Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, десятичные дроби можно сравнивать между собой.

В этом уроке, мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Сложение десятичных дробей

Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые части складываются отдельно и дробные отдельно.

Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Поэтому, запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой».

Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

2011

Начинаем складывать дробные части: 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

2012

Теперь, складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

2013

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

2014

Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

На самом деле, не всё так просто как кажется на первый взгляд. Здесь тоже есть свои колючки и подводные камни о которых мы сейчас поговорим.


Разряды в десятичных дробях

У десятичных дробей, как и у обычных чисел есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных и т.д. При этом разрядность начинается после запятой.

Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

Позиция, где находится тройка называется разрядом десятых

Позиция, где находится четвёрка называется разрядом сотых

Позиция, где находится пятёрка называется разрядом тысячных

2021

Посмотрим на этот рисунок. Видим, что в разряде десятых находится тройка. О чём это говорит? Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых  2022.

Смотрим дальше. В разряде сотых находится четвёрка. О чём это говорит? Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится четыре сотых  2023 .

Смотрим дальше. В разряде тысячных находится пятёрка. О чём это говорит? Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится пять тысячных 2024.

Если мы сложим дроби 20222023  и  2024 то получим изначальную десятичную дробь 0,345

2025

Видно, что сначала мы получили ответ 2026, но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.

При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Именно поэтому, при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой». Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

2031

В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

2032

Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

2033

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого, опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

2034

Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

1,5 + 3,4 = 4,9


Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

2041

В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1 + 2 = 3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

2042

Теперь складываем десятые части 5 + 2 = 7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

2043

Теперь складываем целые части 3 + 1 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

2044

Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

2045

Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73


Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти переполнение разряда. В этом случае, в ответе записывается одна цифра, а остальная переносится на следующий разряд.

Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27

Записываем в столбик данное выражение:

2051

Складываем сотые части 5 + 7 = 12. Двенадцать не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому, в сотой части записываем 2, а единицу переносим на следующий разряд:

2052

Теперь складываем десятые части 6 + 2 = 8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции — получим 9. Записываем девятку в десятой части нашего ответа:

2053

Теперь складываем целые части 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в целой части нашего ответа:

2054

Отделяем запятой целую часть от дробной:

2055

Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92


Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8

Записываем в столбик данное выражение

2061

Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Тринадцать не поместится в дробную часть нашего ответа, поэтому сначала записываем 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

2062

Теперь складываем целые части 9 + 2 = 11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции — получаем 12. Записываем двенадцать в целой части нашего ответа:

2063

Отделяем запятой целую часть от дробной:

2064

Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3


При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обоих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

Пример 5. Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обоих дробях одинаковым. У десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а у дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля — тогда получим 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

2071

Складываем тысячные части 5 + 0 = 5. Записываем пятёрку в тысячной части нашего ответа:

2072

Складываем сотые части 2 + 0 = 2. Записываем двойку в сотой части нашего ответа:

2073

Складываем десятые части 7 + 7 = 14. Четырнадцать не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем 4, а единицу переносим на следующий разряд:

2074

Теперь складываем целые части 12 + 1 = 13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции — получаем 14. Записываем четырнадцать в целой части нашего ответа:

2075

Отделяем запятой целую часть от дробной:

2076

Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+ 1,700 равно 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425


Вычитание десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 — 2,2

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

2081

Вычисляем дробную часть 5 — 2 = 3. Записываем тройку в десятой части нашего ответа:

2082

Вычисляем целую часть 2 — 2 = 0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

2083

Отделяем запятой целую часть от дробной:

2084

Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 — 2,2 равно 0,3

2,5 — 2,2 = 0,3


Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обоих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

2085

Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 — 3,1 равно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253


Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

Пример 3. Найти значение выражения 3,46 — 2,39

2091

Вычитаем сотые части 6 — 9. От шестёрки девятку не отнять. Значит надо занимать единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда 6 обращается в 16. Теперь можно вычислить сотые части 16 — 9 = 7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

2092

Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, этот разряд уменьшился на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не четвёрка, а тройка. 3 — 3 = 0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

2093

Теперь вычитаем целые части 3 — 2 = 1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

2094

Отделяем запятой целую часть от дробной:

2095

Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46 — 2,39 равно 1,07

 3,46 — 2,39 = 1,07


Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.


Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

20101

Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна — итого две цифры.

Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

20102

Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75


Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

20111

Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

20112

Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695


Умножение десятичной дроби на обычное число

Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их не обращая внимания не запятую в десятичной дроби.

Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Например, умножим 2,54 на 2

Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

Получили 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

20122

Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

2,54 × 2 = 5,08


Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

Например, умножим 2,88 на 10

Умножим десятичную дробь 2,88 на 10 не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

20131

Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

20132

Получили ответ 2,880. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88 × 10 равно 28,8

2,88 × 10 = 28,8


Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 2,88 × 10 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

2,88 × 10 = 28,8


Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

2,88 × 100 = 288


Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

2,88 × 1000 = 2880


Умножение десятичных дробей на 0,1  0,01 и 0,001

Умножение десятичных дробей на 0,1,  0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

Например, умножим 3,25 на 0,1

Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

20141

Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого, необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра — итого три цифры.

Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры, мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае, нужно дописать один ноль и поставить запятую:

20142

Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325


Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1,  0,01  и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае, дописываем один ноль и ставим запятую — в итоге получаем 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325


Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1,  0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько цифр сколько нулей во множителе.

А при умножении на 0,1,  0,01 и 0,001 запятая переносится наоборот влево на столько цифр сколько нулей во множителе.

Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом в котором умножение производится как с обычными числами. В ответе надо будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.


Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе  – делитель.

Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь 15182 . Значит, каждому другу достанется по 15182 яблока или другими словами по половинке яблока. Дробь 15182 это ответ к задаче, как разделить одно яблоко на двоих:

20151

Оказывается, можно пойти дальше вглубь этой задачи и разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби 15182 это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь всё наоборот — делимое меньше делителя.

Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит, и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

единица разделить на два

Один на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице», то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

единица разделить на два первое действие

Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

единица разделить на два второе действие

Теперь настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого, справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

единица разделить на два третье действие

Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

единица разделить на два четвёртое действие

Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

единица разделить на два пятое действие

Получили ответ 0,5. Значит дробь 15182  равна 0,5

Половину яблока 15182 можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки 0,5 + 0,5 мы снова получим изначальное одно целое яблоко:201511

 

20158


Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

20159


Пример 2. Найти значение выражения 4 : 5

Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

20161

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

20162

Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого, справа от 4 добавляем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

20163

Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

20164

Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4 : 5 равно 0,8


Пример 3. Найти значение выражения 5 : 125

Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Значит, записываем 0 в частном и ставим запятую:

20171

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

20172

Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого, запишем справа от этой пятёрки ноль:

20173

Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном снова записываем 0

20174

Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

20175

Теперь дробим (делим) число 50 на 125 частей. Для этого, справа от 50 добавим ещё один ноль:

20176

Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

20177

Завершаем пример, умножив 4 на 125 и получив 500

20178

Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5 : 125 равно 0,04


Деление десятичной дроби на обычное число

Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

  • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
  • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

Например, разделим 4,8 на 2

Запишем этот пример уголком:

20181

Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

20182

Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

20183

4 — 4 = 0. Остаток равен нулю. Ноль по традиции не записываем. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

20185

8 : 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

20186

Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8 : 2 равно 2,4


 Пример 2. Найти значение выражения 8,43 : 3

20191

Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

20192

Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

 20193

Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 4

20194

Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

20195

24 — 24 = 0. Остаток равен нулю. Ноль по традиции не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить это пример.

20196

Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43 : 3 равно 2,81

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

Например, разделим 5,95 на 1,7

Запишем уголком данное выражение

20201

Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

20202

После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет труда:

20203


Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Например, рассмотрим выражение 9 : 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Как видно из примера, частное не поменялось.

Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

На самом деле, внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

5,91 × 10 = 59,1

1,7 × 10 = 17

Поэтому, от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.


Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на обычное число. Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

20211

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 2,1 : 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае, перед двойкой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

2,1 : 10 = 0,21


Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

2,1 : 100 = 0,021


Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

2,1 : 1000 = 0,0021


Деление десятичной дроби на 0,1,  0,01  и  0,001

Деление десятичной дроби на 0,1,  0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на десятичную дробь. В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь, перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

63 : 1 = 63

Значит значение выражения 6,3 : 0,1 равно 63

6,3 : 0,1 = 63

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 6,3 : 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

6,3 : 0,1 = 63


Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае, в конце нужно дописать ещё один ноль. В итоге, получим 630

6,3 : 0,01 = 630


Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

6,3 : 0,001 = 6300


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Действия с десятичными дробями: 10 комментариев

  1. Отличные уроки! С нетерпением жду последующих. Ваши уроки мне очень-очень помогают. Спасибо за такой чудесный сайт :з

  2. Как делить не только эти числа 59,09 : 22 но и надо на 56,9 : 6,79=? Так какой ответ будит?

    1. Вы где взяли этот пример? Из какого учебника? Иль сами написали?

      В делимом и в делителе перенесите запятую вправо на две цифры. Тогда получите выражение 5690 : 679.

      Что касается ответа, то в результате деления 5690 на 679 получается иррациональное число 8,37997…(хвост обрублен т.к. он бесконечен). Иррациональные числа в данном уроке не рассматриваются. Они будут рассмотрены в будущем через несколько уроков.

      Деление 56,9 на 6,79 продолжается бесконечно…
      Выглядит это примерно так:

  3. При умножении десятичной дроби 2,88 на 100, сначала получается 288,0 и вы отбросили ноль, так? Или сразу получается 288?

  4. Почему, при делении 1,7 на 0,1 получается большое число 17? Ведь эти две десятичные дроби меньше 17?

    1. Тимур, это происходит потому что число 1,7 делят на 0,1 частей. Получается ответ, что в числе 1,7 семнадцать 0,1 частей.

      0,1 это очень маленькое число.

      Найди дома линейку. Представь, что 1,7 это один сантиметр и семь миллиметров, а 0,1 это один миллиметр. Если спросить сколько миллиметров в 1,7 сантиметрах, то можно насчитать ровно 17 миллиметров

  5. Благодарю за безценные уроки! Всегде в школе перебивалась с тройки на четвёрку, а судя по тому, как щёлкаю примеры на Вашем сайте у меня большие способности к математике и всё быстро вспомнила (хотя 18 лет прошло). Решила проверить правда ли у меня нет способностей к математике и сейчас радуюсь как ребёнок своим успехам. Математика — это так интересно, а я её всегда ненавидела.

  6. Большинство ошибок зачастую связано с азами. Забыл поставить минус, неправильно сократил дробь, забыл перенести запятую, неправильно раскрыл скобки… и так далее. Даже в ВУЗе студенты не умеют обыкновенные дроби складывать. Начала математики очень важны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *