Рациональные числа

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби  a разделить на b , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. При чем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

  • целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
  • обыкновенные дроби (например одна втораяодна третьятри четвёртых  и т.п.)
  • смешанные числа (например две целых одна втораяодна целая две третьихминус две целых одна третья  и т.п.)
  • десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
  • бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби a разделить на b .

Примеры:

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби две первых . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.


Пример 2. Смешанное число две целых одна вторая может быть представлено в виде дроби пять вторых. Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Значит смешанное число две целых одна вторая относится к рациональным числам.


Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби две десятых . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби две десятых , значит она тоже относится к рациональным числам.


Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби три девятых. Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби три девятых , значит она тоже относится к рациональным числам.


В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество точек. Выглядит следующим образом:

Координатная прямая

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5. В дальнейшем, фрагменты координатной прямой мы будем называть отрезками.

Отметить на координатной прямой целые числа вида, 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число одна вторая . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

одна вторая на координатной прямой

Попробуем понять, почему дробь одна вторая вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

координатная прямая от нуля до единицы

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь одна вторая, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь одна вторая расположилась именно там.

Дробь одна вторая означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

единица разделить на два пятое действие

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби одна вторая умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь четыре восьмых, а эта дробь также как и одна вторая равна 0,5

четыре разделить на восемь равно ноль целых пять десятых

А значит на координатной прямой дробь четыре восьмых можно расположить там же, где и располагалась дробь одна вторая

четыре восьмых на координатной прямой


Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число три вторых. Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

три вторых на координатной прямой

Значение дроби три вторых равно 1,5

три разделить на два будет одна целая пять десятых

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

координатная прямая от единицы до двух

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь три вторых, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.


Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

координатная прямая от нуля до одной десятой до двух десятых

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

координатная прямая от нуля до нуля одной десятой


Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число Одна пятидесятая. Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

одна пятидесятая на координатной прямой

Значение дроби Одна пятидесятая равно 0,02

единица разделить на пятьдесят равно ноль целых две сотых

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число Одна пятидесятая

одна пятидесятая на координатной прямой от 0 до 0,1

Видно, что наше рациональное число Одна пятидесятая расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.


Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

ноль целых и три в периоде на координатной прямой

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.


Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число две целых одна вторая . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

две целых и одна вторая на координатной прямой

две целых одна вторая это есть 2 (две целых) и одна вторая (одна вторая). Дробь одна вторая по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число две целых одна вторая в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь пять вторых . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь две целых одна вторая

пять вторых на координатной прямой

Значение дроби пять вторых равно 2,5

пять разделить на два будет одна целая пять десятых

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Пять вторых на координатной прямой от двух до трех

Видно, что наше рациональное число пять вторых расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5


Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

(−6) : 2 = −3

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6 : (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

минус шесть разделить на два равно минус три

шесть разделить на минус два равно минус три

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

минус шесть разделить на два или минус шесть вторых равно минус три

шесть разделить на минус два или минус шесть вторых равно минус три

Поэтому между выражениями  минус шесть разделить на два    и шесть разделить на минус два    и  минус шесть вторых  можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

минус шесть разделить на два равно шесть разделить на минус два равно минус шесть вторых

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа одна вторая противоположным числом является минус одна вторая . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению одна вторая  относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

минус одна вторая и одна вторая на координатной прямой

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число две целых одна вторая  в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

(2 × 2) + 1

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

пять вторых

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби пять вторых

выделение целой части в дроби пять вторых

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь минус пять вторых . Выделим в этой дроби целую часть. Получим минус две целых одна вторая

выделение целой части в дроби минус пять вторых

Чтобы вернуть изначальную дробь минус пять вторых нужно перевести смешанное число минус две целых одна вторая  в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Мы получили дробь минус три вторых , а должны были получить дробь минус пять вторых .

Делаем вывод, что смешанное число минус две целых одна вторая  в неправильную дробь переведено неверно

минус две целых одна вторая

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

правильный перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая является противоположным для смешанного числа две целых одна вторая . Если положительное смешанное число две целых одна вторая располагается в правой части и выглядит так

две целых и одна вторая на координатной прямой

то отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая будет располагаться в левой части симметрично две целых одна вторая относительное начала координат

Минус две целых одна вторая и две целых и одна вторая на координатной прямой

И если две целых одна вторая читается как «две целых и одна вторая», то минус две целых одна вторая читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и минус одна вторая располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число две целых одна вторая в развёрнутом виде записывается как два плюс одна вторая.

А отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая записывается как минус две целых минус одна вторая

Теперь мы можем понять, почему смешанное число минус две целых одна вторая расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

минус два на координатной прямой

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на минус одна вторая шага. А поскольку значение минус одна вторая равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

минус два и минус одна вторая на координатной прямой

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

минус две целых и минус одна вторая на координатной прямой


Пример 2. Выделить в неправильной дроби минус двадцать семь пятых целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби минус двадцать семь пятых целую часть

Выделение целой части в дроби минус двадцать семь пятых

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число минус пять целых две пятых в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь


Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно  смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число минус пять целых две пятых в неправильную дробь

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь решение со скобками


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Рациональные числа: 5 комментариев

  1. Было бы лучше, чтоб после каждого шага было много задач. Так как без задач, не возможно закрепление и запоминание темы. Только ни в коем случае «один вопрос и пять вариантов ответа». Человек решая, должен быть уверен, что правильно решил задачу.

    1. Вы правы, без задач невозможно закрепление материала. Ведь именно решение задач развивает то самое математическое мышление, а не понимание какой-либо темы.

  2. С большим удовольствием прошёлся по материалу и освежил знания. Жаль нет продолжения. Очень всё доходчиво, спасибо.

  3. Здравствуйте admin! С большим удовольствием повторил математику, скажите пожалуйста какие дальше темы?Очень нужно экспрессом к вышке добраться

    1. Здравствуйте, Холин. Следующая тема это сравнение рациональных чисел, а также действия с рациональными числами. К сожалению, быстро добраться до высшей математики вряд-ли получится. Нужно пройти ещё много тем и потренироваться, решив несколько сотен задач.

      Исключением пожалуй будет то, если вы быстро схватываете материал. В этом случае вы можете пойти в библиотеку и взять несколько учебников. Самостоятельное обучение — лучшее обучение в мире 😉 Прочитайте эту статью на Википедии, как пример.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *