Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = { Том,
Фред,
Макс,
Джорж }
Друзья Майкла = { Лео,
Том,
Фред,
Эван }

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда:

Общие друзья Джона и Майкла = { Том, Фред }

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C:

A = { Том, Фред, Макс, Джордж }

B = { Лео, Том, Фред, Эван }

C = { Том, Фред }

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

B = C

Символ  означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения  читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

Или еще проще:

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B

A = { Макс, Джордж }

B = { Лео, Эван }

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом 

A ∩ B = 


Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

A = { 1, 2, 3, 5, 7 }

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 }

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

C = { 1, 2, 3 }

Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B


Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B, состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

A = { 1, 5, 7, 9 }

B = { 1, 4, 5, 7 }

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

C = { 1, 5, 7 }

Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.


Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

A = { 1, 2, 3, 7, 9 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9}

С = { 3, 4, 5, 8,  9}

Пересечением множеств A, B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A, B и C. Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

D = { 2, 3}

A ∩ B ∩ C = D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5. Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5. Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

{ 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 }

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6):

3, 4, 5 ∈ (2; 6)

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8]. Найти их пересечение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8]:

2, 3, 4, 5, 6 ∈ [2; 6]

4, 5, 6, 7, 8 ∈ [4; 8]

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6], так и второму [4; 8].

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

[2; 6] ∩ [4; 8] = [4; 6]

Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6], на нижней — промежуток [4; 8]

два промежутка на одной кп

Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6], принадлежат как промежутку [2; 6], так и промежутку [4; 8]. Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6]. В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.


Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7]:

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈ [4; 7]

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

[−2; 3] ∩ [4; 7] = Ø

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

-2 3 и 4 7 координатная прямая


Пример 7. Дано множество из одного элемента { 2 }. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента { 2 }, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

-3 2 4 кп

Пересечением множества { 2 } и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента { 2 }, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству { 2 }, так и числовому промежутку (−3; 4)

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств x b i r 6 i x m r 3 , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Если мы изобразим множество решений системы x b i r 6 i x m r 3 на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6], который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

[3; +∞) ∩ (−∞; 6] = [3; 6]

числовой промежуток от 3 до 6

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

x ∈ [3; 6]


Пример 2. Решить неравенство x m -1 x m -5 x m 4

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1).

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5).

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4).

Решением системы x m -1 x m -5 x m 4 будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4). В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5).

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

-5 -1 i 4 на кп

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5), одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.

Запишем ответ к системе x m -1 x m -5 x m 4 с помощью числового промежутка:

x ∈ (−∞; −5)


Пример 3. Решить неравенство y b 7 i y m 4 step 1

Решением первого неравенства > 7 является числовой промежуток (7; +∞).

Решением второго неравенства < 4 является числовой промежуток (−∞; 4).

Решением системы y b 7 i y m 4 step 1 будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4).

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

y b 7 i y m 4 координатная прямая


Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

B = C

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C, куда входят все элементы множеств A и B. Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Возьмем ещё один элемент из множества С, например, элемент 2. Что можно про него сказать?

Если 2 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 5, 6}

Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A, и множеству B. Если мы захотим объединить множества A и B, то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B.

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

C = { 1, 2, 3, 4,

Теперь добавим элементы из множества B, которые не принадлежат множеству A. Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6. Их и добавим во множество C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }


Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Друзья Джона = { Том,
Фред,
Макс,
Джорж }
Друзья Майкла = { Лео,
Том,
Фред,
Эван }

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

Все друзья Джона и Майкла = { Том, Фред, Макс, Джордж, Лео, Эван }

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла


Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5]. Найти их объединение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0  ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5], который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5]. На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0], на нижней — промежуток [−3; 5]

два промежутка на одной кп -7 0 b -5 5

Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5]. Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5], то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5].

Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2. Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5], то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]

два промежутка на одной кп -7 0 b -5 5 шаг 2

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4. Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5]. В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]

два промежутка на одной кп -7 0 b -5 5 шаг 3

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2. Оно принадлежит как промежутку [−7; 0], так и промежутку [−3; 5]. Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2; −1] и [4; 7].

Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2;−1] и [4; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7]. Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:

[−2; −1] ∪ [4; 7] = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Получили множество { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4, не вошли в полученное множество

-2 -1 и 4 7 на кп

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

линейка 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

линейка 15 см ошибка

Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15], поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.


Решение неравенств, содержащих знак ≠

Некоторые неравенства содержат знак  (не равно). Например, 2≠ 8. Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x, при которых левая часть не равна правой части.

Решим неравенство 2≠ 8. Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:

2x n r 8 шаг 1

Получили равносильное неравенство ≠ 4. Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть, если мы подставим в неравенство ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

Подставим 7

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

И поскольку неравенство ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2≠ 8, то решения неравенства ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2≠ 8. Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2≠ 8.

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

чп от -b do 4 i 4 do b

Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞). Напомним, что для слова «или» используется символ 

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).

Неравенства, содержащие знак , также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак  заменяют на знак =. Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.

Решим предыдущее неравенство 2≠ 8, как обычное уравнение. Заменим знак  на знак равенства =, получим уравнение 2x = 8. Разделим обе части данного уравнения на 2, получим = 4.

Видим, что при x, равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.


Пример 2. Решить неравенство 3− 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

3x - 5 naravno 1 - 2 x шаг 1

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

3x - 5 naravno 1 - 2 x шаг 2

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

3x - 5 naravno 1 - 2 x шаг 3

Решением неравенства ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2.

Изобразим множество решений неравенства ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

3x - 5 naravno 1 - 2 x шаг 4

x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)


Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

совокупность x b 3 x m 6

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Решением первого неравенства ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞). Решением второго неравенства ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6].

Множество значений x, при которых верно хотя бы одно из неравенств, будут принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. Так и записываем:

x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в
совокупность совокупность x b 3 x m 6 принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6]. А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству ≤ 6.

Посмотрите внимательно на выражение ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]. Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности совокупность x b 3 x m 6 будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

числовой промежуток от 3 до 6

Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞). Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

[3; +∞) ∪ (−∞; 6] = (−∞; +∞)

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6]

либо заменить на более короткий:

∈ (−∞; +∞)

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству ≥ 3.

8 ≥ 3

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству ≤ 6

1 ≤ 6

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5. Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму ≤ 6

5 b 3 5 m 6


Пример 2. Решить совокупность неравенств совокупность 2x -1 3 - 0

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Для начала найдём множество решений первого неравенства < −0,25. Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25).

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств совокупность 2x -1 3 - 0 будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

Иначе говоря, решением совокупности совокупность 2x -1 3 - 0 будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

числовой промежуток от -7 до -025

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

либо заменить на более короткий:

∈ (−∞; +∞)


Пример 3. Решить совокупность неравенств 3x na 2 m 2x - 1

Решим каждое неравенство по отдельности:

3x na 2 m 2x - 1 решение

Множеством решений первого неравенства x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3).

Множеством решений второго неравенства ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0].

Решением совокупности неравенств x m -3 i x m b 0 будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

Иначе говоря, решением совокупности x m -3 i x m b 0 будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

кп -3 0

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

либо заменить на более короткий:

∈ (−∞; 0]


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { 1, 2, 5 }
B = { 3, 4, 5 }
Решение:
A ∩ B = { 5 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Задание 2. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Решение:
A ∩ B = { 1, 2 }
A ∪ B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
Задание 3. Найдите пересечение и объединение следующих множеств:
А = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4 }
Решение:
A ∩ B = { 3 }
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 }
Задание 4. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
[−2; 7) и (0; 10]
Решение:

[−2; 7) ∩ (0; 10] = (0; 7)
[−2; 7) ∪ (0; 10] = [2; 10]
Задание 5. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
(−∞; 3] и [−2; 1)
Решение:

(−∞; 3] ∩ [−2; 1) = [−2; 1)
(−∞; 3] ∪ [−2; 1) = (−∞; 3]
Задание 6. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
(3; +∞) и [2; +∞)
Решение:

(3; +∞) ∩ [2; +∞) = (3; +∞)
(3; +∞) ∪ [2; +∞) = [2; +∞)
Задание 7. Найдите пересечение и объединение следующих числовых промежутков:
[−3; −1] и (−2; 4]
Решение:

[−3; −1] ∩ (−2; 4] = (−2; −1]
[−3; −1] ∪ (−2; 4] = [−3; 4]
Задание 8. Решите неравенство:
Решение:


Задание 9. Решите неравенство:
Решение:


Задание 10. Решите совокупность неравенств:
Решение:


Задание 11. Решите совокупность неравенств:
Решение:


Задание 12. Решите совокупность неравенств:
Решение:



Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Системы линейных неравенств с одной переменной

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Системаx b 4 i x m 9 состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

числовые промежутки от 4 до б и минус б до 9

Но дело в том, что неравенства > 4 и < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями, как захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы x b 4 i x m 9 являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства > 4 и < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( 4 ; 9 )

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

числовой промежуток от 4 до 9 step 1

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства > 4

числовой промежуток от 4 до 9 step 2

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства < 9

числовой промежуток от 4 до 9 step 3

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы x b 4 i x m 9. Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:

числовой промежуток от 4 до 9 step 4

Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему x b 4 i x m 9. Возьмем, например, число 6

система 6 b 4 и 6 м 9 проверка

Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8

система8 б 4 и 8 м 9 проверка

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств x b 17 i x b 12 step 1

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы x b 17 i x b 12 step 1 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

x b 17 i x b 12 step 2

На верхней области отметим множество решений первого неравенства > 17

x b 17 i x b 12 step 3

На нижней области отметим множество решений второго неравенства > 12

x b 17 i x b 12 step 4

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы x b 17 i x b 12 step 1. Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )


Пример 3. Решить систему неравенств 2x - 12 b 0 i 3x b 9 step 1

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

2x - 12 b 0 i 3x b 9 step 2

Получили систему system x b 6 x b 3. На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы system x b 6 x b 3

2x - 12 b 0 i 3x b 9 step 3

x ∈ ( 6 ; + ∞ )


Пример 4. Решить систему неравенств 10-4x b 0 3x - 1 b 5 step 1

Решим каждое неравенство по отдельности:

10-4x b 0 3x - 1 b 5 step 2

Изобразим множество решений системы 10-4x b 0 3x - 1 b 5 step 3 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

2x - 12 b 0 i 3x b 9 step 4

2x - 12 b 0 i 3x b 9 step 5


Пример 5. Решить неравенство 12 na 3 - x - 08x b i r 6 step 1

Решим каждое неравенство по отдельности:

12 na 3 - x - 08x b i r 6 step 2

Изобразим множество решений системы 12 na 3 - x - 08x b i r 6 step 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

12 na 3 - x - 08x b i r 6 step 4

промежуток от минус бесконечности до минус 1 на 2


Когда решений нет

Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство 6y b i r 42 step 1

Решим каждое неравенство по отдельности:

6y b i r 42 step 2

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

6y b i r 42 step 3

На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства ≥ 7 и ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система 6y b i r 42 step 4

А если не имеет решений приведённая равносильная система 6y b i r 42 step 4, то не имеет решений и исходная система 6y b i r 42 step 1

Ответ: решений нет.


Пример 2. Решить систему неравенств 15x plus 45 m r 0 step 2

Решим каждое неравенство по отдельности:

15x plus 45 m r 0 step 1

Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:

15x plus 45 m r 0 step 3

Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ не имеют общих решений. А значит не имеет решений система 15x plus 45 m r 0 step 4

А если не имеет решений приведённая равносильная система 15x plus 45 m r 0 step 4, то не имеет решений и исходная система15x plus 45 m r 0 step 2

Ответ: решений нет.


Пример 3.  Решить систему неравенств 07 na 5a plus 1 - 05 na 1 plus a m 3a step 1

Решим каждое неравенство по отдельности:

07 na 5a plus 1 - 05 na 1 plus a m 3a step 2

Получили неравенства 0 < −0,2 и > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система 07 na 5a plus 1 - 05 na 1 plus a m 3a step 1

Ответ: решений нет.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:
Решение:

Задание 2. Решите неравенство:
Решение:


Задание 3. Решите неравенство:
Решение:


Задание 4. Решите неравенство:
Решение:


Задание 5. Решите неравенство:
Решение:


Задание 6. Решите неравенство:
Решение:


Задание 7. Решите неравенство:
Решение:


Задание 8. Решите неравенство:
Решение:

Решений нет


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

весы арбуз на левой чаше 5 кг а на правой 3 кг

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть, левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

весы арбуз на левой чаше3 кг а на правой 5 кг

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

5 больше 3 свойство 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

5 больше 3 свойство 5

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

5 больше 3 свойство 3

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

5 больше 3 свойство 6

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

5 больше 3 свойство 4

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть, знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

5 больше 3 свойство 7

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть, знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство неверно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть, условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 3. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

4 m 6 m 9 step 1

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

4 m 6 m 9 step 2

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть, все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2> 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6. 

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

2x na 2 b 6 na 2 step 1

В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

проверка неравенства 2x b 6

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

числовой промежуток от трех до плюс бесконечности

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

числовой промежуток от 2 до 8 интервал

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

числовой промежуток от 2 до 8 закрытые границы

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

числовой промежуток от 2 до 6 рисунок 3

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть, сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности  указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

числовой промежуток от 2 до 8 закрытые границы

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

числовой промежуток от 2 до бесконечности

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

числовой промежуток от минус бесконечности до 2

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≤ 2.

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 ]

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть = 3. Тогда неравенство примет вид > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

числовой луч от 3 до бесконечности

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

( ; +∞ )

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

числовой промежуток от минус бесконечности до 2 открытый числовой луч

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2. Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

( −∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 )

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < является строгим.

Отрезок

Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

числовой промежуток от 2 до 8

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

числовой промежуток от 2 до 8 интервал

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

( a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < < 8.

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

числовой промежуток от 2 до 8 полуинтервал 1

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < ≤ 8 на координатной прямой:

числовой промежуток от 2 до 8 полуинтервал 2

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.


Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством > 5

Вспоминаем, что неравенством вида a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

числовой луч от 5 до бесконечности


Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:

числовой луч от 5 до бесконечности 2


Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:

числовой промежуток от -5 до 1 рисунок


Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:

числовой промежуток от -5 до 1 рисунок


Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и [2; 5] будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:

-1 2 i 2 5 на кп


Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:

-1 2 i 2 5 на кп одна граница открыта


Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2> 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2> 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство > 2

Получившееся неравенство > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

− 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

< 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство − 7 < 0 к равносильному неравенству < 7. Решениями неравенства < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

x ∈  ( −∞ ; 7 )

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

числовой промежуток от минус бесконечности до 7 открытый числовой луч

Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство


Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

-4x меньге -16 шаг 1

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству > 4. Решениями неравенства > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Изобразим множество решений неравенства > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от 4 до бесконечности

промежуток от 4 до бесконечности


Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3− 6y> 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

3y na 3 b 0

Решениями неравенства < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от минус бесконечности до нуля

промежуток от бесконечности до 0


Пример 4. Решить неравенство 5(− 1) + 7 ≤ 1 − 3(+ 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 1

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 2

Приведем подобные слагаемые:

нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 3

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 4

Решениями неравенства нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 5 являются все числа, которые меньше минус 7 na 8. Граница минус 7 na 8 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства нер-во 5x-5 -7 1-3x-6 шаг 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой промежуток от минус бесконечности до 7 8

промежуток от бесконечности до 7 8


Пример 5. Решить неравенство 5 plus 6x na 2 more 3

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

5 plus 6x na 2 more 3 ste 2

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

5 plus 6x na 2 more 3 step 3

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6> 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

5 plus 6x na 2 more 3 step 4

Решениями неравенства x more 1 na 6 являются все числа, которые больше одна шестая. Граница одна шестая не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x more 1 na 6 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства x more 1 na 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от минус бесконечности до 1 na 6

числовой луч 1 na 6 до плюс бесконечности


Пример 6. Решить неравенство x na 2 plus x na 3 less 5

Умножим обе части на 6

x na 2 plus x na 3 less 5 step 2

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5< 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

x na 2 plus x na 3 less 5 step 3

Решениями неравенства < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от минус бесконечности до 6

промежуток от минус бесконечности до 6


Пример 7. Решить неравенство x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4

Умножим обе части неравенства на 10

x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4 step 2

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4 step 3

Перенесем члены без x в правую часть

x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4 step 4

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4 step 5

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

x minus x minus 3 na 5 plus 2x minus 1 na 10 less ravno 4 step 6

Решениями неравенства ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от минус бесконечности до 35 na 10


Пример 8. Решить неравенство 4 < 4< 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4< 20

4x bolshe 4 i menshe 20

Решениями неравенства 1 < < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

интервал от 1 до 5

промежуток от 1 до 5


Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ 2≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

-1 m r -2x m r 0 step 1

Получили неравенство 0,5 ≥ ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой промежуток от 0 до 05

промежуток от 0 до 05


Пример 10. Решить неравенство x minus 1-x na 6 m r 2x plus 1 na 2 step 1

Умножим обе неравенства на 12

x minus 1-x na 6 m r 2x plus 1 na 2 step 2

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

x minus 1-x na 6 m r 2x plus 1 na 2 step 3

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

x minus 1-x na 6 m r 2x plus 1 na 2 step 4

Решениями неравенства ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

числовой луч от минус бесконечности до -05

промежуток от минус бесконечности до -05


Пример 11. Решить неравенство -1 m r 6 - a m r 1 пример

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

-1 m r 6 - a m r 1 шаг 3

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

-1 m r 6 - a m r 1 шаг 4

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

отрезок от 3 до 9

промежуток от 3 до 9


Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6> 2(3+ 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6> 6+ 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6− 6> 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

0x b 2

Получили неравенство 0> 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0> 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0> 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6> 2(3+ 1).


Пример 2. Решить неравенство 12x - 1 na 3 m 4x -3 step 1

Умножим обе части неравенства на 3

12x - 1 na 3 m 4x -3 step 2

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

12x - 1 na 3 m 4x -3 step 312x - 1 na 3 m 4x -3 step 312x - 1 na 3 m 4x -3 step 312x - 1 na 3 m 4x -3 step 3

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0< −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0< −8, то не имеет решений и исходное неравенство 12x - 1 na 3 m 4x -3 step 1.

Ответ: решений нет.


Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3− 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

15x - 45 m 15x step 1

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

15x - 45 m 15x step 2

Приведем подобные слагаемые в левой части:

15x - 45 m 15x step 4

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3− 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3− 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.


Пример 2. Решить неравенство: 31(2+ 1) − 12> 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

62x plus 31 - 12x b 50x step 1

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

62x plus 31 - 12x b 50x step 2

Приведём подобные слагаемые:

62x plus 31 - 12x b 50x step 3

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2+ 1) − 12> 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:
Решение:


Задание 2. Решите неравенство:
Решение:


Задание 3. Решите неравенство:
Решение:


Задание 4. Решите неравенство:
Решение:


Задание 5. Решите неравенство:
Решение:


Задание 6. Решите неравенство:
Решение:


Задание 7. Решите неравенство:
Решение:


Задание 8. Решите неравенство:
Решение:


Задание 9. Решите неравенство:
Решение:


Задание 10. Решите неравенство:
Решение:


Задание 11. Решите неравенство:
Решение:


Задание 12. Решите неравенство:
Решение:



Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Системы линейных уравнений

Линейные уравнения с двумя переменными

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

Обозначим количество пирожных через x, а количество чашек кофе через y. Тогда стоимость пирожных будет обозначаться через выражение 25x, а стоимость чашек кофе через 10y.

25x — стоимость x пирожных
10y — стоимость y чашек кофе

Итоговая сумма должна равняться 200 рублей. Тогда получится уравнение с двумя переменными x и y

25+ 10= 200

Сколько корней имеет данное уравнение?

Всё зависит от аппетита школьника. Если он купит 6 пирожных и 5 чашек кофе, то корнями уравнения будут числа 6 и 5.

pri x ravno 6 y ravno 5 25x plus 10y ravno 200

Говорят, что пара значений 6 и 5 являются корнями уравнения 25+ 10= 200. Записывается как (6; 5), при этом первое число является значением переменной x, а второе — значением переменной y.

6 и 5 не единственные корни, которые обращают уравнение 25+ 10= 200 в тождество. При желании на те же 200 рублей школьник может купить 4 пирожных и 10 чашек кофе:

pri x ravno 4 y ravno 10 25x plus 10y ravno 200

В этом случае корнями уравнения 25+ 10= 200 является пара значений (4; 10).

Более того, школьник может вообще не покупать кофе, а купить пирожные на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25+ 10= 200 будут значения 8 и 0

pri x ravno 8 y ravno 0 25x plus 10y ravno 200

Или наоборот, не покупать пирожные, а купить кофе на все 200 рублей. Тогда корнями уравнения 25+ 10= 200 будут значения 0 и 20

pri x ravno 0 y ravno 20 25x plus 10y ravno 200

Попробуем перечислить все возможные корни уравнения 25+ 10= 200. Условимся, что значения x и y принадлежат множеству целых чисел. И пусть эти значения будут бóльшими или равными нулю:

 Z, y Z;
x ≥
0, y ≥ 0

Так будет удобно и самому школьнику. Пирожные удобнее покупать целыми, чем к примеру несколько целых пирожных и половину пирожного. Кофе также удобнее брать целыми чашками, чем к примеру несколько целых чашек и половину чашки.

Заметим, что при нечетном x невозможно достичь равенства ни при каком y. Тогда значениями x будут следующие числа 0, 2, 4, 6, 8. А зная x можно без труда определить y

нахождение второго корня 25x plus 10y ravno 200

Таким образом, мы получили следующие пары значений (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эти пары являются решениями или корнями уравнения 25+ 10= 200. Они обращают данное уравнение в тождество.

Уравнение вида ax + by = c называют линейным уравнением с двумя переменными. Решением или корнями этого уравнения называют пару значений (x; y), которая обращает его в тождество.

Отметим также, что если линейное уравнение с двумя переменными записано в виде ax + by = c, то говорят, что оно записано в каноническом (нормальном) виде.

Некоторые линейные уравнения с двумя переменными могут быть приведены к каноническому виду.

Например, уравнение 2(16+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) можно привести к виду ax + by = c. Раскроем скобки в обеих частях этого уравнения, получим 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y. Слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой. Тогда получим 32x − 16+ 6+ 2y = 24 + 8. Приведём подобные слагаемые в обеих частях, получим уравнение 16+ 8= 32. Это уравнение приведено к виду ax + by = c и является каноническим.

Рассмотренное ранее уравнение 25+ 10= 200 также является линейным уравнением с двумя переменными в каноническом виде. В этом уравнении параметры a, b и c равны значениям 25, 10 и 200 соответственно.

На самом деле уравнение ax + by = c имеет бесчисленное множество решений. Решая уравнение 25+ 10= 200, мы искали его корни только на множестве целых чисел. В результате получили несколько пар значений, которые обращали данное уравнение в тождество. Но на множестве рациональных чисел уравнение 25+ 10= 200 будет иметь бесчисленное множество решений.

Для получения новых пар значений, нужно взять произвольное значение для x, затем выразить y. К примеру, возьмем для переменной x значение 7. Тогда получим уравнение с одной переменной 25 × 7 + 10= 200 в котором можно выразить y

25на7 plus 10y ravno 200 решение

Пусть x = 15. Тогда уравнение 25+ 10= 200 примет вид 25 × 15 + 10= 200. Отсюда находим, что y = −17,5

25на15 plus 10y ravno 200 решение

Пусть x = −3. Тогда уравнение 25+ 10= 200 примет вид 25 × (−3) + 10= 200. Отсюда находим, что y = −27,5

25на-3 plus 10y ravno 200 решение


Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для уравнения ax + by = c можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Отдельно взятое такое уравнение будет иметь бесчисленное множество решений.

Но бывает и так, что переменные x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. В этом случае они образуют так называемую систему линейных уравнений с двумя переменными. Такая система уравнений может иметь одну пару значений (или по-другому: «одно решение»).

Может случиться и так, что система вовсе не имеет решений. Бесчисленное множество решений система линейных уравнений может иметь в редких и в исключительных случаях.

Два линейных уравнения образуют систему тогда, когда значения x и y входят в каждое из этих уравнений.

Вернемся к самому первому уравнению 25+ 10= 200. Одной из пар значений для этого уравнения была пара (6; 5). Это случай, когда на 200 рублей можно можно было купить 6 пирожных и 5 чашек кофе.

Составим задачу так, чтобы пара (6; 5) стала единственным решением для уравнения 25+ 10= 200. Для этого составим ещё одно уравнение, которое связывало бы те же x пирожных и y чашечек кофе.

Поставим текст задачи следующим образом:

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Первое уравнение у нас уже есть. Это уравнение 25+ 10= 200. Теперь составим уравнение к условию «количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе».

Количество пирожных это x, а количество чашек кофе это y. Можно записать эту фразу с помощью уравнения x − y = 1. Это уравнение будет означать, что разница между пирожными и кофе составляет 1.

Либо второе уравнение можно записать как x = y + 1. Это уравнение означает, что количество пирожных на единицу больше, чем количество чашек кофе. Поэтому для получения равенства, к количеству чашек кофе прибавлена единица. Это легко можно понять, если воспользоваться моделью весов, которые мы рассматривали при изучении простейших задач:

весы x пирожных и y чашек кофе

Получили два уравнения: 25+ 10= 200 и x = y + 1. Поскольку значения x и y, а именно 6 и 5 входят в каждое из этих уравнений, то вместе они образуют систему. Запишем эту систему. Если уравнения образуют систему, то они обрамляются знаком системы. Знак системы это фигурная скобка:

system 25x plus 10y step 1

Давайте решим данную систему. Это позволит увидеть, как мы придём к значениям 6 и 5. Существует много методов решения таких систем. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Метод подстановки

Название этого метода говорит само за себя. Суть его заключается в том, чтобы одно уравнение подставить в другое, предварительно выразив одну из переменных.

В нашей системе ничего выражать не нужно. Во втором уравнении x = y + 1 переменная x уже выражена. Эта переменная равна выражению + 1. Тогда можно подставить это выражение в первое уравнение вместо переменной x

system 25x plus 10y step 2

После подстановки выражения y + 1 в первое уравнение вместо x, получим уравнение 25(+ 1) + 10= 200. Это линейное уравнение с одной переменной. Такое уравнение решить довольно просто:

system 25x plus 10y step 3

Мы нашли значение переменной y. Теперь подставим это значение в одно из уравнений и найдём значение x. Для этого удобно использовать второе уравнение x = y + 1. В него и подставим значение y

x ravno y plus 1 решение

Значит пара (6; 5) является решением системы уравнений, как мы и задумывали. Выполняем проверку и убеждаемся, что пара (6; 5) удовлетворяет системе:

system 25x plus 10y step 4


Пример 2. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

system x ravno 2 plus y step 1

Подставим первое уравнение = 2 + y во второе уравнение 3x − 2= 9. В первом уравнении переменная x равна выражению 2 + y. Это выражение и подставим во второе уравнение вместо x

system x ravno 2 plus y step 2

Теперь найдём значение x. Для этого подставим значение y в первое уравнение = 2 + y

system x ravno 2 plus y step 3

Значит решением системы system x ravno 2 plus y step 1 является пара значение (5; 3)


Пример 3. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

systemx plus 2y ravno 11 решение

Здесь в отличие от предыдущих примеров, одна из переменных не выражена явно.

Чтобы подставить одно уравнение в другое, сначала нужно выразить одну из переменных.

Выражать желательно ту переменную, которая имеет коэффициент единицу. Коэффициент единицу имеет переменная x, которая содержится в первом уравнении + 2= 11. Эту переменную и выразим.

После выражения переменной x, наша система примет следующий вид:

systemx plus 2y ravno 11 step 2

Теперь подставим первое уравнение во второе и найдем значение y

systemx plus 2y ravno 11 step 3

Подставим y в первое уравнение и найдём x

systemx plus 2y ravno 11 step 4

Значит решением системы systemx plus 2y ravno 11 решение является пара значений (3; 4)

Конечно, выражать можно и переменную y. Корни от этого не изменятся. Но если выразить y, получится не очень-то и простое уравнение, на решение которого уйдет больше времени. Выглядеть это будет следующим образом:

systemx plus 2y ravno 11 step 5

Видим, что в данном примере выражать x намного удобнее, чем выражать y.


Пример 4. Решить методом подстановки следующую систему уравнений:

7x plus 9y ravno 8 step 1

Выразим в первом уравнении x. Тогда система примет вид:

7x plus 9y ravno 8 step 2

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

7x plus 9y ravno 8 step 3

Подставим y в первое уравнение и найдём x. Можно воспользоваться изначальным уравнением 7+ 9= 8, либо воспользоваться уравнением 7x plus 9y ravno 8 step 4, в котором выражена переменная x. Этим уравнением и воспользуемся, поскольку это удобно:

7x plus 9y ravno 8 step 5

Значит решением системы 7x plus 9y ravno 8 step 1 является пара значений (5; −3)


Метод сложения

Метод сложения заключается в том, чтобы почленно сложить уравнения, входящие в систему. Это сложение приводит к тому, что образуется новое уравнение с одной переменной. А решить такое уравнение довольно просто.

Решим следующую систему уравнений:

system 2x plus y ravno 24 step 1

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. Получим следующее равенство:

system 2x plus y ravno 24 step 2

Приведем подобные слагаемые:

system 2x plus y ravno 24 step 3

В результате получили простейшее уравнение 3= 27 корень которого равен 9. Зная значение x можно найти значение y. Подставим значение x во второе уравнение x − y = 3. Получим 9 − y = 3. Отсюда = 6.

Значит решением системы system 2x plus y ravno 24 step 1 является пара значений (9; 6)


Пример 2. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

2x plus ravno 11 step 1

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения. А правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения. В получившемся равенстве приведем подобные слагаемые:

2x plus ravno 11 step 2

В результате получили простейшее уравнение 5= 20, корень которого равен 4. Зная значение x можно найти значение y. Подставим значение x в первое уравнение 2x + y = 11. Получим 8 + y = 11. Отсюда = 3.

Значит решением системы 2x plus ravno 11 step 1 является пара значений (4;3)

Процесс сложения подробно не расписывают. Его нужно выполнять в уме. При сложении оба уравнения должны быть приведены к каноническому виду. То есть, к виду ac + by = c.

Из рассмотренных примеров видно, что основная цель сложения уравнений это избавление от одной из переменных. Но не всегда удаётся сразу решить систему уравнений методом сложения. Чаще всего систему предварительно приводят к виду, при котором можно сложить уравнения, входящие в эту систему.

Например, систему 5x plus y ravno 15 step 1 можно сразу решить методом сложения. При сложении обоих уравнений, слагаемые y и −y исчезнут, поскольку их сумма равна нулю. В результате образуется простейшее уравнение 11= 22, корень которого равен 2. Затем можно будет определить y равный 5.

А систему уравнений 2x plus 3y ravno 18 step 1 методом сложения сразу решить нельзя, поскольку это не приведёт к исчезновению одной из переменных. Сложение приведет к тому, что образуется уравнение 8= 28, имеющее бесчисленное множество решений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному. Это правило справедливо и для системы линейных уравнений с двумя переменными. Одно из уравнений (или оба уравнения) можно умножить на какое-нибудь число. В результате получится равносильная система, корни которой будут совпадать с предыдущей.

Вернемся к самой первой системе system 25x plus 10y step 1, которая описывала сколько пирожных и чашек кофе купил школьник. Решением этой системы являлась пара значений (6; 5).

Умножим оба уравнения, входящие в эту систему на какие-нибудь числа. Скажем первое уравнение умножим на 2, а второе на 3

system 25x plus 10y method summ step 1

В результате получили систему system 25x plus 10y method summ step 2
Решением этой системы по-прежнему является пара значений (6; 5)

system 25x plus 10y method summ step 3

Это значит, что уравнения входящие в систему можно привести к виду, пригодному для применения метода сложения.

Вернемся к системе 2x plus 3y ravno 18 step 1, которую мы не смогли решить методом сложения.

Умножим первое уравнение на 6, а второе на −2

2x plus 3y ravno 18 step 2

Тогда получим следующую систему:

2x plus 3y ravno 18 step 3

Сложим уравнения, входящие в эту систему. Сложение компонентов 12x и −12x даст в результате 0, сложение 18y и 4y даст 22y, а сложение 108 и −20 даст 88. Тогда получится уравнение 22y = 88, отсюда y = 4.

Если первое время тяжело складывать уравнения в уме, то можно записывать как складывается левая часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правая часть первого уравнения с правой частью второго уравнения:

12x plus 18y ravno 108 второе решение

Зная, что значение переменной y равно 4, можно найти значение x. Подставим y в одно из уравнений, например в первое уравнение 2+ 3= 18. Тогда получим уравнение с одной переменной 2+ 12 = 18. Перенесем 12 в правую часть, изменив знак, получим 2= 6, отсюда x = 3.


Пример 4. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

x plus 5y ravno 7 step 1

Умножим второе уравнение на −1. Тогда система примет следующий вид:

x plus 5y ravno 7 step 2

Сложим оба уравнения. Сложение компонентов x и −x даст в результате 0, сложение 5y и 3y даст 8y, а сложение 7 и 1 даст 8. В результате получится уравнение 8= 8, корень которого равен 1. Зная, что значение y равно 1, можно найти значение x.

Подставим y в первое уравнение, получим + 5 = 7, отсюда = 2


Пример 5. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

6x minus 7y ravno 40 step 1

Желательно, чтобы слагаемые содержащие одинаковые переменные, располагались друг под другом. Поэтому во втором уравнении слагаемые 5y и −2x поменяем местами. В результате система примет вид:

6x minus 7y ravno 40

Умножим второе уравнение на 3. Тогда система примет вид:

6x minus 7y ravno 40 step 4

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения получим уравнение 8= 16, корень которого равен 2.

Подставим y в первое уравнение, получим 6− 14 = 40. Перенесем слагаемое −14 в правую часть, изменив знак, получим 6= 54. Отсюда = 9.


Пример 6. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

2xna9 plus yna4 ravno 11 step 1

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 36, а второе на 12

2xna9 plus yna4 ravno 11 step 2

В получившейся системе 2xna9 plus yna4 ravno 11 step 3  первое уравнение можно умножить на −5, а второе на 8

2xna9 plus yna4 ravno 11 step 4

Сложим уравнения в получившейся системе. Тогда получим простейшее уравнение −13= −156. Отсюда = 12. Подставим y в первое уравнение и найдем x

2xna9 plus yna4 ravno 11 step 5


Пример 7. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

x-y na 4 ravno step 1

Приведем оба уравнения к нормальному виду. Здесь удобно применить правило пропорции в обоих уравнениях. Если в первом уравнении правую часть представить как  1na1 , а правую часть второго уравнения как 3na1, то система примет вид:

x-y na 4 ravno step 2

У нас получилась пропорция. Перемножим её крайние и средние члены. Тогда система примет вид:

x-y na 4 ravno step 3

Первое уравнение умножим на −3, а во втором раскроем скобки:

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения этих уравнений, мы получим равенство, в обеих частях которого будет ноль:

x-y na 4 ravno step 5

Получается, что система x-y na 4 ravno step 1 имеет бесчисленное множество решений.

Но мы не можем просто так взять с неба произвольные значения для x и y. Мы можем указать одно из значений, а другое определится в зависимости от значения, указанного нами. Например, пусть = 2. Подставим это значение в систему:

x-y na 4 ravno step 6

В результате решения одного из уравнений, определится значение для y, которое будет удовлетворять обоим уравнениям:

x-y na 4 ravno step 7

Получившаяся пара значений (2; −2) будет удовлетворять системе:

x-y na 4 ravno step 8

Найдём еще одну пару значений. Пусть = 4. Подставим это значение в систему:

На глаз можно определить, что значение y равно нулю. Тогда получим пару значений (4; 0), которая удовлетворяет нашей системе:

x-y na 4 ravno step 10


Пример 8. Решить следующую систему уравнений методом сложения:

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 1

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 12

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 2

Перепишем то, что осталось:

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 3

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 4

Первое уравнение умножим на −1. Тогда система примет вид:

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 5

Теперь сложим оба уравнения. В результате сложения образуется уравнение 6= 48, корень которого равен 8. Подставим b в первое уравнение и найдём a

a plus 3 na 2 minus b minus 2 na 3 ravno 2 step 6


Система линейных уравнений с тремя переменными

В линейное уравнение с тремя переменными входит три переменные с коэффициентами, а также свободный член. В каноническом виде его можно записать следующим образом:

ax + by + cz = d

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Решением в этом случае является тройка значений (x; y; z) которая обращает уравнение в тождество.

Если переменные x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех линейных уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять те же методы, которые применяются к линейным уравнениям с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить следующую систему уравнений методом подстановки:

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 1

Выразим в третьем уравнении x. Тогда система примет вид:

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 2

Теперь выполним подстановку. Переменная x равна выражению 3 − 2y − 2z. Подставим это выражение в первое и второе уравнение:

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 3

Раскроем скобки в обоих уравнениях и приведём подобные слагаемые:

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 4

Мы пришли к системе линейных уравнений с двумя переменными. В данном случае удобно применить метод сложения. В результате переменная y исчезнет, и мы сможем найти значение переменной z

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 5

Теперь найдём значение y. Для этого удобно воспользоваться уравнением −= 4. Подставим в него значение z

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 6

Теперь найдём значение x. Для этого удобно воспользоваться уравнением = 3 − 2y − 2z. Подставим в него значения y и z

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 7

Таким образом, тройка значений (3; −2; 2) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

2x plus 3y plus 5z ravno 10 step 8


Пример 2. Решить систему методом сложения

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 1

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на −2.

Если второе уравнение умножить на −2, то оно примет вид −6+ 6y − 4z = −4. Теперь сложим его с первым уравнением:

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 3

Видим, что в результате элементарных преобразований, определилось значение переменной x. Оно равно единице.

Вернемся к главной системе. Сложим второе уравнение с третьим, умноженным на −1. Если третье уравнение умножить на −1, то оно примет вид −4x + 5y − 2z = −1. Теперь сложим его со вторым уравнением:

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 4

Получили уравнение x − 2= −1. Подставим в него значение x, которое мы находили ранее. Тогда мы сможем определить значение y

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 5

Теперь нам известны значения x и y. Это позволяет определить значение z. Воспользуемся одним из уравнений, входящим в систему:

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 6

Таким образом, тройка значений (1; 1; 1) является решением нашей системы. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе:

5x minus 6y plus 4z ravno 3 step 7


Задачи на составление систем линейных уравнений

Задача на составление систем уравнений решается путем ввода нескольких переменных. Далее составляются уравнения на основании условий задачи. Из составленных уравнений образуют систему и решают её. Решив систему, необходимо выполнить проверку на то, удовлетворяет ли её решение условиям задачи.

Задача 1. Из города в колхоз выехала машина «Волга». Обратно она возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Всего в оба конца машина проехала 35 км. Сколько километров составляет длина каждой дороги?

Решение

Пусть x — длина первой дороги, y — длина второй. Если в оба конца машина проехала 35 км, то первое уравнение можно записать как = 35. Это уравнение описывает сумму длин обеих дорог.

Сказано, что обратно машина возвращалась по дороге которая была короче первой на 5 км. Тогда второе уравнение можно записать как − = 5. Это уравнение показывает, что разница между длинами дорог составляет 5 км.

Либо второе уравнение можно записать как + 5. Этим уравнением и воспользуемся.

Поскольку переменные x и y в обоих уравнениях обозначают одно и то же число, то мы можем образовать из них систему:

x plus y ravno 35 step 1

Решим эту систему каким-нибудь из изученных ранее методов. В данном случае удобно воспользоваться методом подстановки, поскольку во втором уравнении переменная x уже выражена.

Подставим второе уравнение в первое и найдём y

x plus y ravno 35 step 2

Подставим найденное значение y в во второе уравнение + 5 и найдём x

x plus y ravno 35 step 3

Длина первой дороги была обозначена через переменную x. Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 20. Значит длина первой дороги составляет 20 км.

А длина второй дороги была обозначена через y. Значение этой переменной равно 15. Значит длина второй дороги составляет 15 км.

Выполним проверку. Для начала убедимся, что система решена правильно:

x plus y ravno 35 step 4

Теперь проверим удовлетворяет ли решение (20; 15) условиям задачи.

Было сказано, что всего в оба конца машина проехала 35 км. Складываем длины обеих дорог и убеждаемся, что решение (20; 15) удовлетворяет данному условию: 20 км + 15 км = 35 км

Следующее условие: обратно машина возвращалась по другой дороге, которая была на 5 км короче первой. Видим, что решение (20; 15) удовлетворяет и этому условию, поскольку 15 км короче, чем 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При составлении системы важно, чтобы переменные обозначали одни и те же числа во всех уравнениях, входящих в эту систему.

Так наша система x plus y ravno 35 step 1 содержит два уравнения. Эти уравнения в свою очередь содержат переменные x и y, которые обозначают одни и те же числа в обоих уравнениях, а именно длины дорог, равных 20 км и 15 км.


Задача 2. На платформу были погружены дубовые и сосновые шпалы, всего 300 шпал. Известно, что все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Определить, сколько было дубовых и сосновых шпал отдельно, если каждая дубовая шпала весила 46 кг, а каждая сосновая 28 кг.

Решение

Пусть x дубовых и y сосновых шпал было погружено на платформу. Если всего шпал было 300, то первое уравнение можно записать как x + y = 300.

Все дубовые шпалы весили 46x кг, а сосновые весили 28y кг. Поскольку дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем сосновые, то второе уравнение можно записать, как 28y − 46= 1000. Это уравнение показывает, что разница масс между дубовыми и сосновыми шпалами, составляет 1000 кг.

Тонны были переведены в килограммы, поскольку масса дубовых и сосновых шпал измерена в килограммах.

В результате получаем два уравнения, которые образуют систему

x plus y ravno 300 step 1

Решим данную систему. Выразим в первом уравнении x. Тогда система примет вид:

x plus y ravno 300 step 2

Подставим первое уравнение во второе и найдём y

x plus y ravno 300 step 3

Подставим y в уравнение = 300 − y и узнаем чему равно x

x plus y ravno 300 step 4

Значит на платформу было погружено 100 дубовых и 200 сосновых шпал.

Проверим удовлетворяет ли решение (100; 200) условиям задачи. Для начала убедимся, что система решена правильно:

x plus y ravno 300 step 5

Было сказано, что всего было 300 шпал. Складываем количество дубовых и сосновых шпал и убеждаемся, что решение (100; 200) удовлетворяет данному условию: 100 + 200 = 300.

Следующее условие: все дубовые шпалы весили на 1 т меньше, чем все сосновые. Видим, что решение (100; 200) удовлетворяет и этому условию, поскольку 46 × 100 кг дубовых шпал легче, чем 28 × 200 кг сосновых шпал: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.


Задача 3. Взяли три куска сплава меди с никелем в отношениях 2 : 1, 3 : 1 и 5 : 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4 : 1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго.

Решение

Пусть x — масса первого куска, y — масса второго куска, z — масса третьего куска. Если из этих кусков сплавлен кусок массой 12 кг, то первое уравнение можно записать как = 12.

Масса первого куска вдвое больше массы второго куска. Тогда второе уравнение можно записать как x 2y.

Полученных двух уравнений недостаточно для решения данной задачи. Если второе уравнение подставить в первое, то мы получим уравнение 2= 12, откуда 3= 12. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Составим ещё одно уравнение. Пусть это уравнение будет описывать количество меди, взятого с каждого сплава и сколько меди оказалось в получившемся сплаве.

Если первый сплав имеет массу x, а медь и никель находится нём в отношении 2 : 1, то можно записать, что в новом сплаве содержится 2ns3x меди от первого куска.

Если второй сплав имеет массу y, а медь и никель находится в нём в отношении 3 : 1, то можно записать, что в новом сплаве содержится 3na4y меди от второго куска.

Если третий сплав имеет массу z, а медь и никель находится в отношении 5 : 1, то можно записать, что в новом сплаве содержится 5na6z меди от третьего куска.

Полученный сплав имеет имеет массу 12 кг, а медь и никель находится в нём в отношении 4 : 1. Тогда можно записать, что в полученном сплаве содержится 4na5na12 ravno 96 меди.

Сложим  2ns3x, 3na4y, 5na6z и приравняем эту сумму к 9,6. Это и будет нашим третьим уравнением:

x plus y plus z ravno 12 step 1

Попробуем решить данную систему.

Для начала упростим третье уравнение. Подставим в него второе уравнение и посмотрим, что из этого выйдет:

x plus y plus z ravno 12 step 3

Теперь в главной системе вместо уравнения x plus y plus z ravno 12 step 4 запишем уравнение, которое мы сейчас получили, а именно уравнение 25+ 10= 115,2

x plus y plus z ravno 12 step 5

Подставим второе уравнение в первое:

x plus y plus z ravno 12 step 6

Умножим первое уравнение на −10. Тогда система примет вид:

x plus y plus z ravno 12 step 7

Сложим оба уравнения. Тогда получим простейшее уравнение −5= −4,8 откуда найдём y равный 0,96. Значит масса второго сплава составляет 0,96 кг.

Теперь найдём x. Для этого удобно воспользоваться уравнением = 2y. Значение y уже известно. Осталось только подставить его:

x plus y plus z ravno 12 step 8

Значит масса первого сплава составляет 1,92 кг.

Теперь найдём z. Для этого удобно воспользоваться уравнением = 12. Значения x и y уже известны. Подставим их куда нужно:

x plus y plus z ravno 12 step 9

Значит масса третьего сплава составляет 9,12 кг.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Приведите следующее уравнение к каноническому (нормальному) виду:
Решение
Задание 2. Приведите следующее уравнение к каноническому (нормальному) виду:
Решение
Задание 3. Приведите следующее уравнение к каноническому (нормальному) виду:
Решение
Задание 4. Приведите следующее уравнение к каноническому (нормальному) виду:
Решение
Задание 5. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 6. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 7. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 8. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 9. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 10. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 11. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 12. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 13. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 14. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задание 15. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 16. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 17. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 18. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 19. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 20. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 21. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 22. Решите следующую систему уравнений методом сложения:
Решение
Задание 23. Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
Решение
Задача 24. На прокормление 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей получали сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

Решение

Пусть x кг сена выдавали каждой лошади, и y кг каждой корове. Лошадей было 8, а коров 15. Это значит всем лошадям выдавали 8x кг сена, а всем коровам 15x кг. Вместе лошадям и коровам выдавали 162 кг сена. Тогда первое уравнение можно записать как 8+ 15= 162

Известно, что 5 лошадей получали 5x кг сена, а 7 коров 7y кг. Если 5 лошадей получали на 3 кг больше сена, чем 7 коров, то второе уравнение можно записать как 5x − 7y = 3.

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её

Ответ: ежедневно каждой лошади выдавали 9 кг сена, а каждой корове 6 кг.

Задача 25. Для отправки груза было подано несколько вагонов. Если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогруженными; если же грузить по 16,5 т в вагон, то для полной загрузки вагонов не хватит 8 т груза. Сколько было подано вагонов и сколько тонн было груза?

Решение

Пусть x вагонов было подано для отправки y тонн груза. Погрузку груза в вагоны можно описать с помощью отношения . Это отношение показывает сколько тонн груза приходится на один вагон.

В первом случае в каждый вагон грузится 15,5 т. Тогда первое уравнение можно записать как  . Но в условии сказано, что если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогруженными. Это означает, что будет погружен не весь груз, а только y − 4 тонн груза. Поэтому первое уравнение перепишем как

Во втором случае в каждый вагон грузится 16,5 т. Тогда второе уравнение можно записать как  . Но в задаче сказано, что если грузить по 16,5 т в вагон, то для полной загрузки вагонов не хватит 8 т груза. Это означает, что будет погружен весь груз, плюс останется места для погрузки ещё восьми тонн груза. Иными словами, при таком раскладе можно погрузить в вагоны y + 8 тонн груза. Поэтому второе уравнение перепишем как

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её:

Ответ: вагонов было 12, а груза 190 тонн.

Задача 26. В школьном зале поставлены скамейки. Если на каждую скамью посадить по 5 учеников, то не хватит 8 скамеек; если же на каждую скамью посадить по 6 учеников, то 2 скамьи останутся свободными. Сколько скамеек было поставлено в зале и сколько было учеников?

Решение

Пусть x скамеек было поставлено в зале, а учеников было y.

В первом случае на каждую скамейку сажается 5 учеников. Разделим y учеников по 5 человек и посадим их на x скамеек:

y-na-5-ravno-x

Но в условии сказано, что если посадить по 5 учеников на скамейку, то не хватит 8 скамеек. У нас имеется только x скамеек. Чтобы все y учеников смогли сесть на скамейки, добавим к x скамейкам ещё 8 скамеек

Во втором случае на каждую скамейку сажается 6 учеников. Разделим y учеников по 6 человек и посадим их на x скамеек:

y-na-6-ravno-x.png

Но в условии сказано, что если посадить по 6 учеников на скамейку, то 2 скамейки останутся свободными. В этом случае ученики сядут не на x, а на x − 2 скамейки. Перепишем второе уравнение в следующем виде:

Поскольку в обоих уравнениях переменные x и y обозначают одно и то же число, то можно образовать из них систему и решить её:

Ответ: скамеек было 52, а учеников 300.

Задача 27. Несколько человек отправляются на экскурсию. Если при этом каждый внесёт на расходы по 12 руб. 50 коп., то для оплаты расходов не хватит 100 руб.; если же каждый внесёт по 16 руб., то останется излишек 12 руб. Сколько человек участвует в экскурсии?

Решение

Пусть x человек участвует в экскурсии, а расходы на эту экскурсию составляют y рублей.

Если каждый участник экскурсии внесет по 12 руб. 50 коп., то расходы составят 12,50x руб. При этом сказано, что в таком случае для покрытия расходов не хватит 100 руб. Чтобы покрыть расходы прибавим к расходам 12,50x еще 100 рублей

12,50x + 100

Выражение 12,50+ 100, как и переменная y описывает одну и ту же величину — расходы на экскурсию. Поэтому можно соединить эти два выражения знаком равенства, образуя тем самым первое уравнение для системы:

12,50x + 100 = y

Далее в задаче сказано, что если каждый участник внесёт по 16 руб., то останется излишек 12 руб. Поскольку количество участников это x, то расходы при таком раскладе составят 16x. Расходы в 16x рублей больше планируемых y рублей на 12 руб. Чтобы получить второе уравнение вычтем из 16x руб излишек 12 руб.

16− 12

Как и предыдущее выражение 12,50+ 100, выражение 16− 12 описывает расходы на экскурсию и его можно приравнять к переменной y. Это будет вторым уравнением для системы:

16− 12 = y

Получили два уравнения: 12,50x + 100 = y и 16x − 12 = y. Переменные x и y обозначают одно и то же число, поэтому можно образовать из них систему и решить её:

Значит в экскурсии участвует 32 человека.

В данной задаче не стоял  вопрос какими будут расходы на экскурсию. Но для интереса можно вычислить и их:

Ответ: в экскурсии участвует 32 человека.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Решение задач с помощью пропорции

Решение задачи с помощью пропорции сводится к тому, чтобы сделать неизвестное значение x членом этой пропорции. Затем используя основное свойство пропорции получить линейное уравнение и решить его.

Как решить задачу с помощью пропорции

Рассмотрим простейший пример. Трем группам нужно выплатить стипендию по 1600 рублей каждому. В первой группе 20 студентов. Значит первой группе будет выплачено 1600 × 20, то есть 32 тыс. рублей.

Во второй группе 17 человек. Значит второй группе будет выплачено 1600 × 17, то есть 27,200 тыс. руб.

Ну и выплатим стипендию третьей группе. В ней 15 человек. На них нужно затратить 1600 × 15, то есть 24 тыс. руб.

В результате имеем следующее решение:

решение задачи выдача стипендии первым способом

Для подобных задач решение можно записывать с помощью пропорции.

Пропорция по определению есть равенство двух отношений. К примеру, равенство пропорция a к b как c к d является пропорцией. Эту пропорцию можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится d

Аналогично можно соотнести стипендию и студентов, так чтобы каждому досталось по 1600 рублей.

Итак, запишем первое отношение, а именно отношение тысячи шестисот рублей на одного человека:

1600 на 1

Мы выяснили, что для выплаты 20 студентам по 1600 рублей, нам потребуется 32 тыс. рублей. Значит второе отношение будет отношением тридцати двух тысяч к двадцати студентам:

32000 на 20

Теперь соединим полученные отношения знаком равенства:

1600 на 1 как 32000 на 20

Мы получили пропорцию. Её можно прочесть следующим образом:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как тридцать две тысячи рублей относятся к двадцати студентам.

Понимай по 1600 рублей каждому. Если выполнить деление в обеих частях равенства 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк, то обнаружим, что одному студенту, как и двадцати студентам достанется по 1600 рублей.

Теперь представим, что сумма денег, необходимых для выплаты стипендии двадцати студентам, была бы неизвестной. Скажем, если бы вопрос стоял так: группе 20 студентов и каждому нужно выплатить по 1600 рублей. Сколько всего рублей требуется для выплаты стипендии?

В таком случае пропорция 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк приняла бы вид 1600 на 1 как x на 20. То есть, сумма денег, необходимая для выплаты стипендии, стала неизвестным членом пропорции. Эту пропорцию можно прочесть так:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как неизвестное число рублей относится к двадцати студентам

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Оно гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

1600 на 1 как x на 20 пропорция рисунок

Перемножив члены пропорции «крест-накрест», получим равенство 1600 × 20 = 1 × x. Вычислив обе части равенства, получим 32000 = x или x = 32000. Иными словами, мы найдём значение неизвестной величины, которую искали.

Аналогично можно было определить общую сумму и для остального количества студентов — для 17 и 15. Эти пропорции выглядели как 1600 на 1 равно x на 17  и  1600 на 1 равно x на 15. Воспользовавшись основным свойством пропорции, можно найти значение x

1600 на 1 равно x на 15 и x na 17 решение


Задача 2. Расстояние равное 100 км автобус проехал за 2 часа. Сколько времени потребуется автобусу, чтобы проехать 300 км, если будет ехать с той же скоростью?

Можно сначала определить расстояние, которое автобус проезжает за один час. Затем определить сколько раз это расстояние содержится в 300 километрах:

100 : 2 = 50 км на каждый час движения

300 км : 50 = 6 часов

Либо можно составить пропорцию «сто километров так относятся к одному часу, как триста километров к неизвестному числу часов»:

пропорция 100на2 как 300наt решение


Отношение одноименных величин

Если крайние или средние члены пропорции поменять местами, то пропорция не нарушится.

Так, в пропорции 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк можно поменять местами крайние члены. Тогда получится пропорция пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600.

Пропорция также не нарушится, если её перевернуть, то есть использовать обратные отношения в обеих частях.

Перевернем пропорцию пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600. Тогда получим пропорцию пропорция 1 к 20 как 1600 к 32000. Взаимосвязь при этом не нарушается. Отношение между студентами равно отношению между суммами денег, предназначенных для эти студентов. Такую пропорцию часто составляют в школе, когда для решения задачи составляются таблицы

таблица к пропорции 1 к 20 как 1600 к 32000

Этот способ записи очень удобен, поскольку позволяет перевести условие задачи в более понятный вид. Решим задачу в которой требовалось определить сколько рублей нужно для выплаты стипендии двадцати студентам.

Условие задачи запишем следующим образом:

условие задачи 1 к 20 как 1600 к 32000

Составим таблицу на основе этого условия:

таблица к пропорции 1 к 20 как 1600 к x

Составим пропорцию, используя данные таблицы:

пропорция 1 к 20 как 1600 к x

Используя основное свойство пропорции, получим линейное уравнение и найдем его корень:

пропорция 1 к 20 как 1600 к x решение

Изначально, мы имели дело с пропорцией 1600 на 1 как 32000 на 20 масштаб для строк, которая составлена из отношений величин разной природы. В числителях отношений располагались суммы денег, а в знаменателях количество студентов:

рисунок 2 пропорция 1600 к 1 как 32000 к 20

Поменяв местами крайние члены, мы получили пропорцию пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600. Эта пропорция составлена из отношений величин одной природы. В первом отношении содержатся количества студентов, а во втором — суммы денег:

рисунок 2 пропорция 20 к 1 как 32000 к 1600

Если отношение составлено из величин одной природы, то мы будем называть его отношением одноименных величин. Например, отношения между фруктами, деньгами, физическими величинами, явлениями, действиями.

Отношение может быть составлено, как из одноименных величин, так и из величин разной природы. Примерами последних являются отношение расстояния ко времени, отношения стоимости товара к его количеству, отношение общей суммы стипендии к количеству студентов.


Пример 2. В школьном саду посажены сосны и березы, причём на каждую сосну приходится 2 березы. Сколько посадили сосен в саду, если берез посадили 240?

Определим сколько сосен было посажено в саду. Для этого составим пропорцию. В условии сказано, что на каждую сосну приходится 2 березы. Напишем отношение, показывающее что на одну сосну приходится две березы:

две первых

Теперь напишем второе отношение, показывающее что на x сосен приходится 240 берез

240 na x

Соединим эти отношения знаком равенства, получим следующую пропорцию:

пропорция 2 к 1 как 240 к x

«2 березы так относятся к одной сосне,
как 240 берез относятся к x соснам»

Используя основное свойство пропорции, находим значение x

пропорция к задаче 1 к 20 как 1600 к 32000 решение 1

Либо пропорцию можно составить, предварительно записав условие, как в прошлом примере:

условие задачи 1 к 20 как 1600 к 32000 условие 2

Получится та же пропорция, но в этот раз она будет составлена из отношений одноименных величин:

пропорция к задаче 1 к 20 как 1600 к 32000 условие 2

Значит в саду посадили 120 сосен.


Пример 3. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

картинка к задаче нахождение процентного соотношения меди

Можно разделить 34,2 на 225 и полученный результат выразить в процентах:

решение 1 к задаче нахождение процентного соотношения меди

Либо составить пропорцию 225 килограммам руды так приходятся на 100%, как 34,2 кг меди приходятся на неизвестное число процентов:

225на100 равно 342на x решение

Либо составить пропорцию в которой отношения составлены из одноименных величин:

условие задачи 225 к 34 2 как 100 к x

решение 2 задачи 225 к 34 2 как 100 к x


Задачи на прямую пропорциональность

Понимание отношений одноименных величин приводит к пониманию решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Начнем с задач на прямую пропорциональность.

Для начала вспомним, что такое прямая пропорциональность. Это взаимосвязь между двумя величинами при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

Если расстояние в 50 км автобус прошел за 1 час, то для прохождения расстояния в 100 км (при той же скорости) автобусу потребуется 2 часа. Во сколько раз увеличилось расстояние, во столько же раз увеличилось время движения. Как показать это с помощью пропорции?

Одно из предназначений отношения заключается в том, чтобы показать во сколько раз первая величина больше второй. А значит и мы c помощью пропорции можем показать, что расстояние и время увеличились в два раза. Для этого воспользуемся отношением одноименных величин.

Покажем, что расстояние увеличилось в два раза:

100 на 50

Аналогично покажем, что время увеличилось во столько же раз

2 на 1

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию:

пропорция 100 к 50 как 2 к 1

«100 километров так относятся к 50 километрам, как 2 часа относятся к 1 часу»

Если выполнить деление в обеих частях равенства пропорция 100 к 50 как 2 к 1, то обнаружим что расстояние и время были увеличены в одинаковое число раз.

2 = 2


Задача 2. За 3 ч на мельнице смололи 27 т пшеничной муки. Сколько тонн пшеничной муки можно смолоть за 9 ч, если темп работы не изменится?

Решение

Время работы мельницы и масса перемолотой муки — прямо пропорциональные величины. При увеличении времени работы в несколько раз, количество перемолотой муки увеличится во столько же раз. Покажем это с помощью пропорции.

В задаче дано 3 ч. Эти 3 ч увеличились до 9 ч. Запишем отношение 9 ч к 3 ч. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось время работы мельницы:

9 na 3

Теперь запишем второе отношение. Это будет отношение x тонн пшеничной муки к 27 тоннам. Данное отношение будет показывать, что количество перемолотой муки увеличилось во столько же раз, сколько и время работы мельницы

x на 27

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию пропорция 9на3 равно xна27.

Воспользуемся основным свойством пропорции и найдем x

пропорция 9на3 равно xна27 решение

Значит за 9 ч можно смолоть 81 т пшеничной муки.

Вообще, если взять две прямо пропорциональные величины и увеличить их в одинаковое число раз, то отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению нового значения к старому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 3 ч и 27 т. Эти значения были увеличены в одинаковое число раз (в три раза). Новыми значениями стали 9 ч и 81 ч. Тогда отношение нового значения времени работы мельницы к старому значению  9 na 3  равно отношению нового значения массы перемолотой муки к старому значению  81 na 27

пропорция 9 na 3 ravno 81 na 27

Если выполнить деление в обеих частях равенства, то обнаружим, что время работы мельницы и количество смолотой муки увеличилось в одинаковое число раз:

3 = 3

Пропорцию, которую составляют к задачам на прямую пропорциональность, можно описать с помощью выражения:

пропорция n2 na n1 равно m2 na m1

Где n2 − новое значение первой величины
n1 − старое значение первой величины
m2 − новое значение второй величины
m1 − старое значение второй величины

Применительно к нашей задаче значения переменных n1 n2 m1 m2 будут следующими:

значения переменных m и n к первой задаче на пропорции

Где m2 впоследствии стало равно 81.


Задача 2. Для 8 коров в зимнее время доярка ежедневно заготовляет 80 кг сена, 96 кг корнеплодов, 120 кг силоса и 12 кг концентратов. Определить ежедневный расход этих кормов для 18 коров.

Решение

Количество коров и масса каждого из кормов — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества коров в несколько раз, масса каждого из кормов увеличится во столько же раз.

Составим несколько пропорций, вычисляющих массу каждого из кормов для 18 коров.

Начнем с сена. Ежедневно для 8 коров его заготовляют 80 кг. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг сена.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество коров:

18 на 8

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилась масса сена:

x na 80

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию:

18 на 8 равно x на 80

Отсюда находим x

18 на 8 равно x на 80 решение

Значит для 18 коров нужно заготовить 180 кг сена. Аналогично определяем массу корнеплодов, силоса и концентратов.

Для 8 коров ежедневно заготовляют 96 кг корнеплодов. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг корнеплодов. Составим пропорцию из отношений  18 на 8  и  x na 96 , затем вычислим значение x

18 na 8 ravno x na 9 решение

Определим сколько силоса и концентратов нужно заготовить для 18 коров:

18 на 8 равно x на 120 и x na 12 решение

Значит для 18 коров ежедневно нужно заготавливать 180 кг сена, 216 кг корнеплодов, 270 кг силоса и 27 кг концентратов.


Задача 3. Хозяйка варит вишнёвое варенье, причём на 3 стакана вишни кладёт 2 стакана сахара. Сколько сахара нужно положить на 12 стаканов вишни? на 10 стаканов вишни? на семь целых одна вторая стакана вишни?

Решение

Количество стаканов вишни и количество стаканов сахарного песка — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества стаканов вишни в несколько раз, количество стаканов сахара увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов вишни:

12 на 3

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов сахара:

x na 2

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдем значение x

12 на 3 равно x на 2 решение

Значит на 12 стаканов вишни нужно положить 8 стаканов сахара.

Определим количество стаканов сахара для 10 стаканов вишни и семь целых одна вторая стакана вишни

пропорция для 10 стаканов и 7 целых и половины стакана


Задачи на обратную пропорциональность

Для решения задач на обратную пропорциональность опять же можно использовать пропорцию, составленнаю из отношений одноименных величин.

В отличие от прямой пропорциональности, где величины увеличиваются или уменьшаются в одну и ту же сторону, в обратной пропорциональности величины изменяются обратно друг другу.

Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая уменьшается во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в несколько раз, то другая увеличивается во столько же раз.

Допустим, что нужно покрасить забор, состоящий из 8 листов

забор из восьми листов

Один маляр будет красить все 8 листов сам

забор из восьми листов рисунок 2

Если маляров будет 2, то каждый покрасит по 4 листа.

забор из восьми листов рисунок 3

Это конечно же при условии, что маляры будут честными между собой и справедливо разделят эту работу поровну на двоих.

Если маляров будет 4, то каждый покрасит по 2 листа

забор из восьми листов рисунок 4

Замечаем, что при увеличении количества маляров в несколько раз, количество листов которые приходятся на одного маляра уменьшаются во столько же раз.

Итак, мы увеличили количество маляров с 1 до 4. Другими словами, увеличили количество маляров в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

4 на 1

В результате количество листов забора, которые приходятся на одного маляра уменьшилось в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

8 на 2

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию

пропорция 4 на 1 равно 8 на 2

«4 маляра так относятся к 1 маляру, как 8 листов относятся к 2 листам»


Задача 2. 15 рабочих закончили отделку квартир в новом доме за 24 дня. За сколько дней выполнили бы эту работу 18 рабочих?

Решение

Количество рабочих и количество дней, затраченных на работу — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней, необходимых для выполнения этой работы, уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение 18 рабочих к 15 рабочим. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось количество рабочих

18 на 15

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз уменьшилось количество дней. Поскольку количество дней уменьшится с 24 дней до x дней, то второе отношение будет отношением старого количества дней (24 дня) к новому количеству дней (x дней)

24 на x

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию:

пропорция 18 на 15 равно 24 на x

Отсюда находим x

пропорция 18 на 15 равно 24 на x решение

Значит 18 рабочих выполнят необходимую работу за 20 дней.

Вообще, если взять две обратно пропорциональные величины и увеличить одну из них в определенное число раз, то другая уменьшится во столько же раз. Тогда отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению старого значения к новому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 15 рабочих и 24 дня. Количество рабочих было увеличено с 15 до 18 (т.е. было увеличено в 18 на 15 значение раза). В результате количество дней, необходимых для выполнения работы, уменьшилось во столько же раз. Новыми значениями стали 18 рабочих и 20 дней. Тогда отношение нового количества рабочих к старому количеству  18 на 15  равно отношению старого количества дней к новому количеству 24 на x

Для составления пропорции к задачам на обратную пропорциональность можно пользоваться формулой:

пропорция n2 na n1 равно m1 na m2

Где n2 − новое значение первой величины
n1 − старое значение первой величины
m1 − старое значение второй величины
m2 − новое значение второй величины

Применительно к нашей задаче значения переменных n1 n2 m1 m2 будут следующими:

значения переменных m и n к задаче где 15 рабочих

Где m2 впоследствии стало равно 20.


Задача 2. Скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36 : 5. Пароход двигался вниз по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

Решение

Собственная скорость парохода составляет 36 км/ч. Скорость течения реки реки 5 км/ч. Поскольку пароход двигался по течению руки, то скорость его движения составила 36 + 5 = 41 км/ч. Время пути составила 5 ч 10 мин. Для удобства выразим время в минутах:

5 ч 10 мин = 300 мин + 10 мин = 310 мин

Поскольку на обратном пути пароход двигался против течения реки, то его скорость составила 36 − 5 = 31 км/ч.

Скорость парохода и время его движения — обратно пропорциональные величины. При уменьшении скорости в несколько раз, время его движения увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз уменьшилась скорость движения:

41 на 31

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз увеличилось время движения. Поскольку новое время x будет больше старого времени, в числителе отношения запишем время x, а в знаменателе старое время, равное трёхсот десяти минутам

x na 310

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию 41 na 31 ravno 410 na 310. Отсюда найдём значение x

41 na 31 ravno 410 na 310 решение

410 минут это 6 часов и 50 минут. Значит пароходу потребуется 6 часов и 50 минут, чтобы вернуться обратно.


Задача 3. На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день утром подошли еще несколько рабочих, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих прибыло дополнительно?

Решение

Вычтем из 12 дней 4 отработанных дня. Так мы определим сколько ещё дней осталось работать пятнадцати рабочим

12 дней − 4 дня = 8 дней

На пятый день дополнительно прибыло x рабочих. Тогда всего рабочих стало 15 + x.

Количество рабочих и количество дней, необходимых для выполнения работы — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество рабочих:

15 plus x na 15

Теперь запишем во сколько раз уменьшилось количество дней, необходимых для выполнения работы:

8 na 6

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию 15 plus x na 15 na 8 na 6. Отсюда можно вычислить значение x

15 plus x na 15 na 8 na решение

Значит 5 рабочих прибыло дополнительно.


Масштаб

Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.

Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.

Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.

Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:

800 000 см : 100 000 см = 8 см

8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.

дом и школа расстояние между которыми как бы 8 см

Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:

8 : 800 000

Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.

В целях упрощения отношения 8 : 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1 : 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.

Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1 : 100 000

дом и школа расстояние между которыми как бы 8 см

Примеры:

1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.

К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.

Так, наш план составлен в масштабе 1 : 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000

8 см × 100 000 = 800 000 см

Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.

Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.

дом и дерево 4 км

Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.

Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:

1 на 100000 как 8 на x

Эту пропорцию можно прочитать так:

1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x см на местности.

Из этой пропорции узнаём, что значение x равно 800000 см.


Пример 2. На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1 : 1 000 000.

Решение

Масштаб 1 : 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x

1 на 1000000 равно 85 на x решение

В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет 

Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:

1000000 к 1

Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:

x на 85

Отсюда x равен 8 500 000 см или 85 км.

1000000 к 1 как x к 85 решение


Задача 3. Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000

Решение

Масштаб 1 : 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.

А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте

7 400 000 : 2 000 000 = 3,7 см

Значит на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.

Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:

2000000 к 1

Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:

7400000 к x

Отсюда находим x равный 3,7 см

2000000 к 1 равно 7400000 на x решение


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение

Пусть x кг масла можно получить из 7 кг хлопкового семени. Масса хлопкового семени и масса получаемого масла — прямо пропорциональные величины. Тогда уменьшение хлопкового семени с 21 кг до 7 кг, приведет к уменьшению получаемого масла во столько же раз.

Ответ: из 7 кг хлопкового семени получится 1,7 кг масла.

Задача 2. На некотором участке железнодорожного пути старые рельсы длиной в 8 м заменили новыми длиной в 12 м. Сколько потребуется новых двенадцатиметровых рельсов, если сняли 360 старых рельсов?

Решение

Длина участка на котором производится замена рельсов равна 8 × 360 = 2880 м.

Пусть x двенадцатиметровых рельсов требуется для замены. Увеличение длины одного рельса с 8 м до 12 м приведет к уменьшению количества рельсов с 360 до x штук. Иными словами, длина рельса и их количество связаны обратно пропорциональной зависимостью

Ответ: для замены старых рельсов потребуется 240 новых.

Задача 3. 60% учеников класса пошли в кино, а остальные 12 человек – на выставку. Сколько учащихся в классе?

Решение

Если 60% учащихся пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку, то на 40% учащихся и будут приходиться 12 человек, пошедших на выставку. Тогда можно составить пропорцию в которой 12 учащихся так относятся к 40%, как все x учащихся относятся к 100%

Либо можно составить пропорцию, состоящей из отношений одноименных величин. Количество учащихся и процентная доля изменяются прямо пропорционально. Тогда можно записать, что во сколько раз увеличилось количество участников    во столько же раз увеличилась процентная доля   (с 40% до 100%)

Ответ: в классе 30 учащихся.

Задача 4. Расстояние на карте между городами 18 см. Какое действительное расстояние между городами, если масштаб карты 1 : 500 000?

Решение

Масштаб 1 : 500000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 500 000 см на местности.

Тогда увеличив 18 см в 500 000, мы получим действительное расстояние между городами

18 см × 500 000 = 9 000 000 см

Переведем 9 000 000 см в километры. В одном километре 100 000 см. Тогда в 9 000 000 см будет

Запишем решение с помощью пропорции:

Ответ: расстояние между городами 90 км.

Задача 5. Пешеход затратил на путь 2,5 ч, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени затратит пешеход на тот же путь, если его скорость будет 4,5 км/ч

Решение

Скорость и время — обратно пропорциональные величины. При увеличении скорости в несколько раз, время движения уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее по сколько раз увеличилась скорость движения пешехода:

Запишем отношение, показывающее что время движения уменьшилось во столько же раз:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдём значение x

Ответ: пешеход затратит 2 часа если будет двигаться со скорость 4,5 км/ч.

Задача 6. Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц 230 станков. Сколько станков должен был выпустить за месяц завод по плану?

Решение

Выражение «перевыполнили план на 15%» означает, что к имеющемуся 100% плану выполнили еще 15% того же плана. Итого выполнено 115% плана. На эти 115% приходятся 230 выпущенных станков

А по плану завод должен был выпустить x станков. Эти x станков приходятся на 100% изначального плана

Составим пропорцию из имеющихся отношений и найдём значение x

Либо можно воспользоваться отношениями одноименных величин. Количество выпущенных станков и процентная доля, на которые эти станки приходятся, связаны прямо пропорциональной зависимостью. При увеличении количества станков в несколько раз, процентная доля увеличивается во столько же раз. Тогда можно записать, что 230 станков во столько раз больше, чем x станков, во сколько раз больше 115%, чем 100%

Ответ: по плану завод должен был выпустить 200 станков.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Решение задач с помощью уравнений

Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.

Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем путем логических рассуждений составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.

Запись выражений, содержащих неизвестное

Решение задачи сопровождается составлением уравнения к этой задаче. На начальном этапе изучения задач желательно научиться составлять буквенные выражения, описывающие ту или иную жизненную ситуацию. Этот этап не является сложным и его можно изучать в процессе решения самой задачи.

Рассмотрим несколько ситуаций, которые можно записать с помощью математического выражения.

Задача 1. Возраст отца x лет. Мама на два года младше. Сын младше отца в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

возраст отца мамы и сына таблица 1


Задача 2. Возраст отца x лет, мама на 2 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

возраст отца мамы сына и дочери таблица 2


Задача 3. Возраст отца x лет, мама на 3 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Сколько лет каждому, если общий возраст отца, мамы, сына и дочери составляет 92 года?

Решение:

В данной задаче помимо записи выражений, необходимо вычислить возраст каждого члена семьи.

Сначала запишем возраст каждого члена семьи с помощью выражений. За переменную x примем возраст отца, и далее пользуясь этой переменной составим остальные выражения:

возраст отца мамы сына и дочери таблица 3

Теперь определим возраст каждого члена семьи. Для этого нам нужно составить и решить уравнение. Все компоненты уравнения у нас уже готовы. Осталось только собрать их воедино.

Общий возраст в 92 года получился путем сложения возрастов папы, мамы, сына и дочери:

возраст отца мамы сына и дочери рисунок 1

Для каждого возраста мы составили математическое выражение. Эти выражения и будут компонентами нашего уравнения. Давайте соберем наше уравнение согласно данной схеме и таблице, которая была приведена выше. То есть, слова папа, мама, сын, дочь заменим на соответствующее им в таблице выражение:

возраст отца мамы сына и дочери уравнение 1

Выражение, отвечающее за возраст мамы x − 3, для наглядности было взято в скобки.

Теперь решим получившееся уравнение. Для начала можно раскрыть скобки там, где это можно:

возраст отца мамы сына и дочери уравнение 2

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части на 3

возраст отца мамы сына и дочери уравнение 3

Решим получившееся уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

возраст отца мамы сына и дочери уравнение 4

Мы нашли значение переменной x. Эта переменная отвечала за возраст отца. Значит возраст отца составляет 36 лет.

Зная возраст отца, можно вычислить возрасты остальных членов семьи. Для этого нужно подставить значение переменной x в те выражения, которые отвечают за возраст конкретного члена семьи.

В задаче было сказано, что мама на 3 года младше отца. Ее возраст мы обозначили через выражение x−3. Значение переменной x теперь известно, и чтобы вычислить возраст мамы, нужно в выражении x − 3 вместо x подставить найденное значение 36

x − 3 = 36 − 3 = 33 года маме.

Аналогично определяется возраст остальных членов семьи:

возраст отца мамы сына и дочери таблица 4

возраст отца мамы сына и дочери уравнение 5

Проверка:

возраст отца мамы сына и дочери проверка 1


Задача 4. Килограмм яблок стоит x рублей. Запишите выражение, вычисляющее сколько килограмм яблок можно купить на 300 рублей.

Решение

Если килограмм яблок стоит x рублей, то на 300 рублей можно купить 300 na x килограмм яблок.

Пример. Килограмм яблок стоит 50 рублей. Тогда на 300 рублей можно купить 300 na 50, то есть 6 килограмм яблок.


Задача 5. На x рублей было куплено 5 кг яблок. Запишите выражение, вычисляющее сколько рублей стоит один килограмм яблок.

Решение

Если за 5 кг яблок было уплачено x рублей, то один килограмм будет стоит x na 5 рублей

Пример. За 300 рублей было куплено 5 кг яблок. Тогда один килограмм яблок будет стоит 300 na 5, то есть 60 рублей.


Задача 6. Том, Джон и Лео на перемене пошли в столовую и купили по бутерброду и по кружке кофе. Бутерброд стоит x рублей, а кружка кофе — 15 рублей. Определите стоимость бутерброда, если известно, что за всё было уплачено 120 рублей?

Решение

Конечно, данная задача проста как три копейки и ее можно решить не прибегая к уравнению. Для этого из 120 рублей нужно вычесть стоимость трех кружек кофе (15 × 3), и полученный результат разделить на 3

стоимость бутерброжов и кофе простое решение

Но наша цель — составить уравнение к задаче и решить это уравнение. Итак, стоимость бутерброда x рублей. Куплено их всего три. Значит увеличив стоимость в три раза, мы получим выражение описывающее сколько рублей было уплачено за три бутерброда

3x — стоимость трех бутербродов

А стоимость трех кружек кофе можно записать как 15 × 3. 15 это стоимость одной кружки кофе, а 3 множитель (Том,  Джон и Лео), увеличивающий эту стоимость в три раза.

По условию задачи за все уплачено 120 рублей. У нас уже появляется примерная схема, что нужно делать:

стоимость бутербродов и кофе схема

Выражения, описывающие стоимость трех бутербродов и трех кружек кофе, у нас уже готовы. Это выражения 3x и 15 × 3. Пользуясь схемой составим уравнение и решим его:

стоимость бутерброжов и кофе решение к задаче

Итак, стоимость одного бутерброда составляет 25 рублей.

Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.

Также необходимо помнить, что уравнение это равенство, после решения которого левая часть должна будет равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.

Представим, что уравнение это весы с двумя чашами и экраном, показывающим состояние весов.

весы

В данный момент экран показывает знак равенства. Понятно почему левая чаша равна правой чаше — на чашах ничего нет. Состояние весов и отсутствие на чашах чего-либо запишем с помощью следующего равенства:

0 = 0

Положим на левую чашу весов арбуз:

весы арбуз на левой чаше

Левая чаша перевесила правую чашу и экран забил тревогу, показав знак не равно ( ≠ ). Этот знак говорит о том, что левая чаша не равна правой чаше.

Теперь попробуем решить задачу. Пусть требуется узнать сколько весит арбуз, который лежит на левой чаше. Но как это узнать? Ведь наши весы предназначены только для проверки равна ли левая чаша правой.

На помощь приходят уравнения. Вспомним, что уравнение по определению есть равенство, содержащее в себе переменную значение которой требуется найти. Весы в данном случае играют роль этого самого уравнения, а масса арбуза это переменная, значение которой нужно найти. Наша цель правильно составить это уравнение. Понимай, выровнять весы так, чтобы можно было вычислить массу арбуза.

Чтобы выровнять весы, на правую чашу можно положить какой-нибудь тяжелый предмет. Например, положим туда гирю массой 7 кг.

весы арбуз на левой чаше а на правой чаше гиря 7 кг

Теперь наоборот правая чаша перевесила левую. Экран по прежнему показывает, что чаши не равны.

Попробуем на левую чашу положить гирю массой 4 кг

весы арбуз на левой чаше и гиря 4 кг а на правой чаше гиря 7 кг

Теперь весы выровнялись. На рисунке видно, что левая чаша на уровне правой чаши. А экран показывает знак равенства. Этот знак говорит о том, что левая чаша равна правой чаше.

Таким образом мы получили уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Левая чаша — это левая часть уравнения, состоящая из компонентов 4 и переменной x (массы арбуза), а правая чаша — это правая часть уравнения, состоящая из компонента 7.

весы арбуз на левой чаше и гиря 4 кг а на правой чаше гиря 7 кг

Ну и нетрудно догадаться, что корень уравнения 4 + x = 7 равен 3. Значит масса арбуза равна 3 кг.

Аналогично дела обстоят и с другими задачами. Чтобы найти какое-нибудь неизвестное значение, к левой или к правой части уравнения добавляют различные элементы: слагаемые, множители, выражения. В школьных задачах эти элементы бывают уже даны. Остается только правильно структурировать их и построить уравнение. Мы же в данном примере занимались подбором, пробуя гири разной массы, чтобы вычислить массу арбуза.

Естественно, те данные которые даны в задаче сначала нужно привести к виду, при котором их можно включить в уравнение. Поэтому, как говорят «хочешь не хочешь, а думать придётся».

Рассмотрим следующую задачу. Возраст отца равен возрасту сына и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на двадцать лет моложе отца. Сколько лет каждому?

Возраст дочери можно обозначить через x. Если сын вдвое старше дочери, то его возраст будет обозначаться как 2x. В условии задачи сказано, что вместе возраст дочери и сына равен возрасту отца. Значит возраст отца будет обозначаться суммой x + 2x

весы возраст отца и сына и дочери таблица

В выражении x plus 2x можно привести подобные слагаемые. Тогда возраст отца будет обозначаться как 3x

Теперь составим уравнение. Нам нужно получить равенство в котором можно найти неизвестное x. Воспользуемся весами. На левую чашу положим возраст отца (3x), а на правую чашу возраст сына (2x)

весы возраст отца и сына

Понятно почему левая чаша перевесила правую и почему экран показывает знак ( ≠ ). Ведь логично, что возраст отца больше возраста сына.

Но нам нужно уравнять весы, чтобы можно было вычислить неизвестное x. Для этого к правой чаше нужно прибавить какое-нибудь число. Какое именно число указано в задаче. В условии было сказано, что сын моложе отца на 20 лет. Значит 20 лет это то самое число, которое нужно положить на весы.

Весы выровняться, если мы эти 20 лет добавим на правую чашу весов. Иными словами, вырастим сына до возраста отца

весы возраст отца и сына плюс 20 лет на левой чаше

Теперь весы выровнялись. Получилось уравнение 3x ravno 2x plus 20, которое решается легко:

2x + 20 = 3x решение

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили возраст дочери. Теперь мы нашли значение этой переменной. Дочери 20 лет.

Далее было сказано, что сын двое старше дочери, значит сыну (20 × 2), то есть 40 лет.

Ну и наконец вычислим возраст отца. В задаче было сказано, что он равен сумме возрастов сына и дочери, то есть (20 + 40) лет.

2x + 20 = 3x решение таблица

Вернемся к середине задачи и обратим внимание на один момент. Когда мы положили на весы возраст отца и возраст сына, левая чаша перевесила правую

весы возраст отца и сына

Но мы решили эту проблему, добавив на правую чашу еще 20 лет. В результате весы выровнялись и мы получили равенство 3x ravno 2x plus 20

Но можно было не добавлять к правой чаше эти 20 лет, а вычесть их из левой. Мы получили бы равенство и в таком случае

весы возраст отца и сына минус 20 лет на другой чаше

В этот раз получается уравнение 3x minus 20 ravno 2x. Корень уравнения по прежнему равен 20

3x minus 20 ravno 2x решение

То есть, уравнения 3x ravno 2x plus 20 и 3x minus 20 ravno 2x являются равносильными. А мы помним, что у равносильных уравнений корни совпадают. Если внимательно посмотреть на эти два уравнения, то можно увидеть что второе уравнение получено путем переноса числа 20 из правой части в левую с противоположным знаком. А это действие, как было указано в предыдущем уроке, не меняет корней уравнения.

Также нужно обратить внимание на то, что в начале решения задачи возрасты каждого члена семьи можно было обозначить через другие выражения.

Скажем возраст сына обозначить через x и поскольку он двое старше дочери, то возраст дочери обозначить через x вторых (понимай сделать её младше сына в два раза). А возраст отца поскольку он является суммой возрастов сына и дочери обозначить через выражение x plus x na 2. Ну и напоследок для построения логически правильного уравнения, к возрасту сына нужно  прибавить число 20, ведь отец старше на двадцать лет. В итоге получается совсем другое уравнение x plus 20 ravno x plus x na 2. Решим это уравнение

x plus 20 ravno x plus x na 2 решение

Как видно ответы к задаче не поменялись. Сыну по прежнему 40 лет. Дочери по прежнему сорок вторых лет, а отцу 40 + 20 лет.

Другими словами, задача может решаться различными методами. Поэтому не следует отчаиваться, что не получается решить ту или иную задачу. Но нужно иметь ввиду, что существует наиболее простые пути решения задачи. К центру города можно доехать различными маршрутами, но всегда существует наиболее удобный, быстрый и безопасный маршрут.


Примеры решения задач

Задача 1. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение

Обозначим через x количество тетрадей, которое было в первой пачке. Если всего тетрадей было 30, а переменная x это количество тетрадей из первой пачке, то количество тетрадей во второй пачке будет обозначаться через выражение 30 − x. То есть, от общего количества тетрадей вычитаем количество тетрадей из первой пачки и тем самым получаем количество тетрадей из второй пачки.

таблица количество тетрадей в первой и во второй пачке

Далее сказано, что если переложить 2 тетради из первой пачки во вторую, то в первой пачке окажется вдвое больше тетрадей. Итак, снимем с первой пачки две тетради

количество тетрадей в первой и во второй пачке строим уравнение 2

и добавим эти две тетради во вторую пачку

количество тетрадей в первой и во второй пачке строим уравнение 3

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

таблица 2 количество тетрадей в первой и во второй пачке

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на весы обе пачки тетрадей

весы количество тетрадей в первой и во второй пачке

Левая чаша тяжелее правой. Это потому, что в условии задачи сказано, что после того как из первой пачки взяли две тетради и положили их во вторую, количество тетрадей в первой пачке стало вдвое больше, чем во второй.

Чтобы выровнять весы и получить уравнение, увеличим правую часть вдвое. Для этого умножим её на 2

весы количество тетрадей в первой и во второй пачке рис 2

Получается уравнение x minus 2 ravno 2 na 0 minus x plus 2. Решим данное уравнение:

x minus 2 ravno 2 na 0 minus x plus 2 решение

Первую пачку мы обозначали через переменную x. Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 22. Значит в первой пачке было 22 тетради.

А вторую пачку мы обозначали через выражение 30 − x и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить количество тетрадей во второй пачке. Оно равно 30 − 22, то есть 8 шт.


Задача 2. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а второй — три картофелины. Вместе они очистили 400 шт. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

Решение

Обозначим через x время работы первого человека. Поскольку второй человек проработал на 25 минут больше первого, то его время будет обозначаться через выражение x plus 25

Первый рабочий в минуту очищал 2 картофелины, и поскольку он работал x минут, то всего он очистил 2x картофелин.

Второй человек в минуту очищал три картофелины, и поскольку он работал x plus 25 минут, то всего он очистил 3 na x plus 25 картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин

таблица два человека очистили картофелины

Из имеющихся компонентов составим и решим уравнение. В левой части уравнения будут картофелины, очищенные каждым человеком, а в правой части их сумма:

2x plus 3x plus 75 ravno 400 решение

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили время работы первого человека. Теперь мы нашли значение этой переменной. Первый человек работал 65 минут.

А второй человек работал x plus 25 минут, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить время работы второго человека — оно равно 65 + 25, то есть 90 мин.


Задача из Учебника по алгебре Андрея Петровича Киселева. Из сортов чая составлена смесь в 32 кг. Килограмм первого сорта стоит 8 руб., а второго сорта 6 руб. 50 коп. Сколько килограммов взято того и другого сорта, если килограмм смеси стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 10 коп.?

Решение

Обозначим через x массу чая первого сорта. Тогда масса чая второго сорта будет обозначаться через выражение 32 − x

таблица 1 масса чая первого и второго сорта

Килограмм чая первого сорта стоит 8 руб. Если эти восемь рублей умножить на количество килограмм чая первого сорта, то можно будет узнать во сколько рублей обошлись x кг чая первого сорта.

А килограмм чая второго сорта стоит 6 руб. 50 коп. Если эти 6 руб. 50 коп. умножить на 32 − x, то можно узнать во сколько рублей обошлись 32 − x кг чая второго сорта.

В условии сказано, что килограмм смеси стоит 7 руб. 10 коп. Всего же было приготовлено 32 кг смеси. Умножим 7 руб. 10 коп. на 32 мы сможем узнать сколько стоит 32 кг смеси.

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

таблица 2 стоимость чая первого и второго сорта

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на левую чашу весов стоимость смесей чая первого и второго сорта, а на правую чашу положим стоимость 32 кг смеси, то есть общую стоимость смеси, в составе которой оба сорта чая:

весы стоимость чая первого и второго сорта

Получили уравнение 8x plus 650 na 32 minus x ravno 710 na 32. Решим его:

8x plus 650 na 32 minus x ravno 710 na 32 решение

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили массу чая первого сорта. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 12,8. Значит для приготовления смеси было взято 12,8 кг чая первого сорта.

А через выражение 32 − x мы обозначили массу чая второго сорта и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить массу чая второго сорта. Оно равно 32 − 12,8 то есть 19,2. Значит для приготовления смеси было взято 19,2 кг чая второго сорта.


Задача 3. Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на семь целых одна вторая минут более. Как длинны были дороги?

Решение

Некоторые задачи могут затрагивать темы, которые человек возможно не изучал. Данная задача относится к такому кругу задач. В ней затрагиваются понятия расстояния, скорости и времени. Соответственно, чтобы решить подобную задачу, нужно иметь представление о тех вещах, о которых говорится в задаче. В нашем случае, надо знать что представляет собой расстояние, скорость и время.

В задаче нужно найти расстояния двух дорог. Мы должны составить уравнение, которое позволит вычислить эти расстояния.

Вспомним, как взаимосвязаны расстояние, скорость и время. Каждая из этих величин может быть описана с помощью буквенного уравнения:

расстояние скорость время в картинке

Правую часть одного из этих уравнений мы будем использовать для составления своего уравнения. Чтобы узнать какую именно, нужно вернуться к тексту задачи и поискать за что можно зацепиться

задача на движение велосипедиста текст на картинке

Зацепиться можно за момент, где велосипедист на обратном пути употребил времени на семь целых одна вторая минут более. Эта подсказка указывает нам, что можно воспользоваться уравнением t ravno s na v , а именно его правой частью. Это позволит нам составить уравнение, которое содержит переменную S.

Итак, обозначим длину первой дороги через S. Этот путь велосипедист проехал со скоростью 8 км/ч. Время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением s na 8, поскольку время это отношение пройденного расстояния к скорости

s na 8 картинка

Обратная дорога для велосипедиста была длиннее на 3 км. Поэтому её расстояние будет обозначаться через выражение + 3. Эту дорогу велосипедист проехал со скоростью 9 км/ч. А значит время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением s plus 3 na 9.

s plus 3 na 9 картинка

Теперь составим уравнение из имеющихся выражений

весы два расстояния на чашах

Правая чаша тяжелее левой. Это потому, что в задаче сказано, что на обратную дорогу велосипедист затратил времени на семь целых одна вторая больше.

Чтобы уравнять весы прибавим к левой части эти самые семь целых одна вторая минут. Но сначала переведем минуты в часы, поскольку в задаче скорость измеряется в километрах в час, а не в метрах в минуту.

Чтобы семь целых одна вторая минут перевести в часы, нужно разделить их на 6075 разделить на 60 решение в дробном виде

семь целых одна вторая минут составляют одна восьмая2 часа. Прибавляем эти одна восьмая2 часа к левой части уравнения:

весы два расстояния на чашах равенство

Получается уравнение s na 8 plus 1 na 8 ravno s plus 3 na 9 . Решим данное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, обе части части можно умножить на 72. Далее пользуясь известными тождественными преобразованиями, найдем значение переменной S

s na 8 plus 1 na 8 ravno s plus 3 na 9 решение

Через переменную S мы обозначали расстояние первой дороги. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная S равна 15. Значит расстояние первой дороги составляет 15 км.

А расстояние второй дороги мы обозначили через выражение + 3, и поскольку значение переменной S теперь известно, то можно вычислить расстояние второй дороги. Это расстояние равно сумме 15 + 3, то есть 18 км.


Задача 4. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Решение

Обозначим через v скорость каждой машины. Далее в задаче приводятся подсказки: скорость первой машины увеличить на 10 км/ч, а скорость второй — уменьшить на 10 км/ч. Воспользуемся этой подсказкой

v plus 10 v minus 10

Далее говорится, что при таких скоростях (увеличенных и уменьшенных на 10 км/ч) первая машина пройдет за 2 часа столько же расстояния сколько вторая за 3 часа. Фразу «столько же» можно понимать как «расстояние, пройденное первой машиной, будет равно расстоянию, пройденному второй машиной».

Расстояние как мы помним, определяется по формуле формула расстояние для вставки в строку. Нас интересует правая часть этого буквенного уравнения — она позволит нам составить уравнение, содержащее переменную v.

Итак, при скорости v + 10 км/ч первая машина пройдет 2(v+10) км, а вторая пройдет 3(v − 10) км. При таком условии машины пройдут одинаковые расстояния, поэтому для получения уравнения достаточно соединить эта два выражения знаком равенства. Тогда получим уравнение 2v plus 20 ravno 3v minus 30. Решим его:

2v plus 20 ravno 3v minus 30 step 1

В условии задачи было сказано, что машины идут с одинаковой скоростью. Мы обозначили эту скорость через переменную v. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная v равна 50. Значит скорость обеих машин составляла 50 км/ч.


Задача 5. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

Обозначим через v собственную скорость теплохода. Скорость течения реки равна 2 км/ч. По течению реки скорость теплохода будет составлять v + 2 км/ч, а против течения — (v − 2) км/ч.

В условии задачи сказано, что за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Фразу «тот же путь» можно понимать как «расстояние, пройденное теплоходом по течению реки за 9 часов, равно расстоянию, пройденному теплоходом против течения реки за 11 часов». То есть, расстояния будут одинаковыми.

Расстояние определяется по формуле формула расстояние для вставки в строку. Воспользуемся правой частью этого буквенного уравнения для составления своего уравнения.

Итак, за 9 часов по течению реки теплоход пройдет 9(v + 2) км, а за 11 часов против течения — 11(v − 2) км. Поскольку оба выражения описывают одно и то же расстояние, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 9v plus 18 ravno 11v minus 22. Решим его:

9v plus 18 ravno 11v minus 22 решение

Значит собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

При решении задач полезной привычкой является заранее определить на каком множестве ищется для неё решение.

Допустим, что в задаче требовалось найти время, за которое пешеход преодолеет указанный путь. Мы обозначили время через переменную t, далее составили уравнение, содержащее эту переменную и нашли её значение.

Из практики мы знаем, что время движения объекта может принимать как целые значения, так и дробные, например 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч. Тогда можно сказать, что решение данной задачи ищется на множестве рациональных чисел Q, поскольку каждое из значений 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч может быть представлено в виде дроби.

Поэтому после того, как неизвестную величину обозначили через переменную, полезно указать к какому множеству эта величина принадлежит. В нашем примере время t принадлежит множеству рациональных чисел Q

tQ

Ещё можно ввести ограничение для переменной t, указав что она может принимать только положительные значения. Действительно, если объект затратил на путь определенное время, то это время не может быть отрицательным. Поэтому рядом с выражением ∈ Q укажем, что её значение должно быть больше нуля:

∈ R, t > 0

Если решив уравнение, мы получим отрицательное значение для переменной t, то можно будет сделать вывод, что задача решена неправильно, поскольку это решение не будет удовлетворять условию ∈ Q, > 0.

Ещё пример. Если бы мы решали задачу в которой требовалось найти количество человек для выполнения той или иной работы, то это количество мы обозначили бы через переменную x. В такой задаче решение искалось бы на множестве натуральных чисел

x ∈ N

Действительно, количество человек является целым числом, например 2 человека, 3 человека, 5 человек. Но никак не 1,5 (один целый человек и половина человека) или 2,3 (два целых человека и еще три десятых человека).

Здесь можно было бы указать, что количество человек должно быть больше нуля, но числа входящие во множество натуральных чисел N сами по себе являются положительными и большими нуля. В этом множестве нет отрицательных чисел и числа 0. Поэтому выражение x > 0 можно не писать.


Задача 6. Для ремонта школы прибыла бригада в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально

Решение

Обозначим через x плотников, прибывших на ремонт первоначально.

Количество плотников является целым числом, большим нуля. Поэтому укажем, что x принадлежит множество натуральных чисел

N

Маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Поэтому количество маляров будет обозначаться как 2,5x.

количество плотников x и количество маляров больших в два с половиной раза

Далее говорится, что прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. Сделаем для своих выражений тоже самое. Уменьшим количество плотников на 2

кол-во плотников уменьшено на 2

А количество маляров увеличим на 4

кол-во плотников увеличено на 4

Теперь количество плотников и маляров будут обозначаться через следующие выражения:

таблица новое количество плотников и маляров

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений:

весы количество плотников и маляров

Правая чаша больше, поскольку после включения в бригаду ещё четырёх маляров, и перемещения двух плотников на другой объект, количество маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Чтобы уравнять весы, нужно левую чашу увеличить в 4 раза:

весы количество плотников и маляров равные чаши

Получили уравнение 4x minus 8 ravno 25x plus 4. Решим его:

4x minus 8 ravno 25x plus 4 решение

Через переменную x было обозначено первоначальное количество плотников. Теперь мы нашли значение этой переменной.  Переменная x равна 8. Значит 8 плотников было в бригаде первоначально.

А количество маляров было обозначено через выражение 2,5x и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить количество маляров — оно равно 2,5 × 8, то есть 20.

Возвращаемся к началу задачи и удостоверяемся, что соблюдается условие ∈ N. Переменная x равна 8, а элементы множества натуральных чисел N это все числа, начинающиеся с 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. В это же множество входит число 8, которое мы нашли.

N

Тоже самое можно сказать о количестве маляров. Число 20 принадлежит множеству натуральных чисел:

20  N


Для понимания сути задачи и правильного составления уравнения, вовсе необязательно использовать модель весов с чашами. Можно использовать и другие модели: отрезки, таблицы, схемы. Можно придумать свою модель, которая хорошо описывала бы суть задачи.

Задача 9. Из бидона отлили 30% молока. В результате в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Решение

Искомое значение это первоначальное число литров в бидоне. Изобразим число литров в виде линии и подпишем эту линию как X

x литров в бидоне рисунок 1

Сказано, что из бидона отлили 30% молока. Выделим на рисунке приблизительно 30%

x литров в бидоне рисунок 2

Процент по определению есть одна сотая часть чего-то. Если 30% молока отлили, то остальные 70% остались в бидоне. На эти 70% приходятся 14 литров, указанные в задаче. Выделим на рисунке оставшиеся 70%

x литров в бидоне рисунок 3

Теперь можно составить уравнение. Вспомним, как находить процент от числа. Для этого общее количество чего-то делят на 100 и полученный результат умножают на искомое количество процентов. Замечаем, что 14 литров, составляющих 70% можно получить таким же образом: первоначальное число литров X разделить на 100 и полученный результат умножить на 70. Всё это приравнять к числу 14

x na 100 na 70 ravno 14

Или получить более простое уравнение: 70% записать как 0,70, затем умножить на X и приравнять это выражение к 14

x na 100 na 70 ravno 14 в другом виде решение

Значит первоначально в бидоне было 20 литров молока.


Задача 9. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1 : 9, а в другом 2 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1 : 4?

Решение

Попробуем сначала узнать сколько золота и серебра будет содержаться в 15 кг нового сплава. В задаче сказано, что содержание этих металлов должно быть в отношении 1 : 4, то есть на одну часть сплава должно приходиться золото, а на четыре части — серебро. Тогда всего частей в сплаве будет 1 + 4 = 5, а масса одной части будет 15 : 5 = 3 кг.

Определим сколько золота будет содержаться в 15 кг сплава. Для этого 3 кг умножим на количество частей золота:

3 кг × 1 = 3 кг

Определим сколько серебра будет содержаться в 15 кг сплава:

3 кг × 4 = 12 кг

Значит сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота и 12 кг серебра. Теперь вернёмся к исходным сплавам. Использовать нужно каждый из них. Обозначим через x массу первого сплава, а массу второго сплава можно обозначить через 15 − x

табличка x и 15 minus x

Выразим в процентах все отношения, которые даны в задаче и заполним ими следующую таблицу:

таблица три сплава рисунок 1

В первом сплаве золото и серебро находятся в отношении 1 : 9. Тогда всего частей будет 1 + 9 = 10. Из них золота будет 1 на 10 в процентах, а серебра 9 на 10 в процентах.

Перенесём эти данные в таблицу. 10% занесём в первую строку в графу «процент золота в сплаве», 90% также занесём в первую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём переменную x, поскольку так мы обозначили массу первого сплава:

таблица три сплава рисунок 2

Аналогично поступаем со вторым сплавом. Золото и серебро в нём находятся в отношении 2 : 3. Тогда всего частей будет 2 + 3 = 5. Из них золота будет 2 на 5 в процентах, а серебра 3 на 5 в процентах.

Перенесём эти данные в таблицу. 40% занесем во вторую строку в графу «процент золота в сплаве», 60% также занесём во вторую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём выражение 15 − x, поскольку так мы обозначили массу второго сплава:

таблица три сплава рисунок 3

Заполним последнюю строку. Полученный сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота, что составляет 3 на 15 в процентах сплава, а серебра будет 12 на 15 в процентах сплава. В последнюю графу записываем массу полученного сплава 15

таблица три сплава рисунок 4

Теперь по данной таблице можно составить уравнения. Вспоминаем задачи на концентрацию, сплавы и смеси. Если мы отдельно сложим золото обоих сплавов и приравняем эту сумму к массе золота полученного сплава, то сможем узнать чему равно значение x.

Далее для удобства проценты будем выражать в десятичной дроби.

В первом сплаве золота было 0,10x, а во втором сплаве золота было 0,40(15 − x). Тогда в полученном сплаве масса золота будет суммой масс золота первого и второго сплавов и эта масса составляет 20% от нового сплава. А 20% от  нового сплава это 3 кг золота, вычисленные нами ранее. В результате получаем уравнение 0,10+ 0.40(15 − x) = 3. Решим это уравнение:

010x plus 040 na 15 - x ravno 3 решение

Изначально через x мы обозначили массу первого сплава. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 10. А массу второго сплава мы обозначили через 15 − x, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить массу второго сплава, она равна 15 − 10 = 5 кг.

Значит для получения нового сплава массой 15 кг в котором золото и серебро относились бы как 1 : 4, нужно взять 10 кг первого и 5 кг второго сплава.

Уравнение можно было составить, воспользовавшись и вторым столбцом получившейся таблицы. Тогда мы получили бы уравнение 0,90+ 0.60(15 − x) = 12. Корень этого уравнения тоже равен 10

090x plus 060 na 15 minus x ravno 12 решение


Задача 10. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько надо взять бедной руды, чтобы получить при смешивании с богатой 20 тонн с содержанием меди 8%?

Решение

Обозначим через x массу бедной руды. Поскольку нужно получить 20 тонн руды, то богатой руды будет взято 20 − x. Поскольку содержание меди в бедной руде составляет 6%, то в x тоннах руды будет содержаться 0,06тонн меди. В богатой руде содержание меди составляет 11%, а в 20 − тоннах богатой руды будет содержаться 0,11(20 − x) тонн меди.

В получившихся 20 тоннах руды содержание меди должно составлять 8%. Значит в 20 тоннах руды меди будет содержаться 20 × 0,08 = 1,6 тонн.

Сложим выражения 0,06x и 0,11(20 − x) и приравняем эту сумму к 1,6. Получим уравнение  0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

006x plus 011 na 20 minus x ravno 16 рисунок

Решим данное уравнение:

006x plus 011 na 20 minus x ravno 16 решение

Значит для получения 20 тонн руды с содержанием меди 8%, нужно взять 12 тонн бедной руды. Богатой же будет взято 20 − 12 = 8 тонн.


Задача 11. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Решение

Длину дистанции (или расстояние дистанции) можно описать следующим буквенным уравнением:

дистанция формула рисунок к задаче

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения. Изначально спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 250t

Затем спортсменка увеличила свою скорость до 300 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 300t

Заметим, что длина дистанции это величина постоянная. От того, что спортсменка увеличит скорость или уменьшит её, длина дистанции останется неизменной.

Это позволяет нам приравнять выражение 250t к выражению 300t, поскольку оба выражения описывают длину одной и той же дистанции

250t = 300t

Но в задаче сказано, что при скорости 300 метров в минуту спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Другими словами, при скорости 300 метров в минуту, время движения уменьшится на единицу. Поэтому в уравнении 250= 300t в правой части время нужно уменьшить на единицу:

250t ravno 300 t - 1 решение

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

250t ravno 300 t - 1 решение полное

При скорости 250 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за 6 минут. Зная скорость и время, можно определить длину дистанции:

S = 250 × 6 = 1500 м

А при скорости 300 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за − 1, то есть за 5 минут. Как было сказано ранее длина дистанции не меняется:

= 300 × 5 = 1500 м


Задача 12. Всадник догоняет пешехода, находящегося впереди него на 15 км. Через сколько часов всадник догонит пешехода, если каждый час первый проезжает по 10 км, а второй проходит только по 4 км?

Решение

Данная задача является задачей на движение. Её можно решить, определив скорость сближения и разделив изначальное расстояние между всадником и пешеходом на эту скорость.

Скорость сближения определяется вычитанием меньшей скорости из большей:

10 км/ч − 4 км/ч = 6 км/ч (скорость сближения)

С каждым часом расстояние в 15 километров будут сокращаться на 6 км. Чтобы узнать, когда оно сократится полностью (когда всадник догонит пешехода), нужно 15 разделить на 6

15 : 6 = 2,5 ч

2,5 ч это два целых часа и половина часа. А половина часа это 30 минут. Значит всадник догонит пешехода через 2 часа 30 минут.

всадник догоняет пешехода рисунок 1

Решим эту задачу с помощью уравнения.

Будем считать, что пешеход и всадник вышли в путь из одного и того же места. Пешеход вышел раньше всадника и успел преодолеть 15 км

всадник догоняет пешехода рисунок 2

После этого вслед за ним в путь вышел всадник со скоростью 10 км/ч. А скорость пешехода составляет только 4 км/ч. Это значит, что всадник через некоторое время догонит пешехода. Это время нам нужно найти.

Когда всадник догонит пешехода это будет означать, что они вместе прошли одинаковое расстояние. Расстояние, пройденное всадником и пешеходом описывается следующим уравнением:

дистанция формула рисунок к задаче

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения.

Расстояние, пройденное всадником, будет описываться выражением 10t. Поскольку пешеход вышел в путь раньше всадника и успел преодолеть 15 км, то расстояние пройденное им будет описываться выражением 4t + 15.

На момент, когда всадник догонит пешехода, оба они пройдут одинаковое расстояние. Это позволяет нам приравнять расстояния, пройденные всадником и пешеходом:

10t ravno 4t plus 15

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

10t ravno 4t plus 15 решение


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Из одного города в другой пассажирский поезд приезжает на 45 мин быстрее товарного. Вычисли расстояние между городами, если скорость пассажирского поезда 48 км/ч, а товарного 36 км/ч.

Решение

Скорости поездов в данной задаче измеряются в километрах в час. Поэтому 45 мин, указанные в задаче, переведем в часы. 45 мин это 0,75 ч

Обозначим время, за которое товарный поезд приезжает в город, через переменную t. Поскольку пассажирский поезд приезжает в этот город на 0,75 ч быстрее, то время его движения будет обозначаться через выражение t − 0,75

Пассажирский поезд преодолел 48(t − 0.75) км, а товарный 36t км. Поскольку речь идет об одном и том же расстоянии, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 48(t − 0.75) = 36t. Решим его:

Теперь вычислим расстояние между городами. Для этого скорость товарного поезда (36 км/ч) умножим на время его движения t. Значение переменной t теперь известно — оно равно трём часам

36 × 3 = 108 км

Для вычисления расстояния можно воспользоваться и скоростью пассажирского поезда. Но в этом случае значение переменной t необходимо уменьшить на 0,75 поскольку пассажирский поезд затратил времени на 0,75 ч меньше

48 × (3 − 0,75) = 144 − 36 = 108 км

Ответ: расстояние между городами равно 108 км.

Задача 2. Из двух городов, расстояние между которыми 150 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного автомобиля 65 км/ч, а второго 60 км/ч. Через сколько часов они встретились?

Решение

Пусть t время через которое автомобили встретились. Тогда первый автомобиль на момент встречи проедет 65t км, а второй 60t км. Сложим эти расстояния и приравняем к 150. Получим уравнение 65+ 60= 150

Значение переменной t равно 1,2. Значит автомобили встретились через 1,2 часа.

Ответ: автомобили встретились через 1,2 часа.

Задача 3. В трех цехах завода всего 685 рабочих. Во втором цехе рабочих в три раза больше, чем в первом, а в третьем — на 15 рабочих меньше, чем во втором цехе. Сколько рабочих в каждом цехе?

Решение

Пусть x рабочих было в первом цехе. Во втором цехе было в три раза больше, чем в первом, поэтому количество рабочих во втором цехе можно обозначить через выражение 3x. В третьем цехе было на 15 рабочих меньше, чем во втором. Поэтому количество рабочих в третьем цехе можно обозначить через выражение 3x − 15.

В задаче сказано, что всего рабочих было 685. Поэтому можно сложить выражения x, 3x, 3x − 15 и приравнять эту сумму к числу 685. В результате получим уравнение x + 3x + (3x − 15) = 685

Через переменную x было обозначено количество рабочих в первом цехе. Теперь мы нашли значение этой переменной, оно равно 100. Значит в первом цехе было 100 рабочих.

Во втором цехе было 3x рабочих, то есть 3 × 100 = 300. А в третьем цехе было 3x − 15, то есть 3 × 100 − 15 = 285

Ответ: в первом цехе было 100 рабочих, во втором — 300, в третьем — 285.

Задача 4. Две ремонтные мастерские в течение недели должны отремонтировать по плану 18 моторов. Первая мастерская выполнила план на 120%, а вторая — на 125%, поэтому в течение недели отремонтировали 22 мотора. Какой план по ремонту моторов на неделю имела каждая мастерская?

Решение

Пусть x моторов должна была отремонтировать первая мастерская. Тогда вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − x моторов.

Поскольку первая мастерская выполнила свой план на 120%, это означает что она отремонтировала 1,2x моторов . А вторая мастерская выполнила свой план на 125%, значит она отремонтировала 1,25(18 − x) моторов.

В задаче сказано, что было отремонтировано 22 мотора. Поэтому можно сложить выражения 1,2x и 1,25(18 − x) , затем приравнять эту сумму к числу 22. В результате получим уравнение 1,2x +  1,25(18 − x22

Через переменную x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать первая мастерская. Теперь мы нашли значение этой переменной, она равна 10. Значит первая мастерская должны была отремонтировать 10 моторов.

А через выражение 18 − x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать вторая мастерская. Значит вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − 10 = 8 моторов.

Ответ: первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов, а вторая — 8 моторов.

Задача 5. Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 руб. Сколько стоил товар до повышения цены?

Решение

Пусть x рублей стоил товар до повышения цены. Если цена увеличилась на 30% это означает, что она увеличилась на 0,30x рублей. После повышения цены товар начал стоить 91 руб. Сложим x с 0,30x и приравняем эту сумму к 91. В результате получим уравнение + 0.30= 91

Значит до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Ответ: до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Задача 6. Число увеличили на 25%. На сколько процентов надо уменьшить новое число, чтобы получилось исходное?

Решение

Пусть x — исходное число. Увеличим его на 25%. Получим выражение x + 0,25x. Приведем подобные слагаемые, получим x + 0,25x = 1.25x.

Узнаем какую часть исходное число x составляет от нового числа 1,25x

Если новое число 1,25x считать за 100%, а исходное число x составляет от него 80%, то уменьшив новое число на 20% можно получить исходное число x

Ответ: чтобы получить исходное число, новое число нужно уменьшить на 20%.

Задача 7. При увеличении числа на 20% получилось 144. Найти первоначальное значение числа.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Увеличим его на 20%. Получим выражение x + 0,20x. Приравняем эту сумму к числу 144, получим уравнение x + 0,20= 144

Ответ: первоначальное значение числа равно 120.

Задача 8. При уменьшении числа на 10% получилось 45. Найти первоначальное значение числа.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Уменьшим его на 10%. Получим выражение x − 0,10x. Приравняем эту разность к числу 45, получим уравнение x − 0,10x = 45

Ответ: первоначальное значение числа равно 50.

Задача 9. Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 руб. Новая цена альбома после двух снижений 19 руб. Определить его первоначальную цену.

Решение

Пусть x рублей — первоначальная цена альбома. Снизим эту цену на 15%, получим x − 0,15x. Снизим цену ещё на 15 руб., получим x − 0,15x − 15. После этих снижений альбом стал стоить 19 руб. Приравняем выражение x − 0,15x − 15 к числу 19, получим уравнение x − 0,15x − 15 = 19

Ответ: первоначальная цена альбома составляет 40 руб.

Задача 10. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы получить 4 т сена?

Решение

Если 80% массы теряется, то на оставшиеся 20% будут приходиться 4 т сена. Пусть x тонн травы требуется для получения 4 т сена. Если 4 т будут составлять 20% травы, то можно составить уравнение:

Ответ: для получения 4 т сена, нужно накосить 20 т травы.

Задача 11. Сколько килограммов 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора, чтобы получить 12%-й раствор соли?

Решение

Пусть x кг 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора.

В 1 кг 10%-го раствора соли содержится 0,1 кг соли. А в x кг 20%-го раствора соли содержится 0,20кг соли.

После добавления x кг 20%-го раствора в новом растворе будет содержаться 0,12(1 + x) кг соли. Сложим выражения 0,1 и 0,20x, затем приравняем эту сумму к выражению 0,12(1 + x). В результате получим уравнение  0,1 + 0,20x = 0,12(1 + x)

Ответ: чтобы получить 12%-й раствор соли, нужно к 1 кг 10%-го раствора добавить 0,25 кг 20%-го раствора.

Задача 12. Даны два раствора соли в воде, концентрации которых равны 20% и 30%. Сколько килограммов каждого раствора нужно смешать в одном сосуде, чтобы получить 25 кг 25,2%-го раствора?

Решение

Пусть x кг первого раствора нужно взять. Поскольку требуется приготовить 25 кг раствора, то массу второго раствора можно обозначить через выражение 25 − x.

В первом растворе будет содержаться 0,20x кг соли, а втором — 0,30(25 − x) кг соли. В полученном растворе содержание соли будет 25 × 0,252 = 6,3 кг. Сложим выражения 0,20x и 0,30(25 − x), затем приравняем эту сумму к 6,3. В результате получим уравнение

Значит первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 25 − 12 = 13 кг.

Ответ: первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 13 кг.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 2 + 2 = 4 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 4 = 4.

А вот равенство 2 + x = 4 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 2 + x = 4 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдаться не будет

2 plus x ravno 4 решение

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 2 + x = 4

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит само за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.


Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть, знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2


Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6


Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

три равно шесть вторых

Вернем получившееся равенство три равно шесть вторых в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

2 равно шесть третьих


Пример 4. Рассмотрим равенство пятнадцать пятых равно три

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

пятнадцать пятых равно три

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

пять равно пятнадцать третьих


Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

рисунок 8 плюс 2 равно 10

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть, из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

рисунок неизвестное слагаемое

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

рисунок уравнение 8 плюс икс равно десять подставление значения

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8

рисунок уравнение икс плюс 2 равно 10


Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

рисунок уменьшаемое вычитаемое и разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть, сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

неизвестное уменьшаемое вычитаемое и разность

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8


Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

рисунок уменьшаемое неизвестное вычитаемое и разность

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2


Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

рисунок множимое множитель произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

три равно шесть вторых

То есть, разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

рисунок неивестеное множимое множитель и произведение

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

икс равно шесть вторых

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.

рисунок множимое неизвестный множитель и произведение

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

x равно шесть третьих

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства x равно шесть третьих позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

x ravno 18 na 9

Отсюда x ravno 2.

Решим уравнение × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

x ravno 27 na 3

Отсюда x ravno 9.


Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве пятнадцать пятых равно три требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

рисунок делимое делитель частное

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть, умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве пятнадцать пятых равно три вместо числа 15 располагается переменная x

икс третьих равно 3

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

рисунок неизвестное делитель частное

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства пятнадцать пятых равно три. Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 15


Теперь представим, что в равенстве пятнадцать пятых равно три вместо числа 5 располагается переменная x.

пятнадцать на x равно три

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

рисунок делимое неизвестный делитель частное

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства пятнадцать пятых равно три. Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3

икс равно пятнадцать третьих

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  • Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  • Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  • Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  • Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

компоненты сложения рисунок 1


Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

компоненты вычитания рисунок 1


Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

компоненты произведения рисунок 1


Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

компоненты деления рисунок 1

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение 2x plus 4 ravno 8

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

2x + 4 = 8 решить уравнение

При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

2x + 4 = 8 решить уравнение рисунок 2

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

2x plus 4 ravno 8 step 2

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

2x plus 4 ravno 8 step 3

Мы получили новое уравнение 2x plus 4 ravno 8 step 3. Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, — множитель, 4 — произведение

2 множимое x множитель 8 произведение рисунок 1

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

2 множимое x неизвестный множитель 8 произведение рисунок 1

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

x равно четыре вторых

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

2x plus 4 ravno 8 step 4

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение 2x plus 4 ravno 8 и подставим вместо x

уравнение 2x + 4 = 4 проверка

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 3. Решить уравнение 3+ 9+ 16= 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

3x 9x 16x ravno 56 step 2

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

x равно 56 к 28

Отсюда x равен 2

2x plus 4 ravno 8 step 4


Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3+ 9+ 16= 56, а затем в уравнение 28= 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

3x 9x 16x ravno 56 check 1

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

3x 9x 16x ravno 56 check 2

Подставим корень 2 во второе уравнение 28= 56

28x ravno 56 check 1

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3+ 9+ 16= 6 и 28= 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28= 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.


Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение 5x plus 10 ravno 20

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

5x plus 10 ravno 20 step 1

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

5x plus 10 ravno 20 step 2

Получили уравнение 5= 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

x ravno 10 na 5

Отсюда x ravno 2.

Вернемся к исходному уравнению 5x plus 10 ravno 20 и подставим вместо x найденное значение 2

5x plus 10 ravno 20 step 5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 5x plus 10 ravno 20 мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение 5x ravno 10.png. Корень этого уравнения, как и уравнения 5x plus 10 ravno 20 так же равен 2

5x ravno 10 step 2


Пример 2. Решить уравнение 4(+ 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

4x plus 12 ravno 16

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

4x plus 12 ravno 16 step 3

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

4x plus 12 ravno 16 step 4В левой части останется 4x, а в правой части число 4

4x ravno 4

 

 

Получили уравнение 4= 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

x ravno 4 na 4

Отсюда x ravno 1

Вернемся к исходному уравнению 4(+ 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

4naxplus3 ravno 16 решение

 

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(+ 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4= 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(+ 3) = 16 так же равен 1

4x ravno 4 проверка


Пример 3. Решить уравнение 2x minus 8 ravno 1 step 1

Раскроем скобки в левой части равенства:

2x minus 8 ravno 1 step 2

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

2x minus 8 ravno 1 step 3

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

2x minus 8 ravno 1 step 4

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

2x minus 8 ravno 1 step 5

В получившемся уравнении 2= 9 выразим неизвестное слагаемое x

x ravno 9 na 2

 

Отсюда 2x na 2 ravno 9 na 2 step 2

Вернемся к исходному уравнению 2x minus 8 ravno 1 step 1 и подставим вместо x найденное значение 4,5

2x minus 8 ravno 1 check 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 2x minus 8 ravno 1 step 1 мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение 2x minus 8 ravno 1 step 5. Корень этого уравнения, как и уравнения 2x minus 8 ravno 1 step 1 так же равен 4,5

2x ravno 9 check 1


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть, корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

12 plus 3x ravno 9x

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

12 plus 3x ravno 9x step 2

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения 12 plus 3x ravno 9x.

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

equation 12+3x=9x перенос 3x вправо

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

12 ravno plus minus 3 na x

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

equation 12+3x=9x шаг 2

Отсюда = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле, данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частях уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

12 plus 3x ravno 9 step 1

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3= 9x и 3x − 9= −12. В этот раз в уравнении 12 + 3= 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

equation 12+3x=9x шаг 3


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение шаг 1

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение шаг 2

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение шаг 3

В результате останется простейшее уравнение

x plus 8 ravno 12

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

x plus 8 ravno 12 решение

Вернемся к исходному уравнению x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение  и подставим вместо x найденное значение 4

x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение шаг 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение x plus 8 ravno 12. Корень этого уравнения, как и уравнения x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение, мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение шаг 1

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения x+8 на 8 равно 12 на 8 решить уравнение на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

8 umn x plus 8 na 8 ravno 8 umn 12 na 8 решение 2


Пример 2. Решить уравнение x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation

Умножим обе части уравнения на 15

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 2

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 3

Перепишем то, что у нас осталось:

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 4

Раскроем скобки в правой части уравнения:

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 5

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 7

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 8

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 9

Отсюда x ravno 5

Вернемся к исходному уравнению x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation  и подставим вместо найденное значение 5

x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation step 10

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения x+25 na 15 ravno x+5 na 5 equation равен 5. Значит эти уравнения равносильны.


Пример 3. Решить уравнение  2 na 3x ravno 6

Умножим обе части уравнения на 3

3 umn 2 na 3x ravno 3 na 6

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

3 umn 2 na 3x ravno 3 na 6 step 2

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

3 umn 2 na 3x ravno 3 na 6 step 3

Отсюда x ravno 9

Вернемся к исходному уравнению  2 na 3x ravno 6  и подставим вместо найденное значение 9

2 na 3 umn 9 ravno 6 check

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 4. Решить уравнение x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 1

Умножим обе части уравнения на 6

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 2

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 3

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 4

Перепишем то, что у нас осталось:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 5

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 6

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 7

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 8

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

x ravno 28 na 7

Отсюда = 4.

Вернемся к исходному уравнению x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 1 и подставим вместо x найденное значение 4

x plus 11 minus x na 3 ravno 20 minus na 2 step 10

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 5. Решить уравнение 3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 2

Умножим обе части уравнения на 15

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 3

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 4

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 5

Перепишем то, что у нас осталось:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 6

Раскроем скобки там, где это можно:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 7

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 9

Найдём значение x

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 10

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 step 11

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 7 целых 1 на 13

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 check step 1

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 check step 2

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 check step 3

Значение переменной А равно 6 plus 82 na 195. Теперь найдем значение переменной B. То есть, значение правой части нашего равенства. Если и оно равно 6 plus 82 na 195, то уравнение будет решено верно

3x - 4 - 4 na 7x - 9 na 15 ravno 4 na 5 na 6 plus x - 1 na 3 check step 4

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно 6 plus 82 na 195. Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 решение 1

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 проверка 1

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 деление на 2

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 деление на 2 шаг 2

Перепишем то, что у нас осталось:

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 деление на 2 шаг 3

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 деление на 2 шаг 4

Получили корень 2. Значит уравнения 15+ 7+ 7 = 35x − 20+ 21 и 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7= 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

30x plus 14x plus 14 ravno 70x minus 40x plus 42 деление на 2 шаг 5

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.


Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение minus x minus 5 ravno minus 10. Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частях уравнения число 5

minus x minus 5 ranmo minus 10 step 1

Приведем подобные слагаемые:

minus x minus 5 ranmo minus 10 step 2

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения minus x ravno minus 5. Это есть произведение минус единицы и переменной x

minus x ravno minus 1 na x

То есть, минус стоящий перед переменной x относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент принято не записывать. Это означает, что уравнение minus x ravno minus 5 на самом деле выглядит следующим образом:

minus na x ravnio minus 5

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.

x ravno minus 5 na minus 1

или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще

minus 1 na x na minus 1 ravno minus 5 na minus 1

Итак, корень уравнения minus x minus 5 ravno minus 10 равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

-x-5-ranmo-minus-10-step-3

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения minus x minus 5 ravno minus 10 на минус единицу:

minus x minus 5 ravno minus 10 umnojenit na minus 1

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение x plus 5, а правая часть будет равна 10

x plus 5 ravno 10

Корень этого уравнения, как и уравнения minus x minus 5 ravno minus 10 равен 5

x plus 5 ravno 10 check

Значит уравнения minus x minus 5 ravno minus 10 и x plus 5 ravno 10 130px равносильны.


Пример 2. Решить уравнение minus 19 ravno minus 4 minus 3 y

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение minus 19 ravno minus 4 minus 3 y. Для этого умножим обе части данного уравнения на −1.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения  minus 19 ravno minus 4 minus 3 y на −1 можно записать подробно следующим образом:

minus 19 ravno minus 4 minus 3 y step 1

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

19 ravno 4 plus 3y

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения minus 19 ravno minus 4 minus 3 y на −1, мы получили уравнение 19 ravno 4 plus 3y. Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

19 ravno 4 plus 3y решение уравнения

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.


Пример 3. Решить уравнение minus 2x minus 3 ravno minus 3 x plus 1

Умножим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

minus 2x minus 3 ravno minus 3 x plus 1 step 1

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

minus 2x minus 3 ravno minus 3 x plus 1 step 2

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: minus 2x minus 3 ravno minus 3 x plus 1 step 3


Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение 2x plus 3 ravno 80 minus 4x minus x. Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

2x plus 3 ravno 80 minus 4x minus x step 2

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

2x plus 3 ravno 80 minus 4x minus x step 3

Приведем подобные слагаемые в левой части:

2x plus 3 ravno 80 minus 4x minus x step 4

Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7

9x minus 77 plus 77 ravno 0 plus 77 step 5


Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении 2x ravno 10 мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

x ravno 10 na 2 ravno 5

Но если в уравнении 2x ravno 10 обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет  равна 5

x ravno 10 na 2 ravno 5 alter method

Уравнения вида 2x plus 4 ravno 8 мы решали выражая неизвестное слагаемое:

2x plus 4 ravno 8 step 2

2x plus 4 ravno 8 step 3

2x plus 4 ravno 8 step 4

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении 2x plus 4 ravno 8 слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

2x plus 4 ravno 8 step 2

2x plus 4 ravno 8 step 3

Далее разделить обе части на 2

2x na 2 ravno 4 na 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда x ravno 2.

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

2x plus 4 ravno 8 method 3

В случае с уравнениями вида 2x ravno 10 удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

x ravno 10 na 2 ravno 5 alter оба решения

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.


Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.

chech equation x na x plus 9

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов произведения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть, в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0


Пример 2. Решить уравнение x minus 1 na x minus 2 ravno 0

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

1 na 2 minus 1 na 2 ravno 0 step 2

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение x minus 1 na x minus 2 ravno 0 и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

1 na 2 minus 1 na 2 ravno 0 step 3


Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть, подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение 6x minus 2 na x minus 7 ravno 14

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x

6x minus 2 na x minus 7 ravno 14 решение


Пример 2. Решить уравнение 2 na 5x plus 6 ravno 10x plus 12

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x


Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение x plus 2 ravno x не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть 2x plus 4 ravno 8 step 4. Тогда уравнение примет следующий вид

2 plus 2 ravno 2 step 1

Пусть x ravno minus 4


Пример 2. Решить уравнение 2y plus 3 na y minus 2 minus 5 na y minus 3 ravno 0

Раскроем скобки в левой части равенства:

2y plus 3 na y minus 2 minus 5 na y minus 3 ravno 0 step 2

Приведем подобные слагаемые:

2y plus 3 na y minus 2 minus 5 na y minus 3 ravno 0 step 3

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.

2y plus 3 na y minus 2 minus 5 na y minus 3 ravno 0 step 4


Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

формула нахождения скорости

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения формула нахождения скорости определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Умножим обе части уравнения формула нахождения скорости на t

выразить s из v ravno s na t step 1

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

выразить s из v ravno s na t step 2

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

выразить s из v ravno s na t step 3

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения формула нахождения скорости определить время. Для этого нужно выразить переменную t.

Умножим обе части уравнения на t

выразить t из v ravno s na t step 1

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

выразить t из v ravno s na t step 2

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

выразить t из v ravno s na t step 3

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

выразить t из v ravno s na t step 4

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное формула нахождения скорости примет следующий вид

50 равно 100 разделить на t

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

t равно 100 на 50

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

50 на t равно 100 на t на t

Затем разделить обе части на 50

50 на t на 50 равно 100 на 50


Пример 2. Дано буквенное уравнение a plus bx ravno c. Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частям уравнения a

a plus bx ravno c step 2

Разделим обе части уравнения на b

a plus bx ravno c step 3

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

2x plus 4x ravno 10 два решения

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.


Пример 3. Дано буквенное уравнение a x minus c ravno b x plus d. Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

a x minus c ravno b x plus d step 1

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

a x minus c ravno b x plus d step 2

В левой части вынесем за скобки множитель x

a x minus c ravno b x plus d step 3

Разделим обе части на выражение a − b

a x minus c ravno b x plus d step 4

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x

a x minus c ravno b x plus d step 5

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(+ 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(+ 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

abcd значения параметров

4 na x minus 3 ravno 2 na x plus 4 два решения

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

2 na x minus 3 ravno 2 na x plus 4 корней нет


Пример 4. Дано буквенное уравнение x na a minus x ravno b. Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

x na a minus x ravno b step 2

Умножим обе части на a

x na a minus x ravno b step 3

В левой части x вынесем за скобки

x na a minus x ravno b step 4

Разделим обе части на выражение (1 − a)

x na a minus x ravno b step 5


Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2+ 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2= 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2= 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2= 10для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2= 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax b примет вид 0= 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0= 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

x ravno b na a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение x ravno b na a str примет вид x ravno 6 na 3.
Отсюда x ravno 2.

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7− 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:
Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:
Задание 3. Решите уравнение:
Задание 4. Решите уравнение:
Задание 5. Решите уравнение:
Задание 6. Решите уравнение:
Задание 7. Решите уравнение:
Задание 8. Решите уравнение:
Задание 9. Решите уравнение:
Задание 10. Решите уравнение:
Задание 11. Решите уравнение:
Задание 12. Решите уравнение:
Задание 13. Решите уравнение:
Задание 14. Решите уравнение:
Задание 15. Решите уравнение:
Задание 16. Решите уравнение:
Задание 17. Решите уравнение:
Задание 18. Решите уравнение:
Задание 19. Решите уравнение:
Задание 20. Решите уравнение:
Задание 21. Решите уравнение:
Задание 22. Решите уравнение:
Задание 23. Решите уравнение:
Задание 24. Решите уравнение:
Задание 25. Решите уравнение:
Задание 26. Решите уравнение:
Задание 27. Решите уравнение:
Задание 28. Решите уравнение:
Задание 29. Решите уравнение:
Задание 30. Решите уравнение:
Задание 31. Решите уравнение:
Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:
Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:
Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Элементы статистики

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.

Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).

Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.

На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.

Выборка. Объем. Размах

Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней

расходы за шесть дней статистика рисунок 1

Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6

n = 6

Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами икс 1 икс 2 икс n. Последний икс n элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.

расходы за шесть дней статистика рисунок 2

Обозначим элементы нашей выборки через переменные икс 1 икс 2 икс n

Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.

Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.

В нашем случае, самым большим элементом выборки является элемент 250, а самым маленьким — элемент 150. Разница между ними равна 100

x max и xmin 250 и 150

размах равен 100 R 100


Среднее арифметическое

Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.

Примеры:

  • средняя зарплата жителей страны;
  • средний балл учащихся;
  • средняя скорость движения;
  • средняя производительность труда.

Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.

Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.

формула нахождения среднего значения

Вернемся к нашему примеру

расходы за шесть дней статистика рисунок 2

Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:

расходы за шесть дней статистика рисунок 3


Средняя скорость движения

При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.

В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.

Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.

Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.

Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?

средняя скорость движения рисунок 1

Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)

нахождение средней скорости движения задача 1

Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.

Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:

66,2 × 3 = 198,6 км.

Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:

78,4 × 2 = 156,8 км.

Сложим эти расстояния и результат разделим на 5

нахождение средней скорости движения задача 1 второй способ


Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

нахождение средней скорости движения задача 2

Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:

нахождение средней скорости движения задача 2 рисунок 2


Мода и медиана

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров

таблица для определения моды рисунок 1

Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.

Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат

выборка люди и смартфоны

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.

Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.


Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:

таблица для определения медианы рисунок 1

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:

таблица для определения медианы рисунок 2

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190

В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану

рост семерых спортсменов рисунок 1

Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

таблица для определения медианы рисунок 3

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

таблица для определения медианы рисунок 4

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186

рост шестерых спортсменов рисунок 2

Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186

средняя арифметическое чисел 184 и 186

Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.

Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190

среднее ариф для 180 182 184 186 188 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1

Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2

среднее ариф для 011121235450161

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.

Еще пример. Врач зарабатывает 8 тыс. рублей в месяц, учитель 9 тыс. рублей, а олигарх зарабатывает 100 тыс. рублей. Подсчитывать в таком случае среднее арифметическое и говорить, что в среднем эти трое работников зарабатывают 39 тыс. рублей, никак язык не поворачивается. Да и несправедливо это будет:

8 9 100 на три среднее ариф

Здесь разумнее воспользоваться медианой и сказать, что большинство работников получают не более девяти тысяч рублей.


Частота

Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.

Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.

таблица для определения частоты рисунок 1

По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.

Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:

таблица для определения частоты рисунок 2

Такие таблицы называют таблицами частот.

Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.

Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:

4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36


Относительная частота

Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.

Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.

Вернемся к нашей таблице:

таблица для определения частоты рисунок 2

Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:

таблица для определения частоты рисунок 3

Выполним деление в этих дробях:

таблица для определения частоты рисунок 4

Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:

таблица для определения частоты рисунок 5

Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Производительность

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел, вызывать их движение, менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

Примеры сил:

  • ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;
  • на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;
  • далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.


Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской  буквой A.


Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

формула нахождения производительности

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

4 > 3

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

нахождения производительности пример с формулой

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.


Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть  на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из всех общего количество страниц (100) количество прочитанных страниц (48)

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность» и т.д.


Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 ведёр воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

632 > 507

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.


Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.


Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек

рисунок 50 булочек в час


Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

время равно работе деленой на время

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

8 : 2 = 4 нед.

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

8 этажей за 4 недели

рисунок 2 этажа в неделю

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.


Задача 6. Принтер работает с прозводительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

рисунок 70 страниц в час

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

A = 350 страниц


Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал  350 на 5. То есть, работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:

350 на 5 с помощью формулы


Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

350 : 70 = 5 ч.

Либо с помощью формулы нахождения времени:

350 на 70 с помощью формулы


Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.


Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.

з на совместную работу рисунок 2.png


Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

A = 1

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

одна пятая

Дробь одна пятая выражает  часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

з на совместную работу рисунок 8

Выражать выполненную работу через единицу часто приходиться при решении задач на совместную работу.


Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть, сложим их производительности:

32 дет./час  + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов

з на совместную работу рисунок 1


Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

A = 1

з на совместную работу рисунок 3

Производительность первого мастера будет выражаться дробью одна двадцатая. То есть, за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

з на совместную работу рисунок 4.png

А производительность второго мастера будет выражаться дробью . То есть, за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

з на совместную работу рисунок 5

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

з на совместную работу рисунок 6

 это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть, за одну минуту мастера вместе покрасят  часть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью 

з на совместную работу рисунок 7

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.


Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

A = 1

Тогда первый рабочий за один час может выполнить Одна восьмая часть работы, а второй рабочий одна шестая часть работы. А вместе за один час они могут выполнить одна восьмая плюс одна шестая часть работы

одна восьмая плюс одна шестая равно семь двадцать четвертых

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

семь двадцать четвертых сокращение

Остальную часть работы, а именно Пять двенадцатых работы заканчивал один второй рабочий:

схема к рисунку двое рабочих задача 3

Второй рабочий за один час мог выполнить одна шестая часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся Пять двенадцатых часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна Пять двенадцатых, переменная v — одна шестая

нахождение времени двое рабочих задача 3

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

2 + 2,5 = 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.


Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

A = 1

Тогда первая труба за один час выполнит одна шестая часть работы, а вторая труба — одна четвертая часть работы. Работая вместе за один час они выполнят одна шестая плюс одна четвертая часть работы:

одна шестая плюс одна четвертая пять двенадцатых

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

нахождение времени за которое бассейны наполняют задача 4

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

2,4 = 2 ч + 0,4 ч

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Первая бригада может выполнить некоторое задание за 12 часов, вторая – за 4 часа. За сколько часов они выполнят задание, если будут работать вместе?

Решение

Обозначим работу через единицу:

A = 1

Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Задача 2. Лошадь съедает копну сена за 1 сутки, корова может съесть такую же копну за 3 суток, а овца за 6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

A = 1

Тогда производительность лошади будет выражаться единицей, производительность коровы — дробью , производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Задача 3. Сосуд наполняется шлангом за 12 мин, а полный сосуд опорожняется при открытии крана за 20 мин. За какое время наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг?

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет наполняться на .

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Задача 4. Через первую трубу бассейн можно заполнить за 20 ч, через вторую за 30 ч. Какая часть бассейна заполниться через обе трубы за 1 ч?

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражаться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражаться дробью

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполниться через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение , а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Ответ: за один час заполниться часть бассейна.

Задача 5. На прокладку траншеи требуется затратить 10 ч. Экскаватор проработал 8 ч, после чего ему осталось пройти 50 м. Найти общую длину траншеи.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

50 : 2 = 25 м./ч

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

25 × 10 = 250 м

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Задача 6. Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 мин 20 с. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

A = 1

Производительность первого крана будет выражаться дробью , производительность второго крана — дробью . Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражаться дробью .

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Ванна наполниться за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

300 : 60 = 5 мин

Ответ: ванна заполниться за 5 мин.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Задачи на движение

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на движение.

Задача на нахождение расстояния/скорости/времени

Задача 1. Автомобиль двигается со скоростью 80 км/ч. Сколько километров он проедет за 3 часа?

Решение

Если за один час автомобиль проезжает 80 километров, то за 3 часа он проедет в три раза больше. Чтобы найти расстояние, нужно скорость автомобиля (80км/ч) умножить на время движения (3ч)

80 × 3 = 240 км

240 км каждый час по 80 км

Ответ: за 3 часа автомобиль проедет 240 километров.


Задача 2. На автомобиле за 3 часа проехали 180 км с одной и той же скоростью. Чему равна скорость автомобиля?

Решение

Скорость — это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Если за 3 часа автомобиль проехал 180 километров с одной и той же скоростью, то разделив 180 км на 3 часа мы определим расстояние, которое проезжал автомобиль за один час. А это есть скорость движения. Чтобы определить скорость, нужно пройденное расстояние разделить на время движения:

180 : 3 = 60 км/ч

180 км каждый час по 60 км

Ответ: скорость автомобиля составляет 60 км/ч


Задача 3. За 2 часа автомобиль проехал 96 км, а велосипедист за 6 часов проехал 72 км. Во сколько раз автомобиль двигался быстрее велосипедиста?

Решение

Определим скорость движения автомобиля. Для этого разделим пройденное им расстояние (96км) на время его движения (2ч)

96 : 2 = 48 км/ч

Определим скорость движения велосипедиста. Для этого разделим пройденное им расстояние (72км) на время его движения (6ч)

72 : 6 = 12 км/ч

Узнаем во сколько раз автомобиль двигался быстрее велосипедиста. Для этого найдем отношение 48 к 12

48 к 12 есть 4

Ответ: автомобиль двигался быстрее велосипедиста в 4 раза.


Задача 4. Вертолет преодолел расстояние в 600 км со скоростью 120 км/ч. Сколько времени он был в полете?

Решение

Если за 1 час вертолет преодолевал 120 километров, то узнав сколько таких 120 километров в 600 километрах, мы определим сколько времени он был в полете. Чтобы найти время, нужно пройденное расстояние разделить на скорость движения

600 : 120 = 5 часов

600 км каждый час по 120 км.png

Ответ: вертолет был в пути 5 часов.


Задача 5. Вертолет летел 6 часов со скоростью 160 км/ч. Какое расстояние он преодолел за это время?

Решение

Если за 1 час вертолет преодолевал 160 км, то за 6 часов, он преодолел в шесть раз больше. Чтобы определить расстояние, нужно скорость движения умножить на время

160 × 6 = 960 км

960 км каждый час по 160 км

Ответ: за 6 часов вертолет преодолел 960 км.


Задача 6. Расстояние от Перми до Казани, равное 723 км, автомобиль проехал за 13 часов. Первые 9 часов он ехал со скоростью 55 км/ч. Определить скорость автомобиля в оставшееся время.

Решение

Определим сколько километров автомобиль проехал за первые 9 часов. Для этого умножим скорость с которой он ехал первые девять часов (55км/ч) на 9

55 × 9 = 495 км

Определим сколько осталось проехать. Для этого вычтем из общего расстояния (723км) расстояние, пройденное за первые 9 часов движения

723 − 495 = 228 км

Эти 228 километров автомобиль проехал за оставшиеся 4 часа. Чтобы определить скорость автомобиля в оставшееся время, нужно 228 километров разделить на 4 часа:

228 : 4 = 57 км/ч

Ответ: скорость автомобиля в оставшееся время составляла 57 км/ч


Скорость сближения

Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причем скорость первого будет 100 м/м, а второго — 105 м/м, то скорость сближения будет составлять 100+105, то есть 205 м/м. Значит каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров

два пешехода навстречу друг другу

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Предположим, что пешеходы встретились через три минуты после начала движения. Зная, что они встретились через три минуты, мы можем узнать расстояние между двумя пунктами.

Каждую минуту пешеходы преодолевали расстояние равное двухсот пяти метрам. Через 3 минуты они встретились. Значит умножив скорость сближения на время движения, мы сможем определить расстояние между двумя пунктами:

205 × 3 = 615 метров

два пешехода встретились

Можно и по другому определить расстояние между пунктами. Для этого следует найти расстояние, которое прошел каждый пешеход до встречи.

Так, первый пешеход шел со скоростью 100 метров в минуту. Встреча состоялась через три минуты, значит за 3 минуты он прошел 100×3 метров

100 × 3 = 300 метров

А второй пешеход шел со скоростью 105 метров в минуту. За три минуты он прошел 105×3 метров

105 × 3 = 315 метров

Теперь можно сложить полученные результаты и таким образом определить расстояние между двумя пунктами:

300 м + 315 м = 615 м


Задача 1. Из двух населенных пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, а скорость второго — 12 км/ч. Через 2 часа они встретились. Определите расстояние между населенными пунктами

Решение

Найдем скорость сближения велосипедистов

10 км/ч + 12 км/ч = 22 км/ч

Определим расстояние между населенными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения

22 × 2 = 44 км

два велосипедиста встретились через 2 часа

Решим эту задачу вторым способом. Для этого найдем расстояния, пройденные велосипедистами и сложим полученные результаты.

Найдем расстояние, пройденное первым велосипедистом:

10 × 2 = 20 км

Найдем расстояние, пройденное вторым велосипедистом:

12 × 2 = 24 км

Сложим полученные расстояния:

20 км + 24 км = 44 км

Ответ: расстояние между населенными пунктами составляет 44 км.


Задача 2. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 60 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 14 км/ч, а скорость второго — 16 км/ч. Через сколько часов они встретились?

Решение

Найдем скорость сближения велосипедистов:

14 км/ч + 16 км/ч = 30 км/ч

За один час расстояние между велосипедистами уменьшается на 30 километров. Чтобы определить через сколько часов они встретятся, нужно расстояние между населенными пунктами разделить на скорость сближения:

60 : 30 = 2 часа

Значит велосипедисты встретились через два часа

два велосипедиста встретились через 2 ч расстояние 60 км

Ответ: велосипедисты встретились через 2 часа.


Задача 3. Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 56 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Через два часа они встретились. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Определить скорость второго велосипедиста.

Решение

Определим расстояние пройденное первым велосипедистом. Как и второй велосипедист в пути он провел 2 часа. Умножив скорость первого велосипедиста на 2 часа, мы сможем узнать сколько километров он прошел до встречи

12 × 2 = 24 км

За два часа первый велосипедист прошел 24 км. За один час он прошел 24:2, то есть 12 км. Изобразим это графически

два велосипедиста встретились через 2 ч расстояние 56

Вычтем из общего расстояния (56 км) расстояние, пройденное первым велосипедистом (24 км). Так мы определим сколько километров прошел второй велосипедист:

56 км − 24 км = 32 км

Второй велосипедист, как и первый провел в пути 2 часа. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем с какой скоростью он двигался:

32 : 2 = 16 км/ч

Значит скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: скорость второго велосипедиста составляет 16 км/ч.


Скорость удаления

Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причем скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4+6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Так, за первый час расстояние между пешеходами будет составлять 10 километров. На следующем рисунке можно увидеть, как это происходит

скорость удаления 10 км за 1 час

Видно, что первый пешеход прошел свои 4 километра за первый час. Второй пешеход также прошел свои 6 километров за первый час. Итого за первый час расстояние между ними стало 4+6, то есть 10 километров.

Через два часа расстояние между пешеходами будет составлять 10×2, то есть 20 километров. На следующем рисунке можно увидеть, как это происходит:

скорость удаления 10 км за 2 часа


Задача 1. От одной станции отправились одновременно в противоположных направлениях товарный поезд и пассажирский экспресс. Скорость товарного поезда составляла 40 км/ч, скорость экспресса 180 км/ч. Какое расстояние будет между этими поездами через 2 часа?

Решение

Определим скорость удаления поездов. Для этого сложим их скорости:

40 + 180 = 220 км/ч

Получили скорость удаления поездов равную 220 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между поездами будет увеличиваться на 220 километров. Чтобы узнать какое расстояние будет между поездами через два часа, нужно 220 умножить на 2

220 × 2 = 440 км

Ответ: через 2 часа расстояние будет между поездами будет 440 километров.


Задача 2. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 16 км/ч, а скорость мотоциклиста — 40 км/ч. Какое расстояние будет между велосипедистом и мотоциклистом через 2 часа?

Решение

Определим скорость удаления велосипедиста и мотоциклиста. Для этого сложим их скорости:

16 км/ч + 40 км/ч = 56 км/ч

Определим расстояние, которое будет между велосипедистом и мотоциклистом через 2 часа. Для этого скорость удаления (56км/ч) умножим на 2 часа

56 × 2 = 112 км

велосипедист и мотоциклист в противоположных направлениях

Ответ: через 2 часа расстояние между велосипедистом и мотоциклистом будет 112 км.


Задача 3. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость мотоциклиста — 30 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 80 км?

Решение

Определим скорость удаления велосипедиста и мотоциклиста. Для этого сложим их скорости:

10 км/ч + 30 км/ч = 40 км/ч

За один час расстояние между велосипедистом и мотоциклистом увеличивается на 40 километров. Чтобы узнать через сколько часов расстояние между ними будет 80 км, нужно определить сколько раз 80 км содержит по 40 км

80 : 40 = 2

велосипедист и мотоциклист в противоположных направлениях s 80

Ответ: через 2 часа после начала движения, между велосипедистом и мотоциклистом будет 80 километров.


Задача 4. Из пункта одновременно в противоположных направлениях отправились велосипедист и мотоциклист. Через 2 часа расстояние между ними было 90 км. Скорость велосипедиста составляла 15 км/ч. Определить скорость мотоциклиста

Решение

Определим расстояние, пройденное велосипедистом за 2 часа. Для этого умножим его скорость (15 км/ч) на 2 часа

15 × 2 = 30 км

велосипедист и мотоциклист в противоположных направлениях s 90

На рисунке видно, что велосипедист прошел по 15 километров в каждом часе. Итого за два часа он прошел 30 километров.

Вычтем из общего расстояния (90 км) расстояние, пройденное велосипедистом (30 км). Так мы определим сколько километров прошел мотоциклист:

90 км − 30 км = 60 км

Мотоциклист за два часа прошел 60 километров. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем с какой скоростью он двигался:

60 : 2 = 30 км/ч

Значит скорость мотоциклиста составляла 30 км/ч.

велосипедист и мотоциклист в противоположных направлениях s 90

Ответ: скорость мотоциклиста составляла 30 км/ч.


Задача на движение объектов в одном направлении

В предыдущей теме мы рассматривали задачи в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу другу другу либо в противоположных направлениях. При этом мы находили различные расстояния, которые изменялись между объектами в течении определенного времени. Эти расстояния были либо скоростями сближения либо скоростями удаления.

В первом случае мы находили скорость сближения — в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. За единицу времени расстояние между объектами уменьшалось на определенное расстояние

два пешехода навстречу друг другу пример

Во втором случае мы находили скорость удаления — в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. За единицу времени расстояние между объектами увеличивалось на определенное расстояние

два пешехода противоположно друг другу пример

Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причем с различной скоростью. Например, из одного пункта одновременно могут выехать велосипедист и мотоциклист, причем скорость велосипедиста может составлять 20 километров в час, а скорость мотоциклиста — 40 километров в час

велосипедист и мотоциклист в одном направлении пример 1

На рисунке видно, что мотоциклист впереди велосипедиста на двадцать километров. Связано это с тем, что в час он преодолевает на 20 километров больше, чем велосипедист. Поэтому каждый час расстояние между велосипедистом и мотоциклистом будет увеличиваться на двадцать километров.

В данном случае 20 км/ч являются скоростью удаления мотоциклиста от велосипедиста.

Через два часа расстояние, пройденное велосипедистом будет составлять 40 км. Мотоциклист же проедет 80 км, отдалившись от велосипедиста еще на двадцать километров — итого расстояние между ними составит 40 километров

велосипедист и мотоциклист в одном направлении пример 2

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

В приведенном выше примере, скорость удаления составляет 20 км/ч. Её можно найти путем вычитания скорости велосипедиста из скорости мотоциклиста. Скорость велосипедиста составляла 20 км/ч, а скорость мотоциклиста — 40 км/ч. Скорость мотоциклиста больше, поэтому из 40 вычитаем 20

40 км/ч − 20 км/ч = 20 км/ч


Задача 1. Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 120 км/ч, а скорость автобуса 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? 2 часа?

Решение

Найдем скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую

120 км/ч − 80 км/ч = 40 км/ч

Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 2 часа в два раза больше:

40 × 2 = 80 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через два часа — 80 км.


Рассмотрим ситуацию в которой объекты начали свое движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Пусть имеется дом, школа и аттракцион. От дома до школы 700 метров

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 2

Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причем первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 100 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 80 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Ответим на первый вопрос задачи — какое расстояние будет между пешеходами через 2 минуты?

Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 2 минуты. Он двигался со скоростью 100 метров в минуту. За две минуты он пройдет в два раза больше, то есть 200 метров

100 × 2 = 200 метров

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 3

Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 2 минуты. Он двигался со скоростью 80 метров в минуту. За две минуты он пройдет в два раза больше, то есть 160 метров

80 × 2 = 160 метров

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 4

Теперь нужно найти расстояние между пешеходами

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 5

Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (700м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160м) и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200м)

700 м + 160 м = 860 м

860 м − 200 м = 660 м

Либо из расстояния от дома до школы (700м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160м)

700 м − 200 м = 500 м

500 м + 160 м = 660 м

Таким образом, через две минуты расстояние между пешеходами будет составлять 660 метров

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 6

Попробуем ответить на следующий вопрос задачи: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Давайте посмотрим какой была ситуация в самом начале пути — когда пешеходы еще не начали своё движение

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 7

Как видно на рисунке, расстояние между пешеходами в начале пути составляло 700 метров. Но уже через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 680 метров, поскольку первый пешеход двигается на 20 метров быстрее второго:

100 м × 1 = 100 м

80 м × 1 = 80 м

700 м + 80 м − 100 м = 780 м − 100 м = 680 м

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 7

 

Через две минуты после начала движения, расстояние уменьшится еще на 20 метров и будет составлять 660 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

100 м × 2 = 200 м

80 м × 2 = 160 м

700 м + 160 м − 200м = 860 м − 200 м = 660 м

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 6

Через три минуты расстояние уменьшится еще на 20 метров и будет уже составлять 640 метров:

100 м × 3 = 300 м

80 м × 3 = 240 м

700 м + 240 м − 300м = 940 м − 300 м = 640 м

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 8

Мы видим, что с каждой минутой первый пешеход будет приближаться ко второму на 20 метров, и в конце концов догонит его. Можно сказать, что скорость равная двадцати метрам в минуту является скоростью сближения пешеходов. Правила нахождения скорости сближения и удаления при движении в одном направлении идентичны.

Чтобы найти скорость сближения при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

А раз изначальные 700 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 20 метров, то мы можем узнать сколько раз 700 метров содержат по 20 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго

700 : 20 = 35

Значит через 35 минут после начала движения первый пешеход догонит второго. Для интереса узнаем сколько метров прошел к этому времени каждый пешеход. Первый двигался со скоростью 100 метров в минуту. За 35 минут он прошел в 35 раз больше

100 × 35 = 3500 м

Второй шел со скоростью 80 метров в минуту. За 35 минут он прошел в 35 раз больше

80 × 35 = 2800 м

Первый прошел 3500 метров, а второй 2800 метров. Первый прошел на 700 метров больше, поскольку он шел от дома. Если вычесть эти 700 метров из 3500, то мы получим 2800 м

дом школа и аттракцион в расстояниях рисунок 9


Рассмотрим ситуацию в которой объекты движутся в одном направлении, но один из объектов начал своё движение раньше другого.

Пусть имеется дом и школа. Первый пешеход отправился в школу со скоростью 80 метров в минуту. Через 5 минут вслед за ним в школу отправился второй пешеход со скоростью 100 метров в минуту. Через сколько минут второй пешеход догонит первого?

Второй пешеход начал свое движение через 5 минут. К этому времени первый пешеход уже отдалился от него на какое-то расстояние. Найдём это расстояние. Для этого умножим его скорость (80 м/м) на 5 минут

80 × 5 = 400 метров

дом ишкола рисунок 1

Первый пешеход отдалился от второго на 400 метров. Поэтому в момент, когда второй пешеход начнет свое движение, между ними будут эти самые 400 метров.

Но второй пешеход двигается со скоростью 100 метров в минуту. То есть, двигается на 20 метров быстрее первого пешехода, а значит с каждой минутой расстояние между ними будет уменьшаться на 20 метров. Наша задача узнать через сколько минут это произойдет.

Например, уже через минуту расстояние между пешеходами будет составлять 380 метров. Первый пешеход к своим 400 метрам пройдет еще 80 метров, а второй пройдет 100 метров

дом ишкола рисунок 2

Принцип здесь такой-же, как и в предыдущей задаче. Расстояние между пешеходами в момент движения второго пешехода необходимо разделить на скорость сближения пешеходов. Скорость сближения в данном случае равна двадцати метрам. Поэтому, чтобы определить через сколько минут второй пешеход догонит первого, нужно 400 метров разделить на 20

400 : 20 = 20

Значит через 20 минут второй пешеход догонит первого.


Задача 2. Из двух сел, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а скорость автобуса 35 км/ч. Через сколько часов автобус догонит велосипедиста?

Решение

Найдем скорость сближения

35 км/ч − 15 км/ч = 20 км/ч

Определим через часов автобус догонит велосипедиста

40 : 20 = 2

Ответ: автобус догонит велосипедиста через 2 часа.


Задача на движение по реке

Суда двигаются по реке с различной скоростью. При этом они могут двигаться, как по течению реки, так и против течения. В зависимости от того, как они двигаются (по или против течения), скорость будет меняться.

Предположим, что скорость реки составляет 3 км/ч. Если спустить лодку на реку, то река унесет лодку со скоростью 3 км/ч.

Если спустить лодку на стоячую воду, в которой отсутствует течение, то и лодка будет стоять. Скорость движения лодки в этом случае будет равна нулю.

Если лодка плывет по стоячей воде, в которой отсутствует течение, то говорят, что лодка плывет с собственной скоростью.

Например, если моторная лодка плывет по стоячей воде со скоростью 40 км/ч, то говорят что собственная скорость моторной лодки составляет 40 км/ч.

Как определить скорость судна?

Если судно плывет по течению реки, то к собственной скорости судна нужно прибавить скорость течения реки.

Например, если моторная лодка плывет со скоростью 30 км/ч по течению реки, и скорость течения реки составляет 2 км/ч, то к собственной скорости моторной лодки (30 км/ч) необходимо прибавить скорость течения реки (2 км/ч)

30 км/ч + 2 км/ч = 32 км/ч

Течение реки можно сказать помогает моторной лодке дополнительной скоростью равной двум километрам в час.

Если судно плывет против течения реки, то из собственной скорости судна нужно вычесть скорость течения реки.

Например, если моторная лодка плывет со скоростью 30 км/ч против течения реки, и скорость течения реки составляет 2 км/ч, то из собственной скорости моторной лодки (30 км/ч) необходимо вычесть скорость течения реки (2 км/ч)

30 км/ч − 2 км/ч = 28 км/ч

Течение реки в этом случае препятствует моторной лодке свободно двигаться вперед, снижая её скорость на два километра в час.


Задача 1. Скорость катера 40 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. С какой скоростью катер будет двигаться по течению реки? Против течения реки?

Ответ:

Если катер будет двигаться по течения реки, то скорость его движения составит 40 + 3, то есть 43 км/ч.

Если катер будет двигаться против течения реки, то скорость его движения составит 40 − 3, то есть 37 км/ч.


Задача 2. Скорость теплохода в стоячей воде — 23 км/ч. Скорость течения реки — 3 км/ч. Какой путь пройдет теплоход за 3 часа по течению реки? Против течения?

Решение

Собственная скорость теплохода составляет 23 км/ч. Если теплоход будет двигаться по течению реки, то скорость его движения составит 23 + 3, то есть 26 км/ч. За три часа он пройдет в три раза больше

26 × 3 = 78 км

Если теплоход будет двигаться против течения реки, то скорость его движения составит 23 − 3, то есть 20 км/ч. За три часа он пройдет в три раза больше

20 × 3 = 60 км


Задача 3. Расстояние от пункта А до пункта B лодка преодолела за 3 часа 20 минут, а расстояние от пункта B до А — за 2 часа 50 минут. В каком направлении течет река: от А к В или от В к А, если известно, что скорость яхты не менялась?

Решение

Скорость яхты не менялась. Узнаем на какой путь она затратила больше времени: на путь от А до В или на путь от В до А. Тот путь, который затратил больше времени будет тем путем, течение реки которого шло против яхты

3 часа 20 минут больше, чем 2 часа 50 минут. Это значит, что течение реки снизило скорость яхты и это отразилось на времени пути. 3 часа 20 минут это время, затраченное на путь от от А до В. Значит река течет от пункта B к пункту А


Задача 4. За какое время при движении против течения реки
теплоход пройдет 204 км, если его собственная скорость
15 км/ч, а скорость течения в 5 раз меньше собственной
скорости теплохода?

Решение

Требуется найти время за которое теплоход пройдет 204 километра против течения реки. Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч. Двигается он против течения реки, поэтому нужно определить его скорость при таком движении.

Чтобы определить скорость против течения реки, нужно из собственной скорости теплохода (15 км/ч) вычесть скорость движения реки. В условии сказано, что скорость течения реки в 5 раз меньше собственной скорости теплохода, поэтому сначала определим скорость течения реки. Для этого уменьшим 15 км/ч в пять раз

15 : 5 = 3 км/ч

Скорость течения реки составляет 3 км/ч. Вычтем эту скорость из скорости движения теплохода

15 км/ч − 3 км/ч = 12 км/ч

Теперь определим время за которое теплоход пройдет 204 км при скорости 12 км/ч. В час теплоход проходит 12 километров. Чтобы узнать за сколько часов он пройдет 204 километра, нужно определить сколько раз 204 километра содержит по 12 километров

204 : 12 = 17 ч

Ответ: теплоход пройдет 204 километра за 17 часов


Задача 5. Двигаясь по течению реки, за 6 часов лодка
прошла 102 км. Определите собственную скорость лодки,
если скорость течения – 4 км/ч.

Решение

Узнаем с какой скоростью лодка двигалась по реке. Для этого пройденное расстояние (102км) разделим на время движения (6ч)

102 : 6 = 17 км/ч

Определим собственную скорость лодки. Для этого из скорости по которой она двигалась по реке (17 км/ч) вычтем скорость течения реки (4 км/ч)

17 − 4 = 13 км/ч


Задача 6. Двигаясь против течения реки, за 5 часов лодка
прошла 110 км. Определите собственную скорость лодки,
если скорость течения – 4 км/ч.

Решение

Узнаем с какой скоростью лодка двигалась по реке. Для этого пройденное расстояние (110км) разделим на время движения (5ч)

110 : 5 = 22 км/ч

Определим собственную скорость лодки. В условии сказано, что она двигалась против течения реки. Скорость течения реки составляла 4 км/ч. Это значит, что собственная скорость лодки была уменьшена на 4. Наша задача прибавить эти 4 км/ч и узнать собственную скорость лодки

22 + 4 = 26 км/ч

Ответ: собственная скорость лодки составляет 26 км/ч


Задача 7. За какое время при движении против течения реки лодка
пройдет 56 км, если скорость течения – 2 км/ч, а её
собственная скорость на 8 км/ч больше скорости течения?

Решение

Найдем собственную скорость лодки. В условии сказано, что она на 8 км/ч больше скорости течения. Поэтому для определения собственной скорости лодки, к скорости течения (2 км/ч) прибавим еще 8 км/ч

2 км/ч + 8 км/ч = 10 км/ч

Лодка движется против течения реки, поэтому из собственной скорости лодки (10 км/ч) вычтем скорость движения реки (2 км/ч)

10 км/ч − 2 км/ч = 8 км/ч

Узнаем за какое время лодка пройдет 56 км. Для этого расстояние (56км) разделим на скорость движения лодки:

56 : 8 = 7 ч

Ответ: при движении против течения реки лодка пройдет 56 км за 7 часов


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти 20 км, если скорость его равна 5 км/ч?

Решение

За один час пешеход проходит 5 километров. Чтобы определить за какое время он пройдет 20 км, нужно узнать сколько раз 20 километров содержат по 5 км. Либо воспользоваться правилом нахождения времени: разделить пройденное расстояние на скорость движения

20 : 5 = 4 часа

Задача 2. Из пункта А в пункт В велосипедист ехал 5 часов со скоростью 16 км/ч, а обратно он ехал по тому же пути со скоростью 10 км/ч. Сколько времени потратил велосипедист на обратный путь?

Решение

Определим расстояние от пункта А до пункта В. Для этого умножим скорость с которой ехал велосипедист из пункта А в пункт В (16км/ч) на время движения (5ч)

16 × 5 = 80 км

Определим сколько времени велосипедист затратил на обратный путь. Для этого расстояние (80км) разделим на скорость движения (10км/ч)

80 : 10 = 8 ч

Задача 3. Велосипедист ехал 6 ч с некоторой скоростью. После того как он проехал ещё 11 км с той же скоростью, его путь стал равным 83 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

Решение

Определим путь, пройденный велосипедистом за 6 часов. Для этого из 83 км вычтем путь, который он прошел после шести часов движения (11км)

83 − 11 = 72 км

Определим с какой скоростью ехал велосипедист первые 6 часов. Для этого разделим 72 км на 6 часов

72 : 6 = 12 км/ч

Поскольку в условии задаче сказано, что остальные 11 км велосипедист проехал с той же скоростью, что и в первые 6 часов движения, то скорость равная 12 км/ч является ответом к задаче.

Ответ: велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.

Задача 4. Двигаясь против течения реки, расстояние в 72 км теплоход проходит за 4ч, а плот такое же расстояние проплывает за 36 ч. За сколько часов теплоход проплывет расстояние 110 км, если будет плыть по течению реки?

Решение

Найдем скорость течения реки. В условии сказано, что плот может проплыть 72 километра за 36 часов. Плот не может двигаться против течения реки. Значит скорость плота с которой он преодолевает эти 72 километра и является скоростью течения реки. Чтобы найти эту скорость, нужно 72 километра разделить на 36 часов

72 : 36 = 2 км/ч

Найдем собственную скорость теплохода. Сначала найдем скорость его движения против течения реки. Для этого разделим 72 километра на 4 часа

72 : 4 = 18 км/ч

Если против течения реки скорость теплохода составляет 18 км/ч, то собственная его скорость равна 18+2, то есть 20 км/ч. А по течению реки его скорость будет составлять 20+2, то есть 22 км/ч

Разделив 110 километров на скорость движения теплохода по течению реки (22 км/ч), можно узнать за сколько часов теплоход проплывет эти 110 километров

110 : 22 = 5 ч

Ответ: по течению реки теплоход проплывет 110 километров на 5 часов.

Задача 5. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью 11 км/ч, а второй со скоростью 13 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?

Решение

Найдем скорость удаления велосипедистов

11 + 13 = 24 км

Узнаем какое расстояние будет между ними через 4 часа

24 × 4 = 96 км/ч

Ответ: через 4 часа расстояние между велосипедистами будет 96 км.

Задача 6. От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два теплохода, и через 6 часов они встретились. Какое расстояние до встречи прошел каждый теплоход и какое расстояние между пристанями, если один теплоход шел со скоростью 21 км/ч, а другой — со скоростью 24 км/ч?

Решение

Определим расстояние, пройденное первым теплоходом. Для этого умножим его скорость (21 км/ч) на время движения до встречи (6ч)

21 × 6 = 126 км

Определим расстояние, пройденное вторым теплоходом. Для этого умножим его скорость (24 км/ч) на время движения до встречи (6ч)

24 × 6 = 144 км

Определим расстояние между пристанями. Для этого сложим расстояния, пройденные первым и вторым теплоходами

126 км + 144 км = 270 км

Ответ: первый теплоход прошел 126 км, второй — 144 км. Расстояние между пристанями составляет 270 км.

Задача 7. Одновременно из Москвы и Уфы вышли два поезда. Через 16 часов они встретились. Мо