Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

| 3 |= 3

|−3|= 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

модуль числа рисунок 10

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

|x1x2|

Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

модуль числа рисунок 26

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

|2 − 5| = |−3| = 3

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

модуль числа рисунок 27

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

модуль числа рисунок 28

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

|5 − 2| = | 3 | = 3

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

|x1 x2| = |x2 x1|

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.


Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

модуль числа свойство

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ и «если x < .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x < 0, то под знáком модуля располагается отрицательное число. После знака равенства нужно подстáвить данное отрицательное число вместо x и раскрыть скобки.

Например, найдём модуль числа −7, используя правило раскрытия модуля:

модуль числа свойство

Итак, = −7

|−7|

В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −7 < 0

модуль числа рисунок 5

Поэтому используем вторую формулу. А именно |x| = −x. Подстáвим вместо x число −7

модуль числа рисунок 7

Отсюда:

модуль числа рисунок 6

Поэтому |−7| = 7.


Пример 2. Пусть = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

| 5 |

В данном случае выполняется первое условие ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

модуль числа рисунок 8

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.


Пример 3. Пусть = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

|√4 − 6|

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4|

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие < 0, ведь −4 < 0

модуль числа рисунок 5

Следовательно, используем вторую формулу |x| = −x. Продолжаем решение в исходном примере:

|√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 < 0

В некоторых учебниках можно встретить следующую запись правила раскрытия модуля:

модуль числа рисунок 16

В этой записи первое условие которое ранее выглядело как ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если > 0, то выражение |x| будет равно x, а если x=0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

| 0 |

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

 

модуль числа рисунок 17

Отсюда: |0| = 0


Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид + 3.

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −+ 3. Чтобы сделать это выражение более удобным для восприятия, поменяем местами его члены, полýчим 3 − x

Теперь запишем решение так:

модуль числа рисунок 47

Проверим это решение при произвольных значениях x.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

|x|+ 3 = x + 3 = 5 + 3 = 8

Найдём значение выражения |x|+ 3 при = −6. Поскольку −6 < 0, то модуль содержащийся в выражении |x|+ 3 раскроется со знаком минус и тогда решение примет вид:

|x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9


Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3, откуда 2x + 3.

Если x + 3 < 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком минус и тогда исходное выражение примет вид x − (x + 3), откуда x − x − 3 = −3.

Запишем решение так:

модуль числа рисунок 5

Заметим, что условия x + 3 ≥ 0 и x + 3 < 0 являются неравенствами. Их можно привести к более простому виду, решив их:

модуль числа рисунок 6

Тогда условия из решения можно заменить на равносильные x ≥ −3 и x < −3

модуль числа рисунок 7

Во втором случае когда x строго меньше −3 выражение x +|x + 3| всегда будет равно постоянному числу −3.

Например, найдём значение выражения x +|x + 3| при x = −5. Поскольку −5 < −3, то согласно нашему решению значение выражения x +|x + 3| будет равно −3

При x = −5,
x +|x + 3| = x − x − 3 = −5(−5) 3 = −3

Найдём значение выражения x +|x + 3| при = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

При x = 4,
x +|x + 3| = 2x+3 = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения+|+ 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

x +|x + 3| = 2+ 3 = 2 × (−3) + 3 = −6 + 3 = −3


Пример 3. Раскрыть модуль в выражении модуль числа рисунок 8

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

модуль числа рисунок 10

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие ≥ 0, которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения модуль числа рисунок 8 обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором = 0

модуль числа рисунок 16

Перепишем решение так:

модуль числа рисунок 9

В первом случае написано условие > 0. Тогда выражение модуль числа рисунок 8 станет равно 1. Например, если = 3, то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

модуль числа рисунок 11

И так будет при любом x, бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0. Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x < 0. Тогда выражение модуль числа рисунок 8 станет равно −1. Например, если = −4, то числитель станет равен 4, а знаменатель −4, откуда полýчится единица −1

модуль числа рисунок 12


Пример 4. Раскрыть модуль в выражении модуль числа рисунок 18

Если ≥ 0, то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид модуль числа рисунок 19, которое при любом x, бóльшем нуля, будет равно единице:

модуль числа рисунок 20

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид модуль числа рисунок 21

модуль числа рисунок 22

Но надо учитывать, что при = − 1 знаменатель выражения модуль числа рисунок 18 обращается в ноль. Поэтому второе условие < 0 следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

модуль числа рисунок 23

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2+ 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

модуль числа рисунок 48

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если |x| ≥ 0, то получим 3− 2+ 5y, откуда + 5y.

Если |x| < 0, то получим −3− 2+ 5y, откуда −5+ 5y. Вынесем за скобки множитель −5, получим −5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

модуль числа рисунок 24


Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x

Если < 0, то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 2. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 3. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 4. Раскройте модуль:
Решение:
Задание 5. Раскройте модуль:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

13 thoughts on “Обобщённое понятие модуля числа”

  1. Отдельное вам спасибо за ваши уроки которые выкладываете, только побыстрее бы выходили уроки т.к скоро ЕНТ.

  2. Невероятно рад что проект всё ещё развивается и появляются новые уроки! Для дурачков, которые в школьные годы забили на математику, подобный курс просто бесценный! Спасибо большое

  3. Ура! Мне давно надо было разобраться с модулями. И вот они модули. Отлично!

  4. >> Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу.

    Надо бы поправить: расстояние между СОСЕДНИМИ целыми числами равно одному шагу.

  5. Сначала было непонятно, пришлось перечитать. Не недооценивайте то, что поначалу кажется простым)

  6. Очень хороший проект. Как будет возможность поддержать материально — сразу сделаю

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *