Смешанные числа

В одном из предыдущих уроков, который назывался дроби, мы сказали что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, которые имеют целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа также как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке, мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Надеемся, что вы досконально изучили все предыдущие уроки. Настоятельно не советуем вам изучать данный урок, если вы полностью не поняли все предыдущие уроки. В противном случае, вы поставите крест на своей математике.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь одна вторая. Для того, чтобы решить этот пример, надо число 2 представить в виде дроби две первых . Затем сложить дроби у которых разные знаменатели:

два прибавить одну вторую будет две целых одна вторая

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Посмотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так:

два плюс одна вторая

А конец вот так:

две целых одна вторая

Различие в том, что в первом случае «двойка» и «одна вторая» соединяются значком плюс (+), а во втором случае они записаны вместе. На самом деле, это одно и то же. Дело в том, что две целых одна вторая  это свёрнутая форма записи смешанного числа, а два плюс одна вторая это развёрнутая форма записи.

Когда перед нами стоит смешанное число вида две целых одна вторая , мы должны понимать, что знак сложения «опущен», но на самом деле он существует.

Какой вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно просто опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения два плюс одна вторая равно две целых одна вторая

два плюс одна вторая будет две целых и одна вторая


Пример 2. Найти значение выражения 152

Представим число 3 в виде дроби 1522. Затем складываем дроби у которых разные знаменатели:

1523

Это первый способ. Второй способ намного легче. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. Другими словами, опустить знак сложения:

1526


Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения 1531.  В этом случае, целые части складываются отдельно, а дробные отдельно.

Эти два смешанных числа записаны в свёрнутом виде. Чтобы лучше понять, как складывать смешанные числа, давайте запишем их в развёрнутом виде:

1532

Теперь применим наш любимый сочетательный закон сложения, который позволяет группировать слагаемые. Давайте сгруппируем целые части отдельно и дробные отдельно:

1533

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. Заменяем скобки (2 + 3) на полученную пятёрку:

1534

Теперь вычисляем дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как вычислять такие дроби мы уже знаем. Вычислим дробные части:

1535

Получили  1536 . Теперь в главном выражении 1534 заменяем дробные части на полученную дробь 1536:

1537

А что делать теперь мы уже знаем. Надо просто свернуть полученное смешанное число:

1538

Таким образом, значение выражение 1531 равно 1539.

Обычно, подобные примеры решают быстро, не останавливаясь на подробностях. Например, находясь в школе или в вузе, нам пришлось бы записать решение этого примера вот так:

15310

Если в будущем увидите такое сокращённое решение — не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.


Пример 2. Найти значение выражения 15311

Запишем данное выражение в развёрнутом виде:

1541

Сгруппируем целые части отдельно и дробные отдельно:

1542

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. Заменяем в главном выражении скобки на полученную восьмёрку:

1543

Теперь вычисляем дробные части:

1544

Получили смешанное число 1545. Теперь заменяем в главном выражении скобки на наше полученное смешанное число 1545:

1546

Получили выражение 8 плюс 1545. В данном случае, 8 надо прибавить к целой части 1545 . Для этого, смешанное число 1545 можно временно развернуть, чтобы было понятнее , что с чем складывать:

1547

Сгруппируем целые части:

1548

Складываем целые части, получаем 9:

1549

Сворачиваем готовый ответ:

1550

Таким образом, значение выражения 15311 равно 1551.

Полное решение выглядит следующим образом:

1552


Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

  • привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
  • отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если человек полностью понимает суть темы. Решение «по-шаблону», поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.


Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число 1561 . В этом случае, целые части складываются отдельно, а дробная часть так и остаётся:

1562

Здесь дробь 1561 была развёрнута в самом ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены, и в конце целая часть и дробная были свёрнуты. В итоге, получили ответ 1563.


Пример 2. Найти значение выражения 1564

В этом примере, также как и в предыдущем, нужно сначала сложить целые части:

1573

Осталось свернуть целую часть и дробную, но дело в том, что дробная часть 1574  представляет из себя неправильную дробь. В этом случае, сначала надо выделить целую часть у этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить как есть. Продолжим этот пример на новой строке:

1575


Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, найти значение выражения 1581. В этом случае, целое число 2 надо представить в виде дроби 14167 , и осуществить вычитание дробей с разными знаменателями:

1582


Пример 2. Найти значение выражения 1591

Представим число 3 в виде дроби 1592. Затем осуществим вычитание дробей с разными знаменателями:

1593


Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Например, найдём значение выражения пять минус одна целая и одна вторая .

Чтобы решить это пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число одна целая и одна вторая перевести в неправильную дробь. После перевода одна целая и одна вторая в неправильную дробь, получаем дробь 15123. Далее осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

15124

 


Пример 2. Найти значение выражения 15131

Представим 6 в виде дроби 15132 , а смешанное число 15133, в виде неправильной дроби. После перевода 15133  в неправильную дробь, получаем дробь 15134. Далее осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

15135


Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найти значение выражения: 15141

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа 15142 и 15143 перевести в неправильные дроби, затем осуществить вычитание дробей с разными знаменателями:

15144


Пример 2. Найти значение выражения 15141

Переводим смешанные числа 15142 и 15143 в неправильные и осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

15144


К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей,  к которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого — а это может выкинуть нас в поле отрицательных чисел, куда нам заходить пока рано.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо, оно не такое сложное как сложение и вычитание.


Умножение целого числа на дробь

Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого, достаточно умножить это число на числитель дроби.

Например, умножить число 5 на дробь одна вторая. Чтобы решить это пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби одна вторая

15151

В ответе получилась неправильная дробь, значит нужно выделить её целую часть. Выделяем:

15152


Пример 2. Найти значение выражения 15161

Умножаем 3 на числитель дроби 15163

15162

В ответе, получилась неправильная дробь 15164, но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также можно было бы сократить эту дробь, т.е. разделить числитель и знаменатель этой дроби на НОД числителя и знаменателя (НОД 6 и 3). Мы всё равно получили бы тот же ответ. Выглядело бы это так:

15165


Пример 3. Найти значение выражения 15171

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

15172


Пример 4. Найти значение выражения 15181

Умножаем число 3 на числитель дроби 15182

15183


Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить 15122 и 15133.  Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем осуществить умножение этих неправильных дробей:

15191

В ответе получилась неправильная дробь. В ней можно выделить целую часть. Выделяем:

15192


Пример 2. Найти значение выражения 15201

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь — выделим её целую часть:

15202


Пример 3. Найти значение выражения 15211

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь — выделим её целую часть:

15212


Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. Ничего нового. Мы это прошли ещё в прошлом  уроке.

Например, разделить 3 на 15182. Здесь 3 — это делимое, а 15182 — это делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно 3 умножить на дробь обратную делителю 15182. Обратная дробь для делителя  15182 — это дробь 15221. Значит умножаем 3 на 15221

15222


Пример 2. Найти значение выражения 15232

Чтобы решить этот пример, нужно умножить 5 на дробь обратную делителю 15233. Обратная дробь для делителя 15233 это дробь 15234. Значит умножаем 5 на 15234

15231


Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Например, разделить 15241 на 2. Здесь 15241 — это делимое, а 2 — это делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно 15241 умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь 15182. Значит нужно умножить 15241 на 15182

15242


Пример 2. Найти значение выражения 15251

Умножаем первую дробь 15252 на число, обратное делителю 3. Обратное делителю 3 это дробь 15253. Значит нужно умножить 15252 на 15253

15254

Получили ответ 15255. Эта дробь сокращается. А мы знаем, что если в ответе получается сократимая дробь, то её желательно сокращать. Также желательно выделять целую часть, если в ответе получается неправильная дробь.

В нашем случае, дробь 15255 сокращается на 3. Сокращаем:

15256


Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, 3 разделить на 15262.

Чтобы решить этот пример, нужно делитель 15262 перевести в неправильную дробь. Затем, умножить 3 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель 15262  в неправильную дробь — получим 15263. Затем умножим 3 на дробь, обратную дроби 15263.  Обратная для дроби 15263 это дробь 15264. Значит, чтобы найти значение выражения 15265, нужно умножить 3 на 15264

15266

В ответе получилась неправильная дробь, значит нужно выделить её целую часть. Выделяем:

15267


Пример 2. Найти значение выражения 15268

Переводим делитель 15271 в неправильную дробь — получаем 15269. Теперь умножаем 5 на дробь обратную 15269. Обратная для дроби 15269  это дробь 15272 . Значит умножаем 5 на 15272

152610

Сначала мы получили ответ 152611, затем сократили эту дробь на 5, и получили 152612, но этот ответ нас тоже не устроил, потому что он представлял собой неправильную дробь, и мы выделили в этой дроби целую часть. В итоге, получили ответ 152613.


Деление смешанного числа на целое число

Встречаются дроби, в которых требуется разделить смешанное число на целое число. Например, разделить 15281 на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое 15281 перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту неправильную дробь на число, обратное делителю.

Переведём делимое 15281 в неправильную дробь — получим 15233. Теперь умножаем 15233 на число, обратное делителю 2. Обратное делителю число это дробь 15182. Значит умножаем 15233 на 15182

15284

В ответе получилась неправильная дробь, значит нужно выделить её целую часть. Выделяем:

15283


Пример 2. Найти значение выражения 15291

Переведём делимое 15292 в неправильную дробь — получим 15293. Теперь умножаем 15293 на число обратное делителю 4. Обратное делителю 4 это дробь 15294. Значит умножаем 15293  на 15294

15295

Ответ 15296 нужно сократить. Сократить эту дробь можно на 4, потому что НОД {16 и 20} это 4

15297


Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем осуществить обычное деление дробей — то есть, умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения 15301

Переведём смешанные числа в неправильные дроби — получим следующее выражение:

15302

А как решать дальше мы уже знаем. Нужно первую дробь 15303 умножить на дробь, обратную второй. Обратная для дроби 15305 это дробь 15304 . Значит нужно умножить 15303 на 15304

15306


Пример 2. Найти значение выражения 15311

Переведём смешанные числа в неправильные дроби — получим следующее выражение:

15312

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби  15313 это дробь 15314. Значит умножаем 15315 на 15314

15316

Сначала мы получили ответ 15317, и этот ответ мы сократили на 9 (потому что НОД 72 и 45 это 9) В результате сокращения, получили ответ 15318, но этот ответ нас тоже не устроил и мы выделили в нём целую часть. В итоге, получили ответ 15319.



Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Смешанные числа: 29 комментариев

  1. Добрый день!
    Большое спасибо авторам сайта. Математика изложена действительно «с нуля». Давно искала источник, где материал был бы изложен подобным образом. Скажите пожалуйста, постепенно будет изложен весь курс элементарной математики, а затем и высшей?

    1. Здравствуйте, Анна!
      Спасибо, что посетили наш сайт! Да, планируется изложить всю элементарную математику (весь школьный курс). Затем, если людям будет польза от наших уроков, мы начнём размещать материалы по высшей математике.

  2. смешанное число переводят в неправильную дробь, и дальше надо будет сложить первую обыкновенную дробь и вторую которую перевели из смешанного числа в неправильную дробь

  3. А ещё, кажется, можно так вычитать:
    5 — 3,3/5 = 4,5/5 — 3,3/3 = 1,2/5
    Тут коряво получается, правда, но думаю, так проще — представить единичку в виде дроби с таким же знаменателем.

  4. Здравствуйте админ, у меня вопрос: чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, можно ли сразу числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби?. Точно также и второй дробью. Н-р, можно ли сразу так привести к одинаковому знаменателю 18/19+9/13=18×13/19×13+9×19/13×19?

  5. При выделении целой части у дроби 45/40, у меня получается 1 целых, 15/40. В онлайн таблице, это дробь упрощается и получается дробь 1 целых, 1/8. У кого ответ правильный, у меня или у онлайн таблицы?

    1. При выделении целой части у дроби 45/40 должна получиться 1 целая и 5/40. Целую часть оставляете как есть, а дробную сокращаете на 5, тогда получаете 1 целую и 1/8.

  6. Добрый вечер. Для начала хотелось высказать огромное спасибо, за такой чудесный сайт. С математикой я никогда не ладила, что в школе, что в колледже. А тут, если честно, мня так увлекло и понравилось, что всё конспектирую)))
    Такой вопрос, при сокращении/выделении целой части у вас сначала сокращается, а потом уже выделяется целая часть. А меня всё время тянет сначала выделить, а потом сократить, такой вариант считается ошибочным?:
    72/45 = 1 27/45= 1 3/5?

    1. Добрый! И вам спасибо)
      Общепринято сначала сокращать (если сокращается), а потом выделять целую часть:

      null

      Но ваш вариант тоже является правильным, т.к. вы не выходили за рамки основного свойства дроби. Вы сначала выделили целую часть, а затем досократили дробную:

      null,

      что в принципе указывает на то, что тему вы поняли 😉

    1. Мурад, это ещё один способ приведения дробей к общему знаменателю. Способ рабочий и его можно применять, но в результате его применения часто получаются большие числа, с которыми неудобно работать. Но иногда это оправдано, особенно когда в знаменателях дробей находятся простые числа:

      null

  7. теперь ясно , спасибо . У меня с мат. вообще плохо на самом деле) решал пример недавно ,попались дроби с разными знаменателями , длинющие просто . Не подскажете как легче всего найти общий знаменатель ? Вернее как найти НОД . если перемножить оба знаменателя не пойдет?

  8. Здравствуйте. Начал изучать математику на Вашем сайте, потому что через 4 месяца у меня экзамен.

    Планируется ли добавление тем по тригонометрии?

    1. Здравствуйте.
      Планируется, но не скоро.. В вашем случае лучше обратиться к репетитору. Тех материалов, которые сейчас на сайте, маловато для сдачи экзамена

  9. Здравствуйте! Спасибо, очень эффективно. Были бы такие же сервисы и для других дисциплин.

    Деление смешанных чисел, пример 1, там опечатка небольшая вроде бы. Когда перевели в неправильную дробь оба смешанных числа. Не 5/4, а 5/2

  10. Благоданствую, сайт объясняет все доходчиво и по полочкам. Вы писали , что если пропустить несколько тем по математике, то дальнейшее изучение будет сложновато! И вы правы!
    В школьные годы я попросту считал, что математика мне не пригодится, но увы, я ошибался!
    И благодаря вашему сайту, я узнал то, что пропустил мимо ушей в школьные годы!
    Учиться никогда не поздно!
    Еще раз Спасибо!!

  11. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
    700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?
    помогите пожалуйста!

    1. На неделю 700 листов.
      На восемь недель — 700*8=5600 листов.
      Раскидываем 5600 листов по пачкам: 5600:250=22,4
      Значит потребуется 22 целые пачки и еще 0,4 пачки. Но поскольку интересуют именно целые пачки, берем минимум 23 пачки.
      Ответ: 23 пачки хватит на 8 недель

  12. Здравствуйте! Замечательный сайт, все доходчиво объясняется. Спасибо вам за столь большую работу). Единственное чего не хватает это примеры или же какие нибудь задачи для закрепления материала. Было бы хорошо если имелось возможность без лишних поисков в интернете (на что я сам трачу кучу времени) закрепить изученное по каждой теме на той же странице ну или как-то так)). Еще раз СПАСИБО вам огромное))

    1. Здравствуйте.
      Спасибо за отзыв. Да, заданий не хватает, но эта проблема постепенно решается. Скоро она перестанет существовать

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *