Десятичные дроби

Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.

Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходится сочетать. То есть при решении задач приходиться работать с обоими видов дробей.

Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.

Выражение величин в дробном виде

Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

1913

Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:

десятичные дроби рисунок 1


Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

Итак, 6 целых сантиметров у нас уже есть:

1914

Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как 1916 см

десятичные дроби рисунок 2

Выражение 1916 см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.

В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

1917

Цифра 6 показывает число целых сантиметров, а дробь 1916 — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра».

Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут цéлую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

Например, запишем 1918 без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6

6

Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

6,

И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе 1918 числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

6,3

Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью.

Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

6,3 см

Выглядеть это будет следующим образом:

1922

На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000.

Как и смешанное число, десятичная дробь имеет цéлую часть и дробную. Например, в смешанном числе 1918 целая часть это 6, а дробная часть это 1916.

В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби 1916, то есть число 3.

Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь 1921 дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь 1921 без знаменателя будет записана следующим образом:

0,5

Читается как «ноль целых, пять десятых».


Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым перевóдим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число 1931 в десятичную дробь.

Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

3,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать сколько нулей содержится в знаменателе дробной части.

Итак, посчитаем количество нулей в дробной части смешанного числа 1931.  Видим, что в знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа 1931, то есть число 2

3,2

Таким образом, смешанное число 1931 при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2. Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа 1931 содержится число 10.


Пример 2. Перевести смешанное число 1932 в десятичную дробь.

Записываем цéлую часть и ставим запятую:

5,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1932. А мы видим, что в знаменателе дробной части 1932  два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

1933

Теперь можно довести дело до конца. Записываем после запятой числитель дробной части:

5,03

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1933  одинаково.

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа 1933 содержится число 100.


Пример 3. Перевести смешанное число 1941 в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в  знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа 1941 в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смóтрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

1942

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это цифра 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед цифрой 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

1943

Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала цéлую часть и ставим запятую:

3,

и сразу записываем числитель дробной части

3,002

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1944 одинаково.

Десятичная дробь 3,002 читается так:

«Три целых, две тысячных»

«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа 1944  содержится число 1000.


Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или  10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.

Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 1921 в десятичную дробь.

Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:

0,

Теперь смóтрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой цифру 5

0,5

В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби 1921 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,5 читается так:

«Ноль целых, пять десятых»


Пример 2. Перевести обыкновенную дробь 1951 в десятичную дробь.

Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и стáвим запятую:

0,

Теперь смóтрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед цифрой 2 один ноль. Тогда дробь примет вид  1952. Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:

0,02

В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби 1952 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,02 читается так:

«Ноль целых, две сотых».


Пример 3. Перевести обыкновенную дробь 1961 в десятичную дробь.

Записываем 0 и стáвим запятую:

0,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дроби 1961. Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед цифрой 5 дописать четыре нуля:

1962

Теперь можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби 1962

0,00005

В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби  1962 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,00005 читается так:

«Ноль целых, пять стотысячных».


Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя.

Бывают неправильные дроби, у которых в знаменателе содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять цéлую часть.

Пример 1. Перевести неправильную дробь 1971 в десятичную.

Дробь 1971 является неправильной. Чтобы перевести такую дробь в десятичную, нужно в первую очередь выделить у нее цéлую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к этой теме и хорошенько изучить её.

Итак, выделим целую часть в неправильной дроби 1971 . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10. Деление нужно выполнить с остатком:

десятичные дроби рисунок 1

Посмóтрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Частное 11 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, делитель 10 — знаменателем дробной части:

десятичные дроби рисунок 2

Мы получили смешанное число 1974. Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

11,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части  и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать после запятой числитель дробной части:

11,2

Значит, неправильная дробь 1971 при переводе в десятичную обращается в 11,2

Десятичная дробь 11,2 читается так:

«Одиннадцать целых, две десятых».


Пример 2. Перевести неправильную дробь 1981  в десятичную дробь.

Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе содержится число 100.

В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим уголком 450 на 100:

десятичные дроби рисунок 3

Соберём новое смешанное число — получим 1983 . Теперь переведём его в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

4,

Теперь посчитаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе  и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

4,50

Значит неправильная дробь 1981 при переводе в десятичную обращается в 4,50

При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны и между ними можно поставить знак равенства:

4,50 = 4,5

Возникает вопрос «а почему так происходит Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».


Перевод десятичной дроби в смешанное число

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби.

Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:

6

и рядом три десятых:

1918


Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число

3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых

3

и рядом записываем две тысячных:

3 1991


Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число

4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых

4

и рядом пятьдесят сотых:

1983

Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Докажем, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.

После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в 1983, а десятичная дробь 4,5 обращается в 19101

Имеем два смешанных числа 1983  и  19101. Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:

19102

19103

Теперь имеем две дроби  19104  и  19105. Теперь вспоминаем основное свойство дроби, которое говорит о том, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не меняется.

Давайте разделим числитель и знаменатель первой дроби 19104 на число 10

19106

Получили 19105, а это есть вторая дробь. Значит 19104 и 19105 равны между собой и равны одному и тому же значению:

19104  = 19105

Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.


Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:

0

и рядом три десятых 0 1916 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 01916, а просто 1916.


Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.

0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем две сотых

1951


Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь

0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных  1961


Пример 4. Перевести 3,5 в обыкновенную дробь

Сначала переведём данную десятичную дробь в смешанное число:

десятичные дроби рисунок 4

Теперь смешанное число 3 целых 5 десятых переведём в неправильную (обыкновенную) дробь:

десятичные дроби рисунок 5


Пример 5. Перевести 1,25 в обыкновенную дробь

Сначала переведём данную десятичную дробь в смешанное число:

десятичные дроби рисунок 6

Теперь смешанное число 1 целая 25 сотых переведём в неправильную (обыкновенную) дробь:

десятичные дроби рисунок 7


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

31 thoughts on “Десятичные дроби”

  1. все круто, понятно и доступно.
    спасибо. долгий путь до высшей математики предстоит)

  2. Спасибо за сайт! Всё очень понятно. Не понимал что такое дробь уже с пятого класса (щя 2 курс колледжа), прочитав на сайте всё понял, спасибо вам!!!

  3. Огромное спаасибо! Просто, интересно, и очень нужно! Успехов и радости в жизни!

      1. А что значит десятичная дробь с некруглым знаменателем? У десятичной дроби всегда круглый знаменатель — 10, 100, 1000. Чтобы перевести некруглый знаменатель в десятичный, нужно найти НОК с этим круглым числом. И множить…

  4. Спасибо вам огромное :)))
    Вначале урока предупредили, что может показаться сложным. Но все просто и понятно как 2 * 2 = 4
    С детства не любил алгебру.
    Спасибо за привитую любовь ;))
    Успехов Вам!!!

  5. Спасибо
    А при переводе десятичной дроби в обыкновенную можно сокращать получившуюся? н-р, 2/100

    1. Если в задании требуют сократить, то сокращаете. Если не требуют, то отставляете как есть

  6. Спасибо вам большое! Таких сайтов очень мало, жаль. Но есть такие люди, которые хотят помочь нам в образовании, спасибо!

  7. Работаю в школе учителем. буду рекомендовать ваш сайт неуспевающим.

    Спасибо за проделанную работу. очень понятное изложение. кому здесь не поможет — я уже тоже видимо не помогу =)

  8. Пример 1:
    Пример 1:
    (42 / 0,11111)

    42000 / 11111
    33333 / 3,78003 (378,003)
    86670
    77777
    88930
    88888
    420
    0
    4200
    0
    42000
    33333
    86670
    77777 ……
    Пример 2:

    (42111/ 0,11111)

    42111 / 11111
    33333 / 3,7900279 (379002,79…)
    87780
    77777
    100030
    99999
    310
    0
    3100
    0
    31000
    22222
    87780
    77777
    100030

    Где ставятся запятые в данных случаях? Почему в первом примере запятая переносится на два раза, а во втором примере аж на целых 5 раз?

  9. Разобрался! Данный комментарий в помощи больше не нуждается. Оказывается, что отсчет нужно вести с конца целого числа, а не с его начала.

  10. Здраствуйте, а подскажите пожалуйста, как перевести в десятичную дробь вот такие к примеру дроби: 4/6 или 2/3 ?

  11. Здравствуйте, уважаемые все кто работал над этим сайтом. Сразу прошу прощения, что не написал действующий и-мэйл, надеюсь, что простите. Для меня очень важно знать ваше мнение, как людей понимающих математику куда лучше меня, т.к., увы спросить не у кого, а в Сети ясного ответа не нашёл. Но, как мне кажется, вопрос действительно интересный и важный, пожалуй, не только для меня. Действительно ли десятичные дроби так нужны для «абсолютной» математики? Если не говорить об удобстве записи, их распространённости и пр., можно ли обойтись исключительно обыкновенными дробями т.к они универсальнее (одну тридцать седьмую десятичными не напишешь, только приблизительно), или же без десятичных дробей математика никак не может (т.к. они незаменимы)?

    П.С.
    Очень надеюсь, что ни мой и-мэйл-фейк, ни длина текста, ни извинения (которое для публикации, вместе с П.С., можно вырезать) не «обесценят» мой комментарий с довольно важным, для меня, по крайней мере, вопросом. (наверное, устройство слабое, не даёт создать и-мэйл)

  12. Спасибо вам большое, за такие понятные разъяснения, это просто супер! Обожаю матиматику!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *