теперь возвращаемся к исходному уравнению xbx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Теорема Виета рисунок 83

Выполним умножение −18 на x. Получим −18x

Теорема Виета рисунок 84

Раскроем скобки:

Теорема Виета рисунок 85


Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.

В этом задании корни уже известны. То есть x= 2, x= 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида xbx = 0.

Запишем сумму и произведение корней:

Теорема Виета рисунок 64

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит = −10.

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.

Значит = −10, = 16. Отсюда:

x2 − 10+ 16 = 0


Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа Теорема Виета рисунок 75 и Теорема Виета рисунок 76.

Запишем сумму и произведение корней:

Теорема Виета рисунок 65

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

x2 − 2x − 1 = 0


Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.

Если к примеру в квадратном уравнении axbx = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a

Теорема Виета рисунок 67

Получилось уравнение приведенное квадратное уравнение, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен b na a, а свободный член равен c na a. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Теорема Виета рисунок 66

Например, решим квадратное уравнение 4x+ 5+ 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4

теорема виета рисунок 68

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен 5 на 4, а свободный член одна четвертая. Тогда по теореме Виета имеем:

Теорема Виета рисунок 66

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Теорема Виета рисунок 67

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.


 

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x− 7+ 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2

Теорема Виета рисунок 36

Получили уравнение Теорема Виета рисунок 36. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Теорема Виета рисунок 37

Отсюда методом подбора находим корни 2 и одна третья

Теорема Виета рисунок 40


Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x− 3− 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2

икс в квадрате строчное выражение

Далее если −3x разделить на 2, то полýчится минус 3x на 2. Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде минус 3x на 2 2

теорема виета рисунок 69

Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1

теорема виета рисунок 71

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

теорема виета рисунок 70

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

теорема виета рисунок 72

Отсюда методом подбора находим корни 2 и минус одна вторая


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении axbx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле Dk− ac, а корни по формулам квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

Примеры

Решим квадратное уравнение x+ 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.


Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.


Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = 3− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 3

Значит корнями уравнения x+ 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b− 4ac), в формуле Dk− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения формулы квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2 не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.


Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x− 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−3)− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 11


Пример 3. Решить квадратное уравнение x− 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−5)− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 14

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 15


Пример 5. Решить квадратное уравнение квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 16

Коэффициент b равен два корня из двух. Это выражение состоит из множителя 2 и выражения корень из 2. То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что k равно два корня из двух

Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 19.

Вычислим второй корень уравнения:

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 20


Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение axbx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении axbx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax+ 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k− ac.

В выражении 4(k− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Dk− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

В нашем уравнении axbx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k− ac)

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 5

Но ранее было сказано, что выражение k− ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 8

Сократим получившуюся дробь на 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 10

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; 0,6
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; −1,4
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

примеры квадратных уравнений

Решим первое из этих уравнений, а именно x− 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x− 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 120

Получили уравнение x= 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x= 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b= a и обозначается как b равно корень из a

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x= 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что x равно корень из 4. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем = 2 и = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение x равно корень из 4, перед корень кв из 4 следует поставить знак ±

квадратное уравнение рисунок 35

Затем найти арифметическое значение квадратного корня корень кв из 4

квадратное уравнение рисунок 36

Выражение = ± 2 означает, что = 2 и = −2. То есть корнями уравнения x− 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 9

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 10

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (+ 2)= 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

квадратное уравнение рисунок 24

То есть наша задача найти x, при которых выражение + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

квадратное уравнение рисунок 12

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

квадратное уравнение рисунок 11

Значит корнями уравнения (+ 2)= 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (+ 2)= 25 выражение (+ 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что квадратное уравнение рисунок 37.

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: + 2 = 5 и + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (+ 2)= 25

квадратное уравнение рисунок 38

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

квадратное уравнение рисунок 13

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x− 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x= 2 и x= −2. 

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (+ 2)= 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 14

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x+ 2= 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение axbx = 0. Для этого в уравнении 3x+ 2= 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x2 + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x+ 2− 16 = 0. В этом уравнении = 3, = 2, = −16.

В квадратном уравнении вида axbx = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x+ 2− 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x+ 2− 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x= 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4xx = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

квадратное уравнение рисунок 39

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x+ 6= 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0. В этом уравнении = 2, = 6, = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 3

Получилось уравнение 2x− 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x= 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратное уравнение рисунок 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x= 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x= 4, то квадратное уравнение рисунок 40. Отсюда = 2 и = −2.

Значит корнями уравнения 2x− 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 1

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 4

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как axbx = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax= 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x− 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x− 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax= 0, то есть неполным. В нем = 1, = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

квадратное уравнение рисунок 25

Получили квадратное уравнение 2x+ 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

квадратное уравнение рисунок 26

Получилось уравнение x(2+ 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2+ 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2+ 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

квадратное уравнение рисунок 6

Получилось два уравнения: = 0 и 2+ 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2+ 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

квадратное уравнение рисунок 5

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x+ 6= 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 7

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 8

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 27

Получили уравнение 2x= 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что = 0. Действительно, 2 × 0= 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида axbx = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x− 32 = 0, то мы говорим, что = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением axbx = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x− 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение axbx = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x− 2+ 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (− 1)2.

квадратное уравнение рисунок 41

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение − 1 = 0, можно узнать чему равно x

квадратное уравнение рисунок 42

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (− 1)= 0 выражение (− 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что квадратное уравнение рисунок 43. В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается − 1 = 0. Отсюда = 1.

Значит корнем уравнения x− 2+ 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x+ 2− 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

квадратное уравнение рисунок 16

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 18

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (+ 1)= 4 выражение (+ 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что квадратное уравнение рисунок 44. Вычисление правой части даст выражение + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: + 1 = 2 и + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

квадратное уравнение рисунок 45

Значит корнями уравнения x+ 2− 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

квадратное уравнение рисунок 20


Пример 3. Решить уравнение x− 6+ 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратное уравнение рисунок 21

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

квадратное уравнение рисунок 28

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

квадратное уравнение рисунок 23


Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x+ 28− 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратное уравнение рисунок 29

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 30

Воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 46

Получили два простых уравнения: 2+ 7 = 11 и 2+ 7 = −11. Решим их:

квадратное уравнение рисунок 32


Пример 5. Решить уравнение 2x+ 3− 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)= 22x= 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

квадратное уравнение рисунок 121

В уравнении 2x+ 3− 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 33

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

квадратное уравнение рисунок 34

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

квадратное уравнение рисунок 47

Выделим полный квадрат.

квадратное уравнение рисунок 48

При представлении члена 3 на 2 на x в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби три вторых сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на одна вторая. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 49

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 50

Перенесём дробь квадратное уравнение рисунок 51 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 52

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение квадратное уравнение рисунок 53 представляет собой квадратный корень из числа квадратное уравнение рисунок 54

квадратное уравнение рисунок 55

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратный корень из дроби

Тогда наше уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 56

Полýчим два уравнения:

квадратное уравнение рисунок 58

Решим их:

квадратное уравнение рисунок 59

Значит корнями уравнения 2x+ 3− 27 = 0 являются числа 3 и -9 na 2.

Корень -9 na 2 удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

квадратное уравнение рисунок 60

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x+ 3− 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x+ 3− 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

квадратное уравнение рисунок 47

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида axbx = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения axbx = 0 нужно разделить на a

квадратное уравнение рисунок 122


Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x+ 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

квадратное уравнение рисунок 75

Выделим полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 76

Получили уравнение квадратное уравнение рисунок 77 , в котором квадрат выражения квадратное уравнение рисунок 78 равен отрицательному числу квадратное уравнение рисунок 79. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна квадратное уравнение рисунок 79. Значит уравнение квадратное уравнение рисунок 77 не имеет корней.

А поскольку уравнение квадратное уравнение рисунок 77 равносильно исходному уравнению 2x+ 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.


Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение axbx = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения axbx = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения axbx = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

квадратное уравнение рисунок 61

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 62

Перенесем члены квадратное уравнение рисунок 64 и квадратное уравнение рисунок 65 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 66

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

квадратное уравнение рисунок 67

В числителе правой части вынесем за скобки a

квадратное уравнение рисунок 68

Сократим правую часть на a

квадратное уравнение рисунок 69

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение квадратное уравнение рисунок 74 имеет те же корни, что и исходное уравнение axbx = 0.

Уравнение квадратное уравнение рисунок 74 будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения квадратное уравнение рисунок 74 всегда будет положительным, то знак дроби квадратное уравнение рисунок 72 будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b− 4ac.

Выражение b− 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b2 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x+ 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x+ 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b− 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x+ 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида квадратное уравнение рисунок 74, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b− 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b− 4ac. Подставим в уравнении квадратное уравнение рисунок 74 вместо выражения b− 4ac букву D

квадратное уравнение рисунок 80

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (< 0), то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 81

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (> 0), то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 82

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 83

Получили уравнение квадратное уравнение рисунок 84. Из него полýчится два уравнения: квадратное уравнение рисунок 85 и квадратное уравнение рисунок 86. Выразим x в каждом из уравнений:

квадратное уравнение рисунок 87

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения axbx = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

квадратное уравнение рисунок 90

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x+ 2− 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, = 1, = 2, = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x+ 2− 8 = 0

D = b2 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 91

Значит корнями уравнения x+ 2− 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

квадратное уравнение рисунок 92

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению квадратное уравнение рисунок 80. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

квадратное уравнение рисунок 93

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 94

Далее выражаем x

квадратное уравнение рисунок 95

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x− 6+ 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении = 1, = −6, = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b2 4ac = (−6)− 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (= 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле квадратное уравнение рисунок 96

квадратное уравнение рисунок 97

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Теорема Виета рисунок 34

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу квадратное уравнение рисунок 96, а не формулы формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Это позволяет сэкономить время и место.


Пример 3. Решить уравнение 5x− 6+ 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 98

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 99

Значит корнями уравнения 5x− 6+ 1 = 0 являются числа 1 и одна пятая.

Ответ: 1; одна пятая.


Пример 4. Решить уравнение x+ 4+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 100

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле квадратное уравнение рисунок 96

квадратное уравнение рисунок 101

Значит корнем уравнения x+ 4+ 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.


Пример 5. Решить уравнение 3x+ 2+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 100

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.


Пример 6. Решить уравнение (+ 4)= 3+ 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

квадратное уравнение рисунок 101

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

квадратное уравнение рисунок 102

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 103

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 104

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 105

Значит корнями уравнения (+ 4)= 3+ 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.


Пример 7. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 106

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

квадратное уравнение рисунок 107

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 108

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 109

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 110

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 111

Значит корнями уравнения квадратное уравнение рисунок 106 являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.


Пример 8. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 112

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

квадратное уравнение рисунок 113

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

квадратное уравнение рисунок 114

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 115

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 116

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 118

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 119

Значит корнями уравнения квадратное уравнение рисунок 112 являются числа две целых одна третьяи 2.


Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x= 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

квадратное уравнение рисунок 125

Ответ: 9, −9.


Пример 2. Решить уравнение x− 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

квадратное уравнение рисунок 126

Ответ: 3, −3.


Пример 3. Решить уравнение x− 9= 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

квадратное уравнение рисунок 127

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

квадратное уравнение рисунок 128

Ответ: 0, 9.


Пример 4. Решить уравнение x+ 4− 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b− 4ac = 4− 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

квадратное уравнение рисунок 129

Ответ: 1, −5.


Пример 5. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 131

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

квадратное уравнение рисунок 132

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

квадратное уравнение рисунок 133

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 134

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратное уравнение рисунок 135

Ответ: 5, минус пять шестых.


Пример 6. Решить уравнение x= 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 137

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

квадратное уравнение рисунок 139

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

квадратное уравнение рисунок 138

Ответ: квадратное уравнение рисунок 140


Пример 7. Решить уравнение (2+ 3)+ (− 2)= 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

квадратное уравнение рисунок 142

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 143

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

квадратное уравнение рисунок 144

Ответ: 0, −1,6.


Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

квадратное уравнение рисунок 148

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 149

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

квадратное уравнение рисунок 150

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

квадратное уравнение рисунок 151

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 152

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

квадратное уравнение рисунок 154


Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

комната x на 2x рисунок 2

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

комната x на 2x рисунок 1

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2× x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратное уравнение рисунок 123

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x= 4, то квадратное уравнение рисунок 40. Отсюда = 2 и = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.


Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (+ 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

квадратное уравнение рисунок 145

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 146

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратное уравнение рисунок 147

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 2; −2.
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 3; −3.
Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 3; −13.
Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 12; 4.
Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 7; 5.
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0; 1.
Задание 8. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0; −3.
Задание 9. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 7; −7.
Задание 10. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 11. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 5; −5.
Задание 12. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 7; 2
Задание 13. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 14. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 15. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; −5.
Задание 16. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 5; −9.
Задание 17. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −3; −4.
Задание 18. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Алгоритм извлечения квадратного корня

Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня символ корня

Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.

Как пользоваться алгоритмом

Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.

Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:

квк рис 6

Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:

квк рис 7

Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40

квк рис 8

Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36

квк рис 9

Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496

квк рис 10

Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5

квк рис 11

Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4

квк рис 12

Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6

квк рис 13

А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496

квк рис 14

Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

квк рис 15

Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:

квк рис 16

Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64

квадратный корень из числа 4096 равен 64


Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:

квк рис 19

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

квк рис 20

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4

квк рис 21

Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41

квк рис 22

Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41

квк рис 23

Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1

квк рис 24

Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2

квк рис 25

А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41

квк рис 26

Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

квк рис 17


Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Разбиваем число 101761 на грани:

квк рис 43

Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.

Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:

квк рис 44

Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)

квк рис 45

Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117

квк рис 46

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117

квк рис 47

Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1

квк рис 48

Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3

квк рис 49

Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.

квк рис 50

Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661

квк рис 51

Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661

квк рис 52

Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1

квк рис 53

Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

квк рис 54


Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

square 3025 рис 1

Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:

square 3025 рис 2

Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)

square 3025 рис 3

Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.

square 3025 рис 5

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 52 на 5 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.

Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525

square 3025 рис 4

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5

square 3025 рис 6

Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:

square 3025 рис 7

Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

square 3025 рис 8

В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55

square 3025 целое число рис 9

Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.


Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

square 6325225 рис 1

Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

square 6325225 рис 2

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)

square 6325225 рис 3

 

Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232

square 6325225 рис 4

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232

square 6325225 рис 5

Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5

square 6325225 рис 6

Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2

square 6325225 рис 7

Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.

square 6325225 рис 8

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 252 на 7 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

square 6325225 рис 9

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1

square 6325225 рис 10

Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125

square 6325225 рис 11

Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.

К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125

square 6325225 рис 12

Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5

square 6325225 рис 13

Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1

square 6325225 рис 14

Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

square 6325225 рис 15

В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515

square 6325225 рис 16

Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.


Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:

В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3

квк 11 рис 1

Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)

квк 11 рис 2

Выполним вычитание 11 − 9 = 2

квк 11 рис 3

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 32 на две квадратные единицы.

Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.

Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.

Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:

квк 11 рис 4

Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

квк 11 рис 5

Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 3

квк 11 рис 6

Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00

квк 11 рис 7

Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.

К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 1

квк 11 рис 8

Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00

квк 11 рис 9

Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.

К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Проверим цифру 7

квк 11 рис 10

Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6

квк 11 рис 11

Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1

квк 11 рис 12

Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144

квк 11 рис 13

Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.

Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:

квк 11 рис 14


Как работает алгоритм

Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

(a + b)a+ 2ab b2

Геометрически эту формулу можно представить так:

квк рис 27

То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Важно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 × 20 × 1 + 12 = 400 + 40 + 1 = 441

Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

квк рис 34

Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, корень из 441 равно 21. Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

1232 = (100 + 20 + 3)2

При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)2

123 в квадрате по формуле

Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

квк рис 28

Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

квк рис 35

Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

аикк рис 5

Запишем каждое число под знáком корня:

аикк рис 1

Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

аикк рис 2

Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

(a + b)2 = 4096

Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

Перепишем в равенстве (a + b)= 4096 левую часть в виде a+ 2ab b2

a+ 2ab + b2 = 4096

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

квк рис 37

Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

квк рис 6

Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

квк рис 7

На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

Из 4000 как и из 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

10 — один десяток

30 — три десятка

120 — двенадцать десятков

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

102 = 100

302 = 900

1202 = 14400

Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a2 значение 3600

квк рис 38

Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

аикк рис 3

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

квк рис 39

Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

квк рис 31

Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

квк рис 40

На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

квк рис 10

Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

квк рис 57

Сумма площадей 2ab + b2 должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

2ab b2 = 496

Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

2 × 60 × b2 = 496

120b2 = 496

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

120 × 4 + 42 = 496

480 + 16 = 496

496 = 496

Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b= 496 и вынесем b за скобки:

 b(120 + b) = 496

Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

квк рис 16

Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

Итак, = 4. Тогда:

4(120 + 4) = 496

4 × 124 = 496

496 = 496

При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

аикк рис 4

квк рис 42

Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

4096 − 3600 − 496 = 0


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

квк 54756 рис 1

Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

квк 54756 рис 2

Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

10000 < 54756 < 90000

Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

аикк рис 6

Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

(a + b + c)2 = 54756

Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

квк 54756 рис 3

Выполним в левой части равенства (a + b + c)= 54756 возведéние в квадрат:

квк 54756 рис 5

Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

квк 54756 рис 4

Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

2(ac + bc) = 2ac + 2bc

Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

квк 54756 рис 6

Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

квк 54756 рис 7

На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

100 — одна сотня

500 — пять сотен

900 — девять сотен

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

1002 = 10000

5002 = 250000

9002 = 810000

Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a2 значение 40000

квк 54756 рис 8

Теперь извлечём корень из квадрата 40000

корень из 40000 равно 200

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

квк 54756 рис 9

Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

квк 54756 рис 10

Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

квк 54756 рис 12

Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

квк 54756 рис 13

Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b2 (или 2ab + b2). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b2.

Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

квк 54756 рис 14

Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b2

2ab + b2 = 14700

Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

2 × 200 × b2 = 14700
 400b + b2 = 14700

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

b(400 + b) = 14700

Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

40(400 + 40) = 14700

17600 14700

Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

30(400 + 30) = 14700

12900 ≤ 14700

Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

квк 54756 рис 15

Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b2 это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

квк 54756 рис 16

Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

квк 54756 рис 17

С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

квк 54756 рис 18

Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c2. В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

2(a + b)c + c2 = 1856

Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

2(200 + 30)c + c2 = 1856

 2 × 230c + c= 1856

460c + c= 1856

Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

с(460 + c) = 1856

Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

4(460 + 4) = 1856

4 × 464 = 1856

1856 = 1856

Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

квк 54756 рис 19

Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.

корень из 54756 равно 234

квк 54756 рис 20
Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

квк 3 рис 1

Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

квк 3 рис 2

Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

√1 < √3 < √4

Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

√1 < √3 < √4

1 < √3 < 2

Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

квк 3 рис 3

Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

(a + b)2 ≈ 3

Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

a2 + 2ab + b2 ≈ 3

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

квк 3 рис 4

Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

квк 3 рис 5

Если a2 это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

квк 3 рис 8

Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b2. Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

2ab + b2 ≈ 2

Значение a уже известно, оно равно единице:

2b + b2 ≈ 2

Вынесем за скобки b

b(2 + b) ≈ 2

Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

0,8(2 + 0,8) ≈ 2

2,24 ≈ 2

Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

0,7(2 + 0,7) ≈ 2

1,89 ≈ 2

Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

квк 3 рис 7

Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

корень из 3 равно 1 и 7

К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:
Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Квадратный корень

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

квадрат со стороной 3 см 2

S = 32 = 9 см2

квадрат со стороной 3 см S 2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как символ корня. Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня символ корня.

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

корень из 9

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

корень из 9 второй степени

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа . С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

корень из 9 решение

Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение корень из 9 второй степени 130px имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

корень из 4 второй степени

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

2 v 2 i -2 v -2

Поэтому ответ к выражению вида корень кв из a записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению корень из 4 второй степени 130px с плюсом и минусом:

кв корень из 4 два значения


Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство ba. Число b (оно же корень) обозначается через радикал корень кв из a так, что корень кв из a это b. На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение корень кв из a это b 2

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

42 = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал корень кв из 16 так, что 4 это корень из 16.

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)2 = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство ba.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение корень кв из 16 полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи корень из 9 второй степени 130px можно использовать записькорень из 9 130px. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

квадрат из 1 есть 1

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

12 = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

одна кв единица

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство корень из нуля равен нулю, поскольку 0= 0.

Выражение вида корень кв из -a без 2 смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение корень кв из -4, поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то есть если записать корень кв из a в 2, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

корень кв из a в 2 равно а

Например, выражение корень кв из 4 в 2 равно 4

корень кв из 4 в 2 равно 4

Это потому что выражение корень кв из 4 равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

кв корень из 9 16 25 во 2 степени

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

кор из а в 2 равно а

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

кор из 5 в 2 равно мод из 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

кор из числа -5 в квадрате

Действительно, если не пользуясь правилом кор из а в 2 равно а 130px, вычислять выражение кор из числа -5 в квадрате 1 обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

кор из числа -5 в 2 2 способ

Не следует путать правило кор из а в 2 равно а 130px с правилом кор из а в 2 равно а 2 130px. Правило кор из а в 2 равно а 130px верно при любом a, тогда как правило кор из а в 2 равно а 2 130px верно в том случае, если выражение корень кв из a без 2 имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

знак корня без верхней линии

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8


Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6= 36

√36 = 6


Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 72

7= 49

Отсюда, √49 = 7.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

таблица квадратов кв ч 256

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.


Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2

2 на корень из 16


Пример 7. Решить уравнение rad to x ravno 4

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку корень из 16 равно 4. Значит корень уравнения равен 16.

корень из 16 равно 4 проверка

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом символ корня.

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень корень кв из a без 2 равен числу b, при котором выполняется равенство ba.

корень кв из a это b без 2 и b v 2 ravno a

Применим равенство ba к нашему примеру rad to x ravno 4. Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем корень кв из x без 2, а именно переменная x

корень кв из 4 b 4 v 2 racno x

В выражении 4x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.


Пример 8. Решить уравнение x - 8 ravno 0 primer

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

x - 8 ravno 0 step 1

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

x - 8 ravno 0 step 2

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 64. Значит корень уравнения x - 8 ravno 0 primer равен 64

x - 8 ravno 0 step 3


Пример 9. Решить уравнение корень из 3 на 5x ravno 7 пример

Воспользуемся определением квадратного корня:

корень кв из a это b без 2 и b v 2 ravno a

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 1

В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 3

Корень уравнения корень из 3 на 5x ravno 7 пример равен 46 на 5. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 5


Пример 10. Найти значение выражения 2 на кор из 49

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

2 на кор из 49 решение


Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень корень из 64 можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8= 64. То есть корень из 64 равно 8

А извлечь квадратный корень корень из 3 нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня корень из 3 приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня корень из 3 будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1√4

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

√1 < √3 < √4

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

1 < √3 < 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

1,12 = 1,21

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

1,82 = 3,24

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

1,72 = 2,89

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как

√3 ≈ 1,7

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

1,7 < √3 < 1,8

Проверим дробь 1,74

1,742 = 3,0276

Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

Проверим тогда дробь 1,73

1,732 = 2,9929

Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

√3 ≈ 1

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.


Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

√3 ≈ 1

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

√3 ≈ 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

√3 ≈ 2 (с избытком)

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

√5 ≈ 2,23


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

√51 ≈ 7


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

√51 ≈ 7,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

√51 ≈ 7,14


Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8= 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8

корень из 64 равно 8


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1= 1

√1 = 1


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10= 100

√100 = 10

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

√37 ≈ 6,08

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 6= 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

60= 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

6002 = 360000

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

корень из 900 равно 3

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

корень из 900 равно 30


Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

квк рис 2


Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

квк рис 3


Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

квк рис 4


Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, корень из 49 равно 7. Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

квк рис 101

И наоборот, если в равенстве корень из 49 равно 7 уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

квк рис 102

Пример 2. Увеличим в равенстве квк рис 103 подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

квк рис 104

Пример 3. Уменьшим в равенстве квк рис 103 подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

квк рис 105

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

квк рис 106

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве корень из 25 равно 5 подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

квк рис 107

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, квк рис 108.

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

square 1225

квк рис 109

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве квк рис 109 подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

квк рис 110

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

квк рис 109

Теперь в равенстве квк рис 109 уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз

квк рис 111


Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

таблица квадратов рисунок 2

Видим, что это число 24. Значит корень из 576 равно 24.


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

20,82 = 432,64

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

20,7= 428,49

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

3600 < 4225 < 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

квк рис 112

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

квк рис 55

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

квк рис 56

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

квк рис 113


Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида rad ab, где a и b некоторые числа.

Например, выражение корень кв из 4 на 9 является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение корень кв из 4 на 9 в виде произведения корней корень кв из 4 на корень из 9. Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

кор 4 на 9 решение

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

кор 4 на 9 короткое решение

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

кор 144 равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

разложение числа 144 на множители

Получили следующее разложение:

разложение числа 144 на множители 2

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2× 22, а две тройки заменить на 32

разложение числа 144 на множители 3

В результате будем иметь следующее разложение:

разложение числа 144 на множители 4

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

кор из разложения 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

кор из разложения 144 шаг 2

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

кор из разложения 144 шаг 3

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

корень из 144

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

корень из 144 шаг 2

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

корень из 144 шаг 3

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

13456 разложение на простые множители

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456

разложение числа 13456 на множители

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

кор из числа 13456

Итак, если ≥ 0 и ≥ 0, то корень кв из ab это rad a and rad b. То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство корень кв из ab это rad a and rad b. Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b= a.

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства корень кв из ab это rad a and rad b при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

Итак, выпишем правую часть равенства корень кв из ab это rad a and rad b и возведём ее во вторую степень:

cor a na kor b v 2

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

cor a na kor b v 2 равно кор в 2 на кор б

Ранее было сказано, что если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня кор ab

cor a na kor b v 2 равно кор в 2 на кор б равно ab

Значит равенство корень кв из ab это rad a and rad b справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

корень кв из abc это rad a and rad b and rad c, при ≥ 0 и ≥ 0, ≥ 0.


Пример 1. Найти значение квадратного корня rad 16 na rad 25 na 64 пример

Запишем корень rad 16 na rad 25 na 64 пример в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

rad 16 na rad 25 na 64 решение


Пример 2. Найти значение квадратного корня корень из 10 на 250

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

кор из 10 на 250 шаг 1

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

кор из 10 на 250 шаг 2

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

кор из 10 на 250 шаг 3


Пример 3. Найти значение квадратного корня кор из 11 в 4 шаг 1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.

кор из 11 в 4 шаг 2

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

кор из а в 2 равно а 130px

В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

кор из 11 в 4 шаг 3

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

кор из 11 в 4

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 11× 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:

кор из 11 в 4 вариант 2


Пример 4. Найти значение квадратного корня кор из 3 в 4 на 5 в 6

Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 2

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 3

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 4

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 5


Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения квк рис 58

Запишем корень квк рис 58 в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

квк рис 59


Пример 6. Найти значение квадратного корня квк рис 60

квк рис 61


Пример 7. Найти значение квадратного корня квк рис 63

квк рис 62


Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

8 × 4 = 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

(8 × 2) × (4 : 2) = 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения квк рис 64. Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

квк рис 65

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

квк рис 66


Пример 9. Найти значение квадратного корня квк рис 68

Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:

квк рис 67


Если в равенстве корень кв из ab это rad a and rad b поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство корень кв из ab это rad a and rad b change. Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения кор из 10 на кор из 40 шаг 1.

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change, то есть заменим выражение из двух корней кор из 10 на кор из 40 шаг 1 на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

кор из 10 на кор из 40 шаг 2

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

кор из 10 на кор из 40 шаг 3

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

кор из 10 на кор из 40 шаг 4

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения квк рис 69.

Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change

квк рис 70

Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24

квк рис 71

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2

квк рис 72

Теперь воспóльзуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b и вычислим окончательный ответ:

квк рис 73


Пример 12. Найти значение выражения квк рис 74

Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change

квк рис 75

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

квк рис 76

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2× 22, а две семёрки как 72

квк рис 77

Теперь воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b и вычислим окончательный ответ:

квк рис 78


Квадратный корень из дроби

Квадратный корень видакор из а на б равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

кор из 4 на 9 равно кор из 4 на кор из 9

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

кор из 4 на 9 равно кор из 4 на кор из 9 шаг 2

Значит, квадратный корень из дроби равен две третьих.

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь a na b, то это будет означать, что равенство верно:

cor a na cor b v 2


Пример 1. Извлечь квадратный корень кор из 49 на кор из 81

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

кор из 49 на кор из 81 решение


Пример 2. Извлечь квадратный корень кор из 16 на 9 пример

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

кор из 16 на 9 решение


Пример 3. Извлечь квадратный корень квк рис 92

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

квк рис 70

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

корень из 0.09


Пример 4. Найти значение выражения кв 009 на кв 025 пример

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

кв 009 на кв 025

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квк рис 71

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.


Пример 5. Найти значение выражения 4 - 10 кв 001 пример

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

4 - 10 кв 001 решение


Пример 6. Найти значение выражения -7 на кор 036 на 54 пример

Сначала найдём значение квадратного корня кор из 036. Он равен 0,6 поскольку 0,6= 0,36

-7 на кор 036 на 54 шаг 2

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

-7 на кор 036 на 54 шаг 3


Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения кор из 4 на 3. Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

кор из 4 на 3 шаг 2

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение кор из 3 оставим без изменений:

кор из 4 на 3 шаг 3

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.


Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении кор из 18

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

кор из 18 шаг 1

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

кор из 18 последний шаг


Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении кор из 363

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

кор из 363 шаг 2

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

кор из 363 последний шаг


Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квк рис 79

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

квк рис 81

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

квк рис 82

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:

квк рис 80


Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении корень из 12

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

корень из 12 шаг 1

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

корень из 12 шаг 2

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

корень из 12 шаг 3


Пример 6. Упростить выражение квк рис 72

Предстáвим второе слагаемое квк рис 79 в виде квк рис 80. А третье слагаемое квк рис 81 предстáвим в виде квк рис 82

квк рис 73

Теперь в выражениях квк рис 83 и квк рис 82 вынесем множитель из-под знака корня:

квк рис 74

Во втором слагаемом квк рис 84 перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

квк рис 75

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

квк рис 76

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

квк рис 77

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

квк рис 78


Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

5 на кор из 9

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

5 на кор из 9 шаг 2

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

5 на кор из 9 шаг 3

Итак, если данó выражение а на кор из b, и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

а на кор из b formula

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении 7 на кор из 10

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

7 на кор из 10 решение


Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 10 на кор из y шаг 1

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

10 на кор из y решение


Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 5 на кор 3 ab

5 на кор 3 ab решение

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида корень кв из -a без 2 не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении -3 на кор из 2

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

-3 на кор из 2 решение


Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

квк рис 85

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

квк рис 86

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений корень из 3 в квадратеи корень из 2 в квадрате применим правило квк рис 87. Ранее мы говорили, что если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении квк рис 89 для множителей корень из 3 и корень из 2 применим правило корень кв из ab это rad a and rad b change. То есть заменим произведение корней на один общий корень:

квк рис 90

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом квк рис 88 вычислить произведение, которое под кóрнем:

квк рис 91


 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Решение:
Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624
Решение:
Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025
Решение:
Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 16. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 17. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 18. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 19. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 20. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 21. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 22. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 23. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 24. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 25. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 26. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 27. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 28. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 29. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 30. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 31. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 32. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 33. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 47. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 51. Упростить выражение:
Решение:
Задание 52. Упростить выражение:
Решение:
Задание 53. Упростить выражение:
Решение:
Задание 54. Упростить выражение:
Решение:
Задание 55. Упростить выражение:
Решение:
Задание 56. Упростить выражение:
Решение:
Задание 57. Упростить выражение:
Решение:
Задание 58. Упростить выражение:
Решение:
Задание 59. Упростить выражение:
Решение:
Задание 60. Упростить выражение:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Тождественные преобразования многочленов

Возведение двучлена в степень

Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.

К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:

(a + b)4

Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена

(a + b)(a + b)3

Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:

(a + b)(a+ 3a2b + 3abb3)

А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:

тпм рис 1

То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a+ 4a3b + 6a2b+ 4abb4

(a + b)4 = a+ 4a3b + 6a2b+ 4abb4

Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2

(a + b)2(a + b)2

Но выражение (a + b)2 равно a+ 2ab + b2. Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a+ 2ab + b2

(a+ 2ab + b2)(a+ 2ab + b2)

А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:

тпм рис 2


Возведение трёхчлена в степень

Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.

Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c

(a + b + c)2

Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму b в скобки:

((a + b) + c)2

В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Применим эту формулу к нашему примеру:

тпм рис 3

Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d

(a + b + c + d)2

Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d. Для этого заключим их в скобки:

((a + b) + (c + d))2

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

тпм рис 4


Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:

дм рис 7

Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b)c, где (a + b)2 полный квадрат, а c некоторое числовое или буквенное выражение.

Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x+ 16+ 19.

Для начала нужно построить выражение вида a+ 2ab b2. Строить мы его будем из трехчлена 4x+ 16+ 19. Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b

Роль переменной a будет играть член 2x, поскольку первый член трехчлена 4x+ 16+ 19, а именно 4x2 получается если 2x возвести в квадрат:

(2x)2 = 4x2

Итак, переменная a равна 2x

a = 2x

Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x. Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x) и второго пока неизвестного нам выражения b. Временно поставим на его место вопросительный знак:

2 × 2x × ? = 16x

Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x, то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x, и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4.

2 × 2x × 4 = 16x

Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4

b = 4

Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x)+ 2 × 2x × 4 + 42

Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x+ 16+ 19.

Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x+ 16+ 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x)+ 2 × 2× 4 + 42

4x+ 16+ 19 =

Вместо 4x2 записываем (2x)2

4x+ 16+ 19 = (2x)2

Далее вместо 16x записываем удвоенное произведение, а именно 2 × 2x × 4

4x+ 16+ 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4

Далее прибавляем квадрат второго выражения:

4x+ 16+ 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42

А член 19 пока переписываем как есть:

4x+ 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 + 19

Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x)+ 2 × 2× 4 + 4+ 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x+ 16+ 19. Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x)+ 2 × 2× 4 + 4+ 19 к стандартному виду:

(2x)+ 2 × 2× 4 + 4+ 19 = 4x+ 16x + 42 + 19

Видим, что получается многочлен 4x+ 16+ 4+ 19, а должен был получиться 4x+ 16+ 19. Это по причине того, что член 42 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x+ 16+ 19.

Чтобы сохранить значение исходного многочлена, нужно после прибавления члена 42 сразу же вычесть его

4x+ 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19

Теперь выражение (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b)2. В нашем случае получится выражение (2+ 4)2

тпм рис 5

4x+ 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19

Оставшиеся члены −42 и 19 можно сложить. −42 это −16, отсюда −16 + 19 = 3

4x+ 16x + 19 = (2x)2 + 2 × 2x × 4 + 42 − 42 + 19 = (2x + 4)2 − 42 + 19 = (2+ 4)+ 3

Значит, 4x+ 16+ 19 = (2x + 4)2 + 3


Пример 2. Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x+ 2+ 2

Сначала построим выражение вида a+2ab + b2. Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку xx2.

Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x) и второго выражения b (это будет 1).

2 × x × 1 = 2x

Если b = 1, то полным квадратом будет выражение x+ 2+ 12.

Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x+ 2+ 12

x+ 2+ 2 = x+ 2+ 12 − 12 + 2 = (+ 1)+ 1

Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.

Рассмотрим следующее числовое выражение:

9 + 6 + 2

Значение этого выражения равно 17

9 + 6 + 2 = 17

Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a+ 2ab b2. Роль переменной a в данном случае играет число 3, поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2, а именно 9 можно представить как 32.

Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1

2 × 3 × 1 = 6

То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 3+ 2 × 3 × 1 + 12. Внедрим его в исходное выражение:

32 + 6 + 2 = 3+ 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2

Свернем полный квадрат, а члены −12 и 2 слóжим:

32 + 6 + 2 = 3+ 2 × 3 × 1 + 12 − 12 + 2 = (3 + 1)+ 1

Получилось выражение (3 + 1)+ 1, которое по прежнему равно 17

(3 + 1)2+1 = 42 + 1 = 17

Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см

три пр шаг 2

Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 3= 9 см2, площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см2, площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см2

три пр шаг 3

Запишем сумму площадей этих прямоугольников:

9 + 6 + 2

Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:

три пр шаг 4

Тогда получается фигура, площадь которой 17 см2. Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.

Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.

Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:

три пр шаг 5

Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:

три пр шаг 6

Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?

три пр шаг 9

(3 + 1)2

Выражение (3 + 1)2 равно 16, поскольку 3 + 1 = 4, а 42 = 16. Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(3 + 1)2 = 32 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.

Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:

три пр шаг 7

(3 + 1)+ 1

Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1)+ 1. А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3+ 6 + 2 = 3+ 2 × 3 × 1 + 1− 1+ 2 = (3 + 1)+ 1

Выражение (3 + 1)2 + 1, как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17. Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см2.

три пр шаг 8


Пример 4. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x+ 6x + 8

x+ 6x + 8 = x+ 2 × x × 3 + 3− 3+ 8 = (x + 3)− 1


В некоторых примерах при построении выражения a+ 2ab b2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b.

Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x+ 3+ 2

Переменной a соответствует x. Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так:

тпм рис 6

Получившаяся дробь тпм рис 7 и содержит значения переменных a и b. Наша задача суметь правильно их распознать. Перепишем эту дробь в виде произведения множителя 2, дроби три вторых и  переменной x

тпм рис 8

Теперь второй член представлен в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. Переменная a, как было сказано ранее, равна x. А переменная b равна дроби три вторых

тпм рис 9

Возвращаемся к нашему примеру и прибавляем квадрат второго выражения, и чтобы значение выражения не изменилось, сразу же вычитаем его:

тпм рис 10

Прибавляем оставшийся член 2

тпм рис 11

Свернём полный квадрат:

тпм рис 12

Оставшийся квадрат второго выражения и число 2 можно сложить. В итоге получим:

тпм рис 13


Пример 6. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 9x+ 18x + 7

тпм рис 14


Пример 7. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x2 − 10x + 1

В данном трёхчлене первые два члена связаны знаком «минус». В этом случае как и раньше нужно выделить полный квадрат, но это будет квадрат разности. Проще говоря, нужно построить выражение вида a− 2ab + b2.

тпм рис 15


Пример 8. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 16x+ 4x + 1

тпм рис 16


Пример 9. Разложить многочлен x+ 6+ 8 на множители при помощи выделения полного квадрата.

Сначала выделим полный квадрат:

тпм рис 17

Получившийся многочлена (+ 3)− 1 является разностью квадратов, поскольку единица может быть представлена в виде 12. Воспользуемся формулой разности квадратов и разложим многочлен (+ 3)− 1 на множители:

тпм рис 18


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 2. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 3. Выполните возведение многочлена в степень:
Решение:
Задание 4. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Задание 5. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена:
Решение:
Задание 6. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 7. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 8. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 9. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:
Задание 10. В следующем выражении выделите полный квадрат:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о нов