Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби 1612 и  1611 и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  1612 числитель больше, чем у дроби  1611. Значит дробь 1612  больше, чем 1611 . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

1613

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. 1612 пиццы больше, чем 1611 пиццы:

1614

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби 1621 и 1622. У этих дробей одинаковые числители. У дроби 1621 знаменатель меньше, чем у дроби 1622. Значит дробь 1621 больше, чем дробь 1622. Так и отвечаем:1623

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. 1621 пиццы больше, чем 1622 пиццы:

 1624

Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби 15303 и 1621. Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби 15303 и 1621 к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей 15303 и 1621 это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби 15303. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

1631

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби 1621. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

1632

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

1633

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

1634

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему 1636 больше, чем 1637. Для этого выделим целую часть в дроби 1636. В дроби 1637 ничего выделять не нужно, эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби 1636, получим следующее выражение:

1638

Теперь можно легко понять, почему 1636 больше, чем 1637.  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

1635

2 целые пиццы и 1639 пиццы, больше чем просто 1637 пиццы.


Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример 142314.

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. 1621 больше чем 15253

1641

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

14231413

Теперь решим такой пример 1642

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

1643

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения 15141.

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1651

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

1652

Теперь нужно сравнить дроби 1653 и 1654. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби 1653 числитель больше, чем у дроби  1654. Значит дробь 1653 больше, чем дробь 1654.

1657

А это значит, что уменьшаемое 1655 больше, чем вычитаемое 1656

1658

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
15144


Пример 3. Найти значение выражения 1661

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1662

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

1663

Теперь сравним дроби 1664  и 1665. У дроби 1664 числитель меньше, чем у дроби 1665, значит дробь 1664 меньше, чем дробь 1665

1666

А это значит, что и уменьшаемое 1667 меньше, чем вычитаемое 1668

1669

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.


Пример 4. Найти значение выражения 1671

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1672

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

1673

Теперь нужно сравнить дроби  1674  и  1675 . У дроби 1674 числитель больше, чем у дроби 1675. Значит дробь 1674 больше, чем дробь 1675.

1678

А это значит, что уменьшаемое 1676 больше, чем вычитаемое 1677

1679

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

16710

Сначала мы получили ответ 16711. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь 16712, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ 16713.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано