Продолжаем изучать дроби и сегодня мы поговорим о сравнении дробей. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Для того, чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, которые позволяют сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Поэтому можно смело применять их. Мы рассмотрим все эти правила, и попробуем разобраться почему происходит именно так.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай, это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае, применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. Соответственно, меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравнить две дроби 
и 
и ответить, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. Применяем правило. Из этих двух дробей больше та дробь, у которой числитель больше. У первой дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы. Смотрите сами:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Следующий случай в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев существует другое правило. Выглядит оно так:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби 
и 
. У этих дробей одинаковые числители. Применяем второе правило. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби , значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять если вспомнить про пиццы, которые разделены на три части и четыре части. пиццы больше, чем пиццы. Смотрите сами:
Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Не редко случается так, что приходиться сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби 
и . Для того, чтобы ответить на вопрос какая дробь больше или меньше, нужно привести эти дроби к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, можно легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Для этого, сначала найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обоих дробей. НОК знаменателей дробей и это 6.
Теперь находим дополнительные множители для обоих дробей. Для этого, разделим наш НОК на знаменатели обоих дробей.
Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это 6, а знаменатель первой дроби это 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Для этого, разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это 6, а знаменатель второй дроби это 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножаем дроби на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. А пришли мы к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему 
больше, чем 
. Для этого, выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно — эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
Две целые пиццы и 
пиццы, больше чем просто пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Частая ситуация — это когда решаешь какой-либо пример, а ответ получается не таким каким он должен быть.
При вычитании чисел, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого — только в этом случае будет получен нормальный ответ. Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрите, что бывает, если уменьшаемое оказалось меньше вычитаемого. Например 5 — 7 = -2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 разность
В этом случае, мы выходим за пределы нормальных чисел, и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам с вами ходить пока рано, а то и опасно. Для того, чтобы выходить в мир отрицательных чисел, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы с вами ещё не получили.
Поэтому, при решении примеров на вычитание, если попадёте в случай, когда уменьшаемое будет меньше вычитаемого, можете пропустить этот пример, чтобы не попасть в поле отрицательных чисел. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого — только в этом случае мы можем получить нормальный ответ. А чтобы понять, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь, нужно уметь сравнивать эти дроби.
Например, решим пример 
.
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь. больше чем 
значит смело можем вернуться к нашему примеру и продолжать вычислять его:
Решим пример 
Проверяем, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь и обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае, лучше остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения 
. Сначала проверим, больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого, переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Для этого, находим НОК знаменателей обоих дробей (чисел 9 и 6). Затем находим дополнительные множители для каждой дроби и умножаем их на эти дроби. Не будем останавливаться на этом, поскольку мы уже несколько раз проводили эту операцию.
После приведения дробей к одинаковому знаменателю и умножения дополнительных множителей на свои дроби, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби 
и 
. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое смешанное число 
больше, чем вычитаемое 
Поэтому, мы смело можем продолжать решать наш пример:
Пример 3. Найти значение выражения 
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое. Для этого, сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить эти дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, найти дополнительные множители для каждой дроби и умножить эти дополнительные множители на свои дроби. После выполнения этих операций, получим следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби 
и 
. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше и меньше та дробь, у которой числитель меньше. У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь
А это значит, что и уменьшаемое 
меньше, чем вычитаемое 
А это гарантировано выкинет нас в мир отрицательных чисел. Поэтому, лучше остановиться на этом месте и не продолжать этот пример. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.
Пример 4. Найти значение выражения 
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, найти дополнительные множители для каждой дроби и умножить эти дополнительные множители на свои дроби. После выполнения этих операций, получим следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби 
и 
. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое 
больше, чем вычитаемое 
Поэтому, мы смело можем продолжать решать наш пример:
Сначала мы получили ответ 
. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь 
, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге, получили ответ 
.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках