Десятичные дроби

Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.

Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходится сочетать. То есть при решении задач приходиться работать с обеими видов дробей.

Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.

Выражение величин в дробном виде

Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

1913

Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:

десятичные дроби рисунок 1


 

Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

Итак, требуется показать 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:

1914

Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как 1916 см

десятичные дроби рисунок 2

Выражение 1916 см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.

В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

1917

При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь 1916 — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра».

Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

Например, запишем 1918 без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6

6

Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

6,

И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе 1918 числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

6,3

Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью.

Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

6,3 см

Выглядеть это будет следующим образом:

1922

На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.

Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе 1918 целая часть это 6, а дробная часть это 1916.

В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби 1916, то есть число 3.

Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь 1921 дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь 1921 без знаменателя будет записана следующим образом:

0,5

Читается как «ноль целых, пять десятых».


Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число 1931 в десятичную дробь.

Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

3,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.

Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа 1931.  В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа 1931, то есть число 2

3,2

Таким образом, смешанное число 1931 при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.

Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа 1931 находится число 10.


Пример 2. Перевести смешанное число 1932 в десятичную дробь.

Записываем целую часть и ставим запятую:

5,

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1932. А мы видим, что в знаменателе дробной части 1932  два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

1933

Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:

5,

И записываем числитель дробной части:

5,03

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1933  одинаково.

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа 1933 находится число 100.


Пример 3. Перевести смешанное число 1941 в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в  знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа 1941 в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

1942

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:

1943

Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:

3,

и сразу записываем числитель дробной части

3,002

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа 1944 одинаково.

Десятичная дробь 3,002 читается так:

«Три целых, две тысячных»

«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа 1944  находится число 1000.


Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или  10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.

Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 1921 в десятичную дробь.

Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:

0,

Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5

0,5

В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби 1921 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,5 читается так:

«Ноль целых, пять десятых»


Пример 2. Перевести обыкновенную дробь 1951 в десятичную дробь.

Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:

0,

Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид  1952. Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:

0,02

В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби 1952 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,02 читается так:

«Ноль целых, две сотых».


Пример 3. Перевести обыкновенную дробь 1961 в десятичную дробь.

Записываем 0 и ставим запятую:

0,

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби 1961. Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:

1962

Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби 1962

0,00005

В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби  1962 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Десятичная дробь 0,00005 читается так:

«Ноль целых, пять стотысячных».


Перевод неправильных дробей в десятичную дробь

Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.

Пример 1. Перевести неправильную дробь  1971  в десятичную дробь.

Дробь 1971 является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к этому уроку и изучить его.

Итак, выделим целую часть в неправильной дроби 1971 . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10

1972

Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.

1973

Мы получили смешанное число 1974. Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

11,

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части  и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

11,2

В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби  1974 одинаково. Значит дробь переведена правильно.

Значит неправильная дробь 1971 при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2

Десятичная дробь 11,2 читается так:

«Одиннадцать целых, две десятых».


Пример 2. Перевести неправильную дробь 1981  в десятичную дробь.

Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.

В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:

1982

Соберём новое смешанное число — получим 1983 . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.

Записываем целую часть и ставим запятую:

4,

Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе  и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:

4,50

В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби  1983  одинаково. Значит дробь переведена верно.

Значит неправильная дробь 1981 при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50

При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5

Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:

4,50 = 4,5

Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».


Перевод десятичной дроби в смешанное число

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:

6

и рядом три десятых:

1918


Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число

3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых

3

и рядом записываем две тысячных:

3 1991


Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число

4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых

4

и рядом пятьдесят сотых:

1983

Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.

После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в 1983, а десятичная дробь 4,5 обращается в 19101

Имеем два смешанных числа 1983  и  19101. Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:

19102

19103

Теперь имеем две дроби  19104  и  19105. Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.

Давайте разделим первую дробь 19104 на 10

19106

Получили 19105, а это вторая дробь. Значит 19104 и 19105 равны между собой и равны одному и тому же значению:

19104  = 19105

Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.


Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:

0

и рядом три десятых 0 1916 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 01916, а просто 1916.


Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.

0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых

1951


Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь

0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных  1961



Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

18 thoughts on “Десятичные дроби”

  1. все круто, понятно и доступно.
    спасибо. долгий путь до высшей математики предстоит)

  2. Спасибо за сайт! Всё очень понятно. Не понимал что такое дробь уже с пятого класса (щя 2 курс колледжа), прочитав на сайте всё понял, спасибо вам!!!

  3. Огромное спаасибо! Просто, интересно, и очень нужно! Успехов и радости в жизни!

  4. Спасибо вам огромное :)))
    Вначале урока предупредили, что может показаться сложным. Но все просто и понятно как 2 * 2 = 4
    С детства не любил алгебру.
    Спасибо за привитую любовь ;))
    Успехов Вам!!!

  5. Спасибо
    А при переводе десятичной дроби в обыкновенную можно сокращать получившуюся? н-р, 2/100

    1. Если в задании требуют сократить, то сокращаете. Если не требуют, то отставляете как есть

  6. Спасибо вам большое! Таких сайтов очень мало, жаль. Но есть такие люди, которые хотят помочь нам в образовании, спасибо!

  7. Работаю в школе учителем. буду рекомендовать ваш сайт неуспевающим.

    Спасибо за проделанную работу. очень понятное изложение. кому здесь не поможет — я уже тоже видимо не помогу =)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *