В этом уроке мы изучим умножение чисел. Напомним, что для умножения маленьких чисел предназначена таблица умножения. Обязательно выучите её наизусть, поскольку любое умножение больших чисел в конечном итоге свóдится к тому, чтобы умножить маленькие.
Однозначные и многозначные числа
Для начала введём два новых понятия: однознáчные и многознáчные числа.
Однознáчным называется число, которое состоит из одной цифры. Например, следующие числа являются однознáчными:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Слово «однознáчные» говорит само за себя. Однознáчное — значит состоит из одного знака (цифру иногда называют знáком).
Многознáчным называется число, которое состоит из двух и более цифр. Например, следующие цифры являются многознáчными:
10, 11, 15, 255, 350, 1000, 12500
Многознáчных чисел бесконечно много. Их не сосчитать. Кроме того, они подразделяются на следующие виды:
- двузнáчные, которые состоят из двух цифр (например, 25);
- трёхзнáчные, которые состоят из трёх цифр (например, 563);
- четырёхзнáчные, которые состоят из четырёх цифр (например, 1400)
и так далее, в зависимости от того сколько цифр в числе.
Умножение однозначных чисел
Однозначные числа умножаются легко. Достаточно знать таблицу умножения. Примеры:
5 × 5 = 25
3 × 5 = 15
7 × 6 = 42
5 × 8 = 40
Если по каким-либо причинам не удаётся вспомнить таблицу умножения, то можно воспользоваться сложением. Ведь умножение это ни что иное как многократное сложение.
Чтобы умножить, например, число 4 на число 3, нужно число 4 сложить три раза:
Умножение на 10, 100, 1000
Чтобы умножить любое число на 10, 100 или 1000, достаточно дописáть к множимому количество нулей из множителя.
Например, чтобы умножить 12 на 10, нужно к множимому 12 дописать в конце ноль из множителя 10. В результате получим ответ 120
Еще примеры:
12 × 100 = 1200 (к 12 дописали два нуля, поскольку в числе 100 два нуля)
12 × 1000 = 12000 (к 12 дописали три нуля, поскольку в числе 1000 три нуля)
15 × 100 = 1500 (к 15 дописали два нуля, поскольку в числе 100 два нуля)
320 × 100 = 32000 (к 320 дописали два нуля, поскольку в 100 два нуля)
Если нулём оканчивается не множитель, а множимое, то для получения ответа нужно дописать ноль после множителя.
Например, чтобы умножить 10 на 12, нужно в ответе записать множитель 12 и дописать в конце один ноль:
10 × 12 = 120
Умножение чисел, которые оканчиваются нулями
Если оба числа оканчиваются нулями, то нужно перемнóжить те цифры, которые нулями не являются, затем к полученному результату дописáть все нули из обоих чисел.
Например, умнóжим 20 на 30.
20 × 30
Видим, что оба числá содержат по нулю. Сначала перемнóжим те цифры, которые нулями не являются. Это цифры 2 и 3. Два умножить на три будет шесть:
20 × 30 = 6
Теперь к полученному результату, то есть к числу 6 дописываем все нули из обоих чисел. В числе 20 один ноль, в числе 30 также один ноль. Итого два нуля. Дописываем два нуля к числу 6
20 × 30 = 600
Пример 2. Умножить 40 на 300
Сначала перемнóжим те цифры, которые нулями не являются. Это цифры 4 и 3. Четыре умножить на три будет двенадцать:
40 × 300 = 12
Теперь к полученному результату, то есть к числу 12 дописываем все нули из обоих чисел. В числе 40 один ноль, в числе 300 — два нуля. Итого три нуля. Дописываем три нуля к числу 12
40 × 300 = 12000
Пример 3. Умножить 600 на 3000
Сначала перемнóжим те цифры, которые нулями не являются. Это цифры 6 и 3. Шесть умножить на три будет восемнадцать:
600 × 3000 = 18
Теперь к полученному результату, то есть к числу 18 дописываем все нули из обоих чисел. В числе 600 два нуля, в числе 3000 — три нуля. Итого пять нулей. Дописываем пять нулей к числу 18
600 × 3000 = 1800000
Умножение многозначного числа на однозначное
Чтобы умножить многозначное число на однозначное, надо умножить каждую цифру многозначного числа на это однозначное число. Например, найдем значение выражения 12 × 3. Записываем данное выражение в столбик, при этом единицы должны быть под единицами. Всё это соединяется знаком умножения ( × )
Далее каждая цифра многозначного числа умножается на 3. Умножать начинаем с разряда единиц, то есть с цифры 2. Два умножить на три будет шесть. Записываем цифру 6 в разряде единиц нашего ответа:
Теперь умножаем 1 на 3, получаем 3. Записываем цифру 3 в разряде десятков нашего ответа:
Получили ответ 36.
В данном примере множимым было число 12, а множителем число 3. Число 12 это две единицы и один десяток. Наша задача заключалась в том, чтобы увеличить эти две единицы и один десяток в 3 раза. Тогда решая этот пример, можно было бы рассуждать следующим образом:
Увеличим две единицы в 3 раза: 2 × 3 = 6. Получили шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа
Увеличим один десяток в 3 раза: 1 × 3 = 3. Получили три десятка. Записываем цифру 3 в разряде десятков нового числа:
Иногда при умножении одной цифры многозначного числа на однозначное число получается многозначное число. В этом случае сначала записывается одна цифра из разряда единиц, а остальные цифры переносятся на следующий разряд, к которому они будут добавлены после вычисления.
Например, найдем значение выражения 23 × 6
Умножаем каждую цифру числа 23 на 6. Начинаем с тройки: 3 × 6 = 18. Восемнадцать не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому сначала записывается 8, а 1 переносится на следующий разряд. Эта единица будет прибавлена к результату умножения 2 на 6
Теперь умножаем 2 на 6, получаем 12, плюс единица, которая досталась от предыдущего умножения. На рисунке эта единица выделена синим цветом. Вычисляем (2 × 6) + 1 = 13
Получили ответ 138. В данном примере множимым было число 23, а множителем число 6. Число 23 это три единицы и два десятка. Наша задача заключалась в том, чтобы увеличить эти три единицы и два десятка в 6 раз. Тогда решая этот пример, можно было бы рассуждать следующим образом:
Увеличим три единицы в 6 раз: 3 × 6 = 18. Получили восемнадцать единиц. Произошло переполнение разряда в разряде единиц. Число 18 это 8 единиц и 1 десяток. 8 единиц записываем в разряде единиц нового числа, а 1 десяток отправляем к разряду десятков. Этот десяток мы прибавим, когда увеличим два десятка в шесть раз:
Увеличим два десятка в 6 раз: 2 × 6 = 12. Получили двенадцать десятков. Плюс прибавляем один десяток, который остался от числа 18.
12 десятков плюс 1 десяток будет 13 десятков. Записываем число 13 в разряде десятков нового числа, образуя окончательный ответ:
Пример 3. Найти значение выражения 326 × 5
Записываем в столбик данное выражение:
Умножаем каждую цифру числа 326 на 5. Начинаем с шестёрки: 6 × 5 = 30. Число 30 не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому сначала записываем 0, а тройку переносим на следующий разряд:
Теперь умножаем 2 на 5, получаем 10 плюс тройка, которая досталась от предыдущей операции: (2 × 5) + 3 = 13. Получили число 13, которое не вмещается в разряд десятков нашего ответа. Поэтому записываем сначала 3, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь умножаем последнюю тройку на 5, плюс прибавляем единицу, которая досталась от предыдущей операции: (3 × 5) + 1 = 16. Получили 16. Записываем это число целиком, образуя окончательный ответ:
Умножение многозначных чисел на многозначные
Умножение многозначных чисел на многозначные происходит таким же образом, как и умножение многозначных на однозначные. Каждая цифра многозначного числа умножается на каждую цифру другого многозначного числа. Единственное отличие заключается в том, что в конце образуется своего рода лесенка ответов, которые надо сложить. Рассмотрим несколько примеров, чтобы хорошо понять это.
Пример 1. Найти значение выражения 12 × 14
Записываем данное выражение в столбик — единицы под единицами, десятки десятками:
Теперь умножаем каждую цифру числа 12 на каждую цифру числа 14. Делать это надо по-очереди, начав с четвёрки. В результате таких действий мы приходим к умножению многозначного числа на однозначное, которое проходили ранее:
Умножив 12 на 4, мы получили число 48, которое записали таким образом, чтобы разряд единиц этого числа оказался под четверкой, на которую мы умножали число 12.
Теперь умножаем 12 на 1:
Умножив 12 на 1 мы получили число 12 и записали его таким образом, чтобы разряд единиц этого числа оказался под единицей, на которую мы умножали число 12.
Мы получили лесенку ответов 48 и 12, которую надо сложить. Складываем и получаем ответ 168
В данном примере множитель 14 это четыре единицы и один десяток. Тогда умножение 12 на 14 можно понимать как увеличение числа 12 в четыре раза и в десять раз. Этим и объясняется появление лесенки в конце решения. Давайте посмотрим как это выглядит на каждом этапе:
Увеличим число 12 в четыре раза, получим число 48
Увеличим число 12 в десять раз, получим число 120. Записываем 120 так, чтобы можно было сложить единицы этого числа с единицами числа 48, а десятки числа 120 можно было сложить с десятками числа 48
Теперь сложим получившуюся лесенку ответов. Единицы сложим с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. В результате образуется окончательный ответ:
Но чаще всего множитель не группируется с помощью разрядов, и умножение выполняют, умножая каждую цифру множимого на каждую цифру множителя.
Пример 2. Найти значение выражения 25 × 36
Записываем данное выражение в столбик
Умножаем каждую цифру числа 25 на каждую цифру числа 36.
Умножим 25 на 6:
Умножаем 25 на 3:
Теперь сложим получившуюся лесенку:
Получили ответ 900.
Рассмотрим большой и сложный пример на умножение: 12305 × 5641. Будем придерживаться ранее изученных правил.
Сначала записываем в столбик данное выражение
Теперь начинаем умножать. Число 12305 надо умножить на каждую цифру числа 5641.
Умножив 12305 на 1, мы получили 12305 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под единицей, на которую мы умножили 12305.
Теперь умножаем 12305 на следующую цифру 4:
Умножив 12305 на 4, мы получили 49220 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под четверкой, на которую умножали 12305.
Умножаем 12305 на следующую цифру 6:
Умножив 12305 на 6, мы получили 73830 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под шестёркой, на которую мы умножали 12305.
Теперь умножаем 12305 на последнюю цифру 5:
Умножив 12305 на 5, мы получили 61525 и записали это число так, чтобы разряд единиц этого числа оказался под пятёркой, на которую умножали 12305.
В результате мы получили большую лесенку, которую надо сложить. Складываем:
Получили окончательный ответ 69412505.
Если вы поняли этот пример, то можно сказать, что умножение больших чисел вы усвоили на отлично.
На этом урок по умножению можно завершить. Обязательно потренируйтесь, решив несколько примеров, которые даны ниже.
Важно отметить, что все эти стрелки и подробные решения, как на картинках в «боевых условиях» рисовать не принято. Нужно уметь сразу записывать ответы, выполняя в уме все вычисления.
Исключением является то, если человек давно не занимался математикой или никогда ею не занимался. В таком случае можно рисовать для себя стрелки и другие вспомогательные схемы для хорошего усвоения материала.
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Великолепно!! Спасибо огромное , надеюсь с вашей помощью , подготовлю сына ( неуча) к экзаменам . С нетерпением ждем продолжения.
А что же ты, такая умница-разумница не занималась с ним раньше?
Дай угадаю, пугала его работой дворника и орала, если он не учился, да?
А чтобы просто позаниматься с ним или ещё как-нибудь помочь, не думала?
Ну и конечно, это только он во всём виноват, смейся и выгоняй его из дома, пусть локти кусает всю оставшуюся жизнь)))
вот это у вас крышу снесло. лол
Внатуре снесло
Скорее всего, Марина права. Вам бы спроецировать эту ситуацию на себя, почитать книжек и отказаться от тиктока.
Сын готовится к экзаменам, это значит что он уже сам должен учится без помощи мамы
На старости лет, тоже появился интерес к математике. Жизнь так сложилась, что непонятно, учился я после начальных классов или нет.
спасибо Вам огромное!
Я хорошо понял урок, но будьте добры разъяснить, когда умножаем столбиком большые многозначные числа друг на друга, и в ходе выполнения умножение множителя 4(из разряда десятков) на множимое 0 (из разряда десятков ), получается 0! 4*0=0, а вот операция до этого действия была что множимое 5 (из разряда единиц), на множитель 4(из разряда десятков) 5*4=20, ноль спускается в значение выражения, а 2 переходит к следующему разраду. Так вот вопрос прибаляется ли эта 2 к 0? И второй вопрос правильно ли я описал ситуацию? Спасибо вам огромное
Я понял, тут действует порядок выполнения то есть сначала делим 0/4 получаем 0, а потом сложение!!! 0+2=2, то что в остатке)) ура спасибо создателям прекрасного сайта
У меня к вам пожелание можете темы разделить на классы? К примеру 5,6,7 и т.д,так будет легче ориентироваться тем,кто например прогулял определенный класс(или по другой причине не изучал) и нужно вернуться на определенные темы.
Спасибо вам.
Мне кажется разделять на классы не имеет смысла, во-первых школьные программы разных стран (в том числе и СНГ) имеют различия, во-вторых если пропущен какой то период обучения то восстанавливать знания все равно придется по порядку, начиная с повтора изученного.
Спасибо!!
огромное спасибо Вам… так как математику я под забыл, а не так давно поступил в колледж. теперь всё вспоминаю))) очень всё подробно расписано. побольше таких учителей
Просто супер, спасибо большое) оказывается все не так сложно, как казалось
Согласна с предыдущим оратором:), все не так сложно как казалось. Самое главное и приятное здесь то, что все описано вполне доступным языком. Спасибо! Читать и вычитать:) — приятно!
У Вас, как-то не очень правильно.
При случае, умножения
12305
5641
Тогда, необходимо все перемножать на единицу, то есть получится 12305.
Однако, у вас записано
5641
12305
Я конечно, понимаю, что произведение, от перестановки мест множителей не меняется, но… В таком случае, как вы записали в столбик, получится (первое действие) 28305.
не совсем понятен ваш вопрос. В выражении 12305*5641 если решать столбиком, первое действие это 12305*1. Получается 12305. Примеры справа со стрелками это как-бы черновики, чтобы людям проще было понять откуда берутся ответы
Здравствуйте. В начале прошлого урока исправьте «десятые» на «десятки». В начале этого урока вместо понятия «число» употреблено понятие «цифра». Выражаю благодарность за Ваши труды.)
Почему множимое целое число, которое больше чем ноль, умножаемое на множитель ноль, получается ноль? С детства интересовало, куда пропадает целое значение, которое больше чем ноль?
В вазе лежало много конфет.
Я один раз взял две конфеты:
2*1=2
Я взял две конфеты три раза:
2*3=6
Я ни разу не взял две конфеты:
2*0=0
Легко когда знаешь таблицу умножения, таким методом можно умножать бесконечно большие цифры
существуют альтернативные методы умножения многозначных чисел?
Да
Добрый день. Не понимаю каким образом при умножения 12305*4 у нас в разряде десятков получается цифра 2? Ведь при умножении 5*4 =20. 0 пишем в ответе а 2 переносится на след разряд.
2*4 =8? Но в ответе записано 2. Идем дальше. Предположим, что 2-ка встала рядом с нулём итого: 20 * 4 = 80.
Просветите пожалуйста темноту
Заранее благодарен!
(0 * 4) + 2
(0*4)+2=0+2=2
97х96=…., 100-97=3, 100-96=4, 3+4=7, 100-7=93, 97х96=93..,
3х4=12, 97х96=..12; ответ: 97х96=9312
97х96=…., 100-97=3, 100-96=4, 3+4=7, 100-7=93, 97х96=93.., 3х4=12, 97х96=..12; ответ: 97х96=9312
Всё супер админу респект !!
Появился интерес. Огромное спасибо. С детства был морально забит, после начальных классов не хотел и не понимал стыдился в проявлении интереса именно к этому предмету..
спосибо!!!
Добавьте в примеры умножения в столбик выражения с целым множимым например 455 * 80, а то возможно люди с такими примерами не сталкивались.
Да, надо. Никак руки не доходят
Круть! Все понятно!
Наконец-то нашёлся хороший сайт по математике.
Что я могу сказать, базу я знаю хорошо 🙂
В школе ничего не понял а тут очень хорошо все объясняют
русский тоже подучи(спасибо)
На сайте «Как дважды два» необычные калькуляторы умножают и делят любые числа столбиком, показывается решение: http://www.mathvaz.ru
Добрый день уважаемый администратор, у меня возникла трудность при умножении числа 63801 на 1280, из-за того что в множителе в конце числа 0 я не могу понять как работать с такими примерами. Спасибо за ответ заранее!
Здравствуйте. Так же как и умножение на 10. Умножаете 63801 на 128 и к результату дописываете 0
Движемся дальше)
Вау, думал буду сидеть над уроком несколько часов, но в итоге время пролетело незаметно, очень уж я был увлечён текстом. Спасибо, Админ, за такую скрупулёзную работу!
Здравствуйте, хороший урок, но не хватает умножения с числами с нолём. Типа 150*36 итд
150*
36
__
0*
6
__
0
_
5*
6
__
0(3 берем в верх)
__
1*
6
__
6 добавляем ту самую тройку = 6+3=9
__
900 это первый ответ, после добавляем вторую
___
150*
3
___
0*
3
__
0
___
5*
3
___
15(один запоминаем)
1*
3
___
3(добавляем то что запоминали ранее= 3+ 1= 4)
450
__
плюсуем две ответы в один
900+
450
___
5400(ответ: 5400)
Класс
Мне 100 раз обьясняли как решать столбиком, но только тут понел)
Круто мне радители постаяно говорили учис учис а нее и в гта играл но когда стал студентом я сказал сибе так болше нелзя надо учится хорошо что есть такие сайты для
обучения и я просто по приколу прочитал умнажения ладно удачи
Добрый день! Сразу выражу благодарность за труды и отличный подход. А теперь хотел бы попросить совета: в столбик быстрее и удобнее считать на бумаге, но если умножать большие числа в уме, например 3х значные на 2х значные (358*89) или 3х значные на 3х значные (678*899) и т.д. тяжело запоминать предыдущие вычисления в столбик, как лучше считать в таком случае?
А есть тема по сложению и вычитанию в столбик?
Сложение и вычитание столбиком объясняется в предыдущем уроке (шаг 5, разряды).
спасибо!
Spasibo.
Здравствуйте, АДМИН. Спасибо за уроки. Огромное спасибо. Вы так всё понятно объясняете. Правильно говорили вы в прошлых уроках говорили:»Вроде отличник, математику знаешь на 4-5, а научную литературу читаешь — ничего не понимаешь.» Спасибо огромное.
это тонна дерьма
Спасибо Вам за уроки! Очень интересно и познавательно!
спасибо, мне 20 лет, учу математику с нуля…
спс балгодоря вам смогу поступить
Увлёкшись программированием, я понял, что надо вспоминать математику. Спасибо вам большое!
Конечно сайт великолепный но я не сего не понимаю так как я слегка туповатая
Здравствуйте ,создатели этого учебного материала ! Выражаю вам благодарность !