Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби и сегодня мы поговорим о сравнении дробей. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Для того, чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, которые позволяют сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Поэтому можно смело применять их. Мы рассмотрим все эти правила, и попробуем разобраться почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай, это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае, применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. Соответственно, меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравнить две дроби 1612 и  1611 и ответить, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. Применяем правило. Из этих двух дробей больше та дробь, у которой числитель больше. У первой дроби  1612 числитель больше, чем у дроби  1611. Значит дробь 1612  больше, чем 1611 . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

1613

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. 1612 пиццы больше, чем 1611 пиццы. Смотрите сами:

1614

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев существует другое правило. Выглядит оно так:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби 1621 и 1622. У этих дробей одинаковые числители. Применяем второе правило. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. У дроби 1621 знаменатель меньше, чем у дроби 1622, значит дробь 1621 больше, чем дробь 1622. Так и отвечаем:1623

Этот пример можно легко понять если вспомнить про пиццы, которые разделены на три части и четыре части. 1621 пиццы больше, чем 1622 пиццы. Смотрите сами:

 1624

Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Не редко случается так, что приходиться сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби 15303 и 1621. Для того, чтобы ответить на вопрос какая дробь больше или меньше, нужно привести эти дроби к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, можно легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби 15303 и 1621 к одинаковому (общему) знаменателю. Для этого, сначала найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обоих дробей. НОК знаменателей дробей 15303 и 1621 это 6.

Теперь находим дополнительные множители для обоих дробей. Для этого, разделим наш НОК на знаменатели обоих дробей.

Разделим НОК на знаменатель первой дроби 15303. НОК это 6, а знаменатель первой дроби это 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

1631

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Для этого, разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это 6, а знаменатель второй дроби это 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

1632

Умножаем дроби на свои дополнительные множители:

1633

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. А пришли мы к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

1634

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему 1636 больше, чем 1637. Для этого, выделим целую часть в дроби 1636. В дроби 1637 ничего выделять не нужно — эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби 1636, получим следующее выражение:

1638

Теперь можно легко понять, почему 1636 больше, чем 1637.  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

1635

Две целые пиццы и 1639 пиццы, больше чем просто 1637 пиццы.


Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Частая ситуация — это когда решаешь какой-либо пример, а ответ получается не таким каким он должен быть.

При вычитании чисел, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого — только в этом случае будет получен нормальный ответ. Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрите, что бывает, если уменьшаемое оказалось меньше вычитаемого. Например 5 — 7 = -2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 разность

В этом случае, мы выходим за пределы нормальных чисел, и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам с вами ходить пока рано, а то и опасно. Для того, чтобы выходить в мир отрицательных чисел, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы с вами ещё не получили.

Поэтому, при решении примеров на вычитание, если попадёте в случай, когда уменьшаемое будет меньше вычитаемого, можете пропустить этот пример, чтобы не попасть в поле отрицательных чисел. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого — только в этом случае мы можем получить нормальный ответ. А чтобы понять, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь, нужно уметь сравнивать эти дроби.

Например, решим пример 142314.

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь. 1621 больше чем 15253

1641

значит смело можем вернуться к нашему примеру и продолжать вычислять его:

14231413


Решим пример  1642

Проверяем, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая дробь и  обнаруживаем, что она меньше:

1643

В этом случае, лучше остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.


Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения 15141. Сначала проверим, больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого, переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1651

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Для этого, находим НОК знаменателей обоих дробей (чисел 9 и 6). Затем находим дополнительные множители для каждой дроби и умножаем их на эти дроби. Не будем останавливаться на этом, поскольку мы уже несколько раз проводили эту операцию.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю и умножения дополнительных множителей на свои дроби, получаем следующее выражение:

1652

Теперь нужно сравнить дроби 1653 и 1654. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.  У дроби 1653 числитель больше, чем у дроби  1654. Значит дробь 1653 больше, чем дробь 1654.

1657

А это значит, что уменьшаемое смешанное число 1655 больше, чем вычитаемое 1656

1658

Поэтому, мы смело можем продолжать решать наш пример:
15144


Пример 3. Найти значение выражения 1661

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое. Для этого, сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1662

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить эти дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, найти дополнительные множители для каждой дроби и умножить эти дополнительные множители на свои дроби. После выполнения этих операций, получим следующее выражение:

1663

Теперь нужно сравнить дроби 1664  и 1665. Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше и меньше та дробь, у которой числитель меньше. У дроби 1664 числитель меньше, чем у дроби 1665, значит дробь 1664 меньше, чем дробь 1665

1666

А это значит, что и уменьшаемое 1667 меньше, чем вычитаемое 1668

1669

А это гарантировано выкинет нас в мир отрицательных чисел. Поэтому, лучше остановиться на этом месте и не продолжать этот пример. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.


Пример 4. Найти значение выражения 1671

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

1672

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем, найти дополнительные множители для каждой дроби и умножить эти дополнительные множители на свои дроби. После выполнения этих операций, получим следующее выражение:

1673

Теперь нужно сравнить дроби  1674  и  1675 . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. У дроби 1674 числитель больше, чем у дроби 1675. Значит дробь 1674 больше, чем дробь 1675.

1678

А это значит, что уменьшаемое 1676 больше, чем вычитаемое 1677

1679

Поэтому, мы смело можем продолжать решать наш пример:

16710

Сначала мы получили ответ 16711. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь 16712, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге, получили ответ 16713.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках