Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Если из обеих частей уравнения извлечь квадратный корень, то полýчится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим следующее уравнение:

x2 = 16

Это простейшее квадратное уравнение, имеющее два корня: 4 и −4. Такое уравнение мы решали используя определение квадратного корня.

Согласно определению квадратного корня, число b является квадратным корнем из числа a, если ba и обозначается как = √a.

Тогда в случае x2 = 16, можно записать что = √16, откуда = ±4.

Теперь решим данное квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

«Обернём» обе части уравнения x2 = 16 в квадратный корень:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 1

Теперь вспоминаем одно из свойств квадратного корня, которое гласит что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа

кор из а в 2 равно а

Тогда в левой части нашего уравнения получим модуль из x, а в правой части число 4

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 2

Получили простейшее уравнение с модулем. Оно имеет два корня: 4 и −4. Запишем это решение в виде совокупности уравнений:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 4

Проверка:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 5

Из правой части уравнения x2 = 16 следует извлекать именно арифметический квадратный корень. Ранее мы говорили, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. То есть:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 9

Но в данном случае нас интересует именно неотрицательное значение 4 (его и называют арифметическим квадратным корнем). Потому что если мы извлечем и второй корень (отрицательный −4), то получим уравнение |x|= −4 которое не имеет решений.


Пример 2. Решить уравнение 3x= 12

Решение

Разделим обе части на 3

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 6

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 7

Получили простейшее уравнение с модулем. Решим его, сведя его в совокупность:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 8

Ответ: 2 и −2.


Пример 3. Решить уравнение (+ 2)= 25

Решение

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 9

Решим получившееся уравнение с модулем:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 10

Ответ: 3 и −7.


Пример 4. Решить уравнение x2 − 10 = 39

Решение

Перенесем −10 в правую часть изменив знак:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 11

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 12

Решим получившееся уравнение с модулем:

извление квадратного корня из обеих частей уравнения рис 13

Ответ: 7 и −7.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 9 и −9.
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0,4 и −0,4.
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 4 и −4.
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: и .
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: и .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

6 thoughts on “Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения”

  1. Спасибо, я обязательно должен дойти до нужного мне уровня знаний в данном придмете!

  2. Здравствуйте, у вас есть урок тождественные преобразования дробно-рациональных выражений?

  3. спасибо я очень благодарен вам
    потому что при ваши помощи я поступил в универ , вы дали мне хороши толчок до алгебры )
    сейчас я в 1 курсе но Алгебра всё ещё нужна, можете посоветовать учебники для самостоятельного изучения от 9 до 11 класса?

Добавить комментарий для Олег Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован.