Смешанные числа

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же, как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь одна вторая. Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби две первых . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

два прибавить одну вторую будет две целых одна вторая

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит как два плюс одна вторая, а конец как две целых одна вторая. Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь одна вторая соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что две целых одна вторая это свёрнутая форма записи смешанного числа, а два плюс одна вторая — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида две целых одна вторая , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения два плюс одна вторая равно две целых одна вторая

два плюс одна вторая будет две целых и одна вторая

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и половина пиццы:

две целых плюс половина решение в пиццах


Пример 2. Найти значение выражения 152

Представим число 3 в виде дроби 1522. Затем складываем дроби с разными знаменателями:

1523

Это первый способ. Второй способ намного легче. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть, опустить знак сложения:

1526


Пример 3. Найти значение выражения две плюс две пятых

Можно записать вместе число 2 и дробь пять вторых, но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби пять вторых можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби пять вторых . Пять вторых это две целых и одна вторая:

выделение целой части в дроби пять вторых

Теперь в главном выражении две плюс две пятых вместо дроби пять вторых запишем смешанное число две целых одна вторая

две плюс две пятых шаг 2

Получили новое выражение два плюс две целых одна вторая. В этом выражении смешанное число две целых одна вторая запишем в развёрнутом виде:

два плюс два плюс одна вторая

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки:

четыре плюс половина

Теперь свернем полученное смешанное число:

четыре плюс половина сворачивание

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

две плюс две пятых окончательное решение


Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения 1531. Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по-отдельности.

Эти два смешанных числа записаны в свёрнутом виде. Чтобы хорошо понять, как складывать смешанные числа, запишем их в развёрнутом виде:

1532

Применим сочетательный закон сложения, который позволяет группировать слагаемые. Сгруппируем целые и дробные части по-отдельности:

2 plus 3 plus 1 na 2 plus 1 na 8

Вычислим целые части: 2+3=5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2+3) на полученную пятёрку:

5 plus 1 na 2 plus 1 na 8

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как вычислять такие дроби мы уже знаем:

1535

Получили  1536 . Теперь в главном выражении 5 plus 1 na 2 plus 1 na 8 заменяем дробные части на полученную дробь 1536

1537

Теперь свернем полученное смешанное число:

1538

Таким образом, значение выражение 1531 равно 1539. Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и еще пять восьмых пиццы:

5 plus 1 na 2 plus 1 na 8 pic

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

15310

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.


Пример 2. Найти значение выражения 15311

Запишем данное выражение в развёрнутом виде:

1541

Сгруппируем целые и дробные части по-отдельности:

1542

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

1543

Теперь вычислим дробные части:

1544

Получили смешанное число 1545. Теперь заменяем в главном выражении скобки на наше полученное смешанное число 1545:

1546

Получили выражение 8 плюс 1545. В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа 1545 . Для этого смешанное число 1545 можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

1547

Группируем целые части:

1548

Складываем целые части. Получаем 9

1549

Сворачиваем готовый ответ:

1550

Таким образом, значение выражения 15311 равно 1551.

Полное решение выглядит следующим образом:

1552


Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

  • привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
  • отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.


Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число 1561 . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

1562

Здесь дробь 1561 была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ 1563.

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получится пять целых и треть пиццы:

2 plus 3 na 1 na 3 pic


Пример 2. Найти значение выражения 1564

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

1573

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть 1574  представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

1575


Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, найти значение выражения 1581. В этом случае целое число 2 нужно представить в виде дроби 14167 , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

1582


Пример 2. Найти значение выражения 1591

Представим число 3 в виде дроби 1592. Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

1593


Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения пять минус одна целая и одна вторая .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число одна целая и одна вторая перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа одна целая и одна вторая в неправильную дробь, получим дробь 15123. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

15124

 


Пример 2. Найти значение выражения 15131

Представим 6 в виде дроби 15132 , а смешанное число 15133, в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа 15133  в неправильную дробь, получим дробь 15134. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

15135


Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдем значение выражения: 15141

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа 15142 и 15143 перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

15144


Пример 2. Найти значение выражения 15141

Переводим смешанные числа 15142 и 15143 в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

15144


К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, где нам ходить еще рано.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.


Умножение целого числа на дробь

Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого достаточно умножить это число на числитель дроби.

Например, умножим число 5 на дробь одна вторая. Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби одна вторая

15151

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

15152


Пример 2. Найти значение выражения 15161

Умножим число 3 на числитель дроби 15163

15162

В ответе получилась неправильная дробь 15164, но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также можно было бы сократить эту дробь. Мы всё равно получили бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

15165


Пример 3. Найти значение выражения 15171

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

15172


Пример 4. Найти значение выражения 15181

Умножим число 3 на числитель дроби 15182

15183


Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить 15122 и 15133.  Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполнить умножение неправильных дробей:

15191

В ответе получилась неправильная дробь. Выделить в ней целую часть:

15192


Пример 2. Найти значение выражения 15201

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, то выделим в ней целую часть:

15202


Пример 3. Найти значение выражения 15211

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, то выделим в ней целую часть:

15212


Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на 15182. Здесь 3 — это делимое, а 15182 — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную делителю 15182. Обратная дробь для делителя 15182  это дробь 15221. Поэтому умножаем число 3 на 15221

15222


Пример 2. Найти значение выражения 15232

Чтобы решить этот пример, нужно умножить число 5 на дробь, обратную делителю 15233. Обратная дробь для делителя 15233 это дробь 15234. Поэтому умножаем число 5 на 15234

15231


Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим дробь 15241 на число 2. Здесь дробь 15241 — это делимое, а число 2 — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно дробь 15241 умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь 15182. Поэтому нужно умножить 15241 на 15182

15242


Пример 2. Найти значение выражения 15251

Умножаем первую дробь 15252 на число, обратное делителю 3. Обратное делителю 3 это дробь 15253. Поэтому нужно умножить 15252 на 15253

15254

Получили ответ 15255. Эту дробь можно сократить. А мы знаем, что если в ответе получается сократимая дробь, то желательно её сокращать. Дробь 15255 сокращается на 3

15256


Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 3 на 15262.

Чтобы решить этот пример, нужно делитель 15262 перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 3 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель 15262  в неправильную дробь, получим 15263. Затем умножим 3 на дробь, обратную дроби15263.  Обратная для дроби 15263 это дробь 15264. Поэтому умножим число 3 на дробь 15264

15266

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

15267


Пример 2. Найти значение выражения 15268

Переводим делитель 15271 в неправильную дробь, получаем 15269. Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби 15269. Обратная для дроби 15269  это дробь 15272 . Поэтому умножаем число 5 на дробь 15272

152610

Сначала мы получили ответ 152611, затем сократили эту дробь на 5, и получили 152612, но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой дроби целую часть. В результате получили ответ 152613.


Деление смешанного числа на целое число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить смешанное число на целое число. Например, разделим 15281 на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое 15281 перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту неправильную дробь на число, обратное делителю.

Переведём делимое 15281 в неправильную дробь, получим 15233. Теперь умножаем 15233 на число, обратное делителю 2. Обратное делителю число это дробь 15182. Поэтому умножаем 15233 на 15182

15284

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

15283


Пример 2. Найти значение выражения 15291

Переведём делимое 15292 в неправильную дробь, получим 15293. Теперь умножаем 15293 на число, обратное делителю 4. Обратное делителю 4 это дробь 15294. Поэтому умножаем 15293  на 15294

15295

Дробь 15296 можно сократить. Сократить ее можно на 4

15297


Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть, умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения 15301

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

15302

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь 15303 нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби 15305 это дробь 15304 . Поэтому нужно умножить 15303 на 15304

15306


Пример 2. Найти значение выражения 15311

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

15312

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби  15313 это дробь 15314. Поэтому умножаем 15315 на 15314

15316

Сначала мы получили дробь15317. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь 15318, но этот ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби 15318 целую часть. В результате получили ответ 15319.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

38 thoughts on “Смешанные числа”

  1. Добрый день!
    Большое спасибо авторам сайта. Математика изложена действительно «с нуля». Давно искала источник, где материал был бы изложен подобным образом. Скажите пожалуйста, постепенно будет изложен весь курс элементарной математики, а затем и высшей?

    1. Здравствуйте.
      А будете ли вы выкладывать здесь занятия по геометрии или только арифметика и алгебра?

        1. Как я понимаю, здесь материал охватывает 5-6 классы математики. Скажите, а планируете алгебру (с 7 класса) рассматривать так же подробно?

    2. Здравствуйте Admin этот курс очень развернутый и понятный спасибо большое!))
      У меня вопрос вы делаете это бесплатно??
      Если да то почему?

  2. смешанное число переводят в неправильную дробь, и дальше надо будет сложить первую обыкновенную дробь и вторую которую перевели из смешанного числа в неправильную дробь

  3. А ещё, кажется, можно так вычитать:
    5 — 3,3/5 = 4,5/5 — 3,3/3 = 1,2/5
    Тут коряво получается, правда, но думаю, так проще — представить единичку в виде дроби с таким же знаменателем.

  4. Здравствуйте админ, у меня вопрос: чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, можно ли сразу числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби?. Точно также и второй дробью. Н-р, можно ли сразу так привести к одинаковому знаменателю 18/19+9/13=18×13/19×13+9×19/13×19?

  5. При выделении целой части у дроби 45/40, у меня получается 1 целых, 15/40. В онлайн таблице, это дробь упрощается и получается дробь 1 целых, 1/8. У кого ответ правильный, у меня или у онлайн таблицы?

    1. При выделении целой части у дроби 45/40 должна получиться 1 целая и 5/40. Целую часть оставляете как есть, а дробную сокращаете на 5, тогда получаете 1 целую и 1/8.

    1. Пожалуйста, скажите, когда будут новые уроки ?? уже 4 месяца прошло(( Не бросайте проект

  6. Добрый вечер. Для начала хотелось высказать огромное спасибо, за такой чудесный сайт. С математикой я никогда не ладила, что в школе, что в колледже. А тут, если честно, мня так увлекло и понравилось, что всё конспектирую)))
    Такой вопрос, при сокращении/выделении целой части у вас сначала сокращается, а потом уже выделяется целая часть. А меня всё время тянет сначала выделить, а потом сократить, такой вариант считается ошибочным?:
    72/45 = 1 27/45= 1 3/5?

    1. Мурад, это ещё один способ приведения дробей к общему знаменателю. Способ рабочий и его можно применять, но в результате его применения часто получаются большие числа, с которыми неудобно работать. Но иногда это оправдано, особенно когда в знаменателях дробей находятся простые числа:

      null

  7. теперь ясно , спасибо . У меня с мат. вообще плохо на самом деле) решал пример недавно ,попались дроби с разными знаменателями , длинющие просто . Не подскажете как легче всего найти общий знаменатель ? Вернее как найти НОД . если перемножить оба знаменателя не пойдет?

  8. Здравствуйте. Начал изучать математику на Вашем сайте, потому что через 4 месяца у меня экзамен.

    Планируется ли добавление тем по тригонометрии?

  9. Благоданствую, сайт объясняет все доходчиво и по полочкам. Вы писали , что если пропустить несколько тем по математике, то дальнейшее изучение будет сложновато! И вы правы!
    В школьные годы я попросту считал, что математика мне не пригодится, но увы, я ошибался!
    И благодаря вашему сайту, я узнал то, что пропустил мимо ушей в школьные годы!
    Учиться никогда не поздно!
    Еще раз Спасибо!!

  10. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
    700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?
    помогите пожалуйста!

  11. Здравствуйте! Замечательный сайт, все доходчиво объясняется. Спасибо вам за столь большую работу). Единственное чего не хватает это примеры или же какие нибудь задачи для закрепления материала. Было бы хорошо если имелось возможность без лишних поисков в интернете (на что я сам трачу кучу времени) закрепить изученное по каждой теме на той же странице ну или как-то так)). Еще раз СПАСИБО вам огромное))

  12. Здравствуйте!В первом примере второй темы по моему мнению ошибка. Предложено най ти решение примера 2+1/2+3+1/8 . Мне кажется взят не верный НОК. Нок 1/2 и1/8 это 16. Если я правильно поннимаю то НОК не может быть меньше этих чисел , а вы взяли за НОК 4,хотя это и не влияет на результат примера но путает. Проверьте пож. Спасибо)

  13. Здравствуйте! В умножении смешанных чисел в первом примере результат выражения равен 8 целых, 3/6. Можно ли сокращать дробную часть в смешанных числах? Т.е. до 8 целых, 1/2 (3/6 сократить на 3)? Благодарю за ответ!

  14. Здравствуйте! Ваши уроки ооочень помогли мне,хотя математику я вообще не понимала, скажите,когда будут следующие уроки?
    Надеюсь вы не перестанете этим заниматься..

  15. Здравствуйте!Огромное спасибо за ваши уроки!)Не каждый репетитор обьяснит на столько доступно!)У меня всегда были проблемы с математикой((((Но сейчас мне даже очень интересно!)

  16. Спасибо вам за супер урок.Я в школе это все учил,но потом не использовал поэтому забыл, а сейчас когда читаю все вспоминаю. Надо признаться ваши уроки number One 🙂

  17. Добрый день,как поступать если целое число с сотыми,например 2,34-3/50= у меня при решении этого примера получилось 6 а в ответе решебника 2,28

    1. Добрый.
      Как вам удобнее.. Можете перевести десятичную дробь в обыкновенную и далее вычислить, как показано в уроке:

      null

      Либо так:

      null

      Либо самый практичный вариант — перевести вторую дробь в десятичную и получить простое выражение:

      null

  18. А чего так мало заданий, для самостоятельного решения, только по сложению.

  19. Спасибо! Мне кажется для самостоятельного решения нужно больше заданий написать) тема сложная, поэтому нужно тренироваться

  20. все прекрасно, но мало заданий для самостоятельного решения, а материал без практики не усвоится нормально. надеюсь вы не забросили это дело и в скором времени будете дополнять сайт и перейдете в высшую математику!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *