Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:
a + b + 4
С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.
Любая серьёзная задача в математике свóдится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.
Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.
Например, в выражении a + b + 4 переменными являются буквы a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a + b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства
a = 2, b = 3
Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2, переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение a + b + 4 обращается в обычное числовое выражение 2 + 3 + 4, значение которого можно найти:
2 + 3 + 4 = 9
Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3, то мы получим 6
2 × 3 = 6
Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a × (b + c) можно записать a(b + c). Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c) = ab + ac.
Коэффициенты
В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a. На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a.
Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«
К примеру, если переменная a равна 5, то значение выражения 3a будет равно 15.
3 × 5 = 15
Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).
Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc«.
Если вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Можно мысленно представить, как сначала перемнóжились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:
Знак коэффициента отнóсится только к коэффициенту, и не отнóсится к переменным!
Рассмотрим выражение −6b. Минус, стоящий перед коэффициентом 6, отнóсится только к коэффициенту 6, и не отнóсится к переменной b. Понимание этого факта позвóлит не ошибаться в будущем со знаками.
Найдем значение выражения −6b при b = 3.
−6b это короткая форма записи от −6 × b. Для наглядности запишем выражение −6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5
Запишем выражение −6b в развёрнутом виде
−6b = −6 × b
и далее подставим значение переменной b
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2
−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b, поэтому для наглядности запишем выражение −5 × a + b в развёрнутом виде и подстáвим значения переменных a и b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае коэффициентом является единица:
1a, 1ab
но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab
Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1. Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a. Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:
−1 × a = −1a
Здесь крóется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к невидимой единице, а не к переменной a. Поэтому при решении задач следует быть внимательным.
К примеру, если дано выражение −a и нас прóсят найти его значение при a = 2, то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2, не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2, то мы подставляем −2 вместо переменной a
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.
Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2, b=3 и c=4
Выражение abc это короткая форма записи от 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−3 и c=−4
Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Пример 6. Найти значение выражения −abc при a=3, b=5 и c=7
Выражение −abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение −abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Пример 7. Найти значение выражения −abc при a=−2, b=−4 и c=−3
Запишем выражение −abc в развёрнутом виде:
−abc = −1 × a × b × c
Подставим значение переменных a, b и c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Как определить коэффициент
Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень простá. Достаточно уметь правильно умножать числа.
Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.
Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемнóжим числа и отдельно перемнóжим буквы (переменные):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
Коэффициент равен −105. После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:
−105amn
Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2
Перемножим отдельно числа и буквы:
−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Коэффициент равен 6.
Пример 3. Определить коэффициент в выражении: 
Перемножим отдельно числа и буквы:
Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.
Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен не верно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на хорошем уровне.
Слагаемые в буквенных выражениях
При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минус. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.
Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице:
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.
Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.
Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.
Например, если на доске будет записана разность a − b, то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые. А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b). В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) станóвятся слагаемыми.
Подобные слагаемые
Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.
Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.
Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a. В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Подобные слагаемые обычно привóдят в уме и результат записывают сразу:
3a + 4a + 5a = 12a
Также, можно рассуждать следующим образом:
Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a
Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.
Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.
Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a
Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:
3a + 2a + 6a + 8a= (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a
Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:
2a + 1a
Теперь приведем подобные слагаемые. То есть сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Запишем решение покороче:
2a + a = 3a
Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и по-другому:
Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a.
Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a
Заменим вычитание сложением:
2a + (−a)
Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом деле оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:
2a + (−1a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Обычно записывают короче:
2a − a = a
Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:
Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a
Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a
Заменим вычитание сложение там, где это можно:
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Запишем решение покороче:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.
Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:
Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b
Заменим вычитание сложение там, где это можно:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержащие переменные b, подчеркнем двумя линиями:
Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.
Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Запишем решение покороче:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.
Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x
Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Теперь можно привести подобные слагаемые:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Запишем решение покороче:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.
Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)
В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Запишем решение покороче:
Упрощение выражений
Часто можно встретить задание, в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.
На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.
Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение 
Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще».
В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:
Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь 
. Тогда мы получим десятичную дробь 0,5
В итоге дробь
Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: «а что можно сделать?». Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.
Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению
Но мы упростили выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5
Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.
Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.
Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5
Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st.
Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2
Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b, затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:
−0,4 × (−6,3b) × 2 = −0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b
Пример 3. Упростить выражение 
Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:
Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:
Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:
При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида 
Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.
Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их
Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3
Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2
Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:
Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.
Пример 4. Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:
Таким образом, выражение упростилось до 
Пример 5. Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:
Таким образом, выражение упростилось до mn.
Пример 6. Упростить выражение 
Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:
Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число 
можно перевести в обыкновенные дроби:
Таким образом, выражение упростилось до 
Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:
Пример 7. Упростить выражение 
Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число 
и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:
Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:
Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.
Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.
Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то нельзя записывать следующим образом:
Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.
При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:
a = 2, b = 3
Тогда значение выражения будет равно 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.
После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.
С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.
Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.
Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a
Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.
Пример 10. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Коэффициент 
был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.
Таким образом, выражение упростилось до 
Пример 11. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до 
.
В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:
Пример 12. Упростить выражение 
Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:
Таким образом, выражение упростилось до
.
Слагаемое 
осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.
Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:
В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.
Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как 
. На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.
Тождества. Тождественно равные выражения
После того как мы упростили какое-нибудь выражение, оно станóвится проще и короче. Чтобы проверить верно ли упрощено выражение, достаточно подстáвить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то это означает, что выражение упрощено верно.
Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b. Чтобы упростить данное выражение, можно по-отдельности перемнóжить числа и буквы:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.
Пусть значения переменных a, b будут следующими:
a = 4
b = 5
Подстáвим их в первое выражение 2a × 7b
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
Теперь подстáвим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения выражения 2a × 7b, а именно в выражение 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Видим, что при a = 4 и b = 5 значение первого выражения 2a × 7b и значение второго выражения 14ab равны
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a = 1 и b = 2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28
14ab = 14 × 1 × 2 = 28
Таким образом, выражения 2a × 7b и 14ab при любых значениях переменных равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.
Делаем вывод, что между выражениями 2a × 7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
2a × 7b = 14ab
Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).
А равенство вида 2a × 7b = 14ab называют тождеством.
Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.
Другие примеры тождеств:
a + b = b + a
a(b + c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.
Верные числовые равенства тоже являются тождествами. Например:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.
Например, мы упростили выражение 2a × 7b, и получили более простое выражение 14ab. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.
Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.
Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.
Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.
Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.
Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.
Задания для самостоятельного решения:
при 
и 
при 
при 
и 
и 
при 
и 
- Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
- Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
смогу ли подготовиться к огэ за три месяца если ничего не знаю. ?
За девять сможешь, но это надо по два предмета в месяц проходить.
Как-то вы долго делали этот сайт.. Я в 8 классе, 4 месяца назад нашёл ваш сайт, так как ничего не понимал (там было вроде 30 шагов еще), прочитал их все, можно сказать базовое понял, но нужно дальше, на ютубе начал уроки смотреть и за еще 3 месяца, выучил на ютубе всю программу 5-8 класса, выучил 9 класс (неравенства), 10 класс(тригонометрия)
Человек занимается этим на безвозмездной основе, так что оставь свои претензии при себе, он тебе ничего не должен. Создатели этого сайта, я уверен, взрослые люди, со своими заботами и проблемами, а не школьники которые учатся до трёх часов дня, а потом делают что душе угодно. То что ты тригонометрию выучил — это молодец, да, однако здесь не лучшее место, что бы кичиться своими успехами в такой форме.
Здравствуйте, когда ориентировачно выйдут новые уроки?
Здравствуйте. Никогда не занимался математикой, я гуманитарий, но по воле судьбы приходится. Очень хороший сайт. Но мне срочно нужна инфа про корни, квадраты, кубы, интегралы, системы линейных уравнений, начальная тригонометрия, логарифмы и все подобное для экономистов. Нет ли возможности рассказать что это или где можно на доступном языке прочесть? Спасибо
Здравствуйте.
К сожалению, уроки с названными вами темами пока не написаны. Из книг можем посоветовать учебник Киселева по математике. Про интегралы хорошо написано у Александра Емелина на сайте http://mathprofi.ru/ и у Дмитрия Кирьянова на http://nerepetitor.ru/
У вас в 17 задании ошибка в подчеркивание, да и вообще в 17 задании..
Спасибо за ссылки!
Ввод понятия «свободный коэффициент» требует большего объяснения. Ибо до этого «коэффициенту» дается определение, как числу перед переменной, означающему ее множитель — исходя из этого, мне например, было вовсе не очевидно, как слагаемое ввиде одного числа мб коэффицентом. Стало ясно только после анализа материала по многочленам и их свободным членам — но это вроде как уже вперед паровоза…
Имеются ввиду подобные слагаемые свободные от буквенной части. Это словосочетание употреблено в переносном смысле и взято в кавычки.
Здравствуйте! Очень жаль что заморозили временно сайт, Вы все очень круто объясняете, спасибо вам! Хотел у Вас спросить, возможно Вы смогли бы подсказать учебники по которым можно начать изучение физики с нуля? Интересует квантовая физика, оптическая физика. Буду благодарен за помощ. 🙂
Когда же будут новые уроки?
С нетерпением жду
Не знаю кто прочтет меня! Но думую чтоб ваши уроки выходили не раз в месяц а более Чем иначе Вас нужно спонсировать. Во благо человечиству!
−0,4 × (−6,3b) × 2 = −0,4 × (−6,3) × b × 2 = −0,4 × (−6,3) × 2 × b = 5,04b
В таком выражении мы умножаем числа и идельно буквы,для того что бы его сократить, но как при умножении пусть даже и отрецательных чисел может получится результат меньше чем один из
множиттелей?
Илья, ничего странного в этом нет. В выражении есть множитель, уменьшающий результат (0,4), который говорит, что надо взять только 4 десятых от результата.
В школе математика для меня самой любимой дисциплиной, но в определенный момент сменили учительницу и математика для стала не постижимой. Закончил институт не понимал как решаются буквенные выражение. А тут за один день я понял эту на УРА ! И жалею что мне в нужный момент не педагогичные учителя не смогли доступно обЪяснить. Спасибо за отличный сайт!
Хочется знатьтемы для продолжения обучения
У вас полно ошибок, как в примерах, так и в грамматике. Сегодня уже накипело.
Все примеры вычисляются компьютером и выгружаются на сайт. Не знаю где вы обнаружили ошибку.
В одном из предложенных примеров необходимо было упростить вырожение. Ответ вышел 5/4ab. А разве не нужно было написать 1 1/4 (одна целая,одна четвертая) ab?
Можно. Но ничего не изменится.
Выражение уже упрощено.
Просто 5/4ab выглядит проще, чем 1 1/4ab или 1,25ab
Большое спасибо за Ваш труд. Вы большие молодцы.
Скажите пожалуйста, почему в примерах Вы пишите букву с коэффициентом то в скобках то за скобками? Например (-6а) = (-6)а.
Разницы нет, как я понимаю. Но считается ли какой-то вариант за ошибку?
Да, разницы нет. Значение выражения не меняется. Коэффициент был взят в скобки, чтобы показать, что минус относится к коэффициенту, а не к переменной a. Но можно этого не делать. Написали в угоду чрезмерному разжёвыванию. Видимо пора менять этот формат.
Извините, можете пошагово написать, как в примере -0,4×(-6,3)×b×2 получилось 5,04b ?
Сначала перемножили -0,4 и -6,3 — получилось 2,52. Затем 2,52 умножили на 2 — получилось 5,04. Затем 5,04 умножили на b — получилось 5,04b
Большое спасибо!!!
Интересный проект! Порой задумываюсь кто вы такие? 1 супер способный человек там сидит или вас таких гениев несколько, не суть, можете не отвечать, я не виноват что задаюсь такими вопросами, просто по ту сторону есть что-то очень умное и мне интересно узнать кто это. И еще больше интересует то, почему Вы скрываете себя
В третьем задании в кратком решении минус одна третья превратилась в одну третью.
Перед иксом коэффициент -1
Добрый день,
Не могу понять, куда в 18 задании подевалось n?
Спасибо!
Превратилось в 0.
Было же (-2+2)*n. Выражение (-2+2) стало равно 0. Получилось 0*n. А любое число или переменная, перемноженные с нулём дадут ноль
Отличный сайт! Спасибо большое Вам! Лучшего ресурса для изучения математики не видел
Во втором примере не верна находит коэффициент должно быть -6
Разве?
Здравствуйте! Возможно ли добавить в меню выбора тем в левой части сайта подшаги c названием всех тем всех шагов? Например, я не знаю, что такое коэффициент, как мне понять, что он относится к шагу 39? Спасибо.
Здравствуйте. Такой возможности пока нет.
Да, было бы классно, если вы высшую математику таким же языком и с такой же подачей нам объясните
В 17 задании можно же сократить до a+x / 2
x-a / 2
Я кое что не понимаю. В упрощении выражений начиная от 3 примера, как понять какие дроби надо сокращать? Почему в следующих примерах какие то дроби сокращенные, а какие то нет, как понять какие дроби надо сокращать отдельно, а какие вместе?
Нет такого требования, в котором сказано что какие-то дроби нужно сокращать отдельно, а какие-то вместе. Всё на усмотрение и удобство человека, решающего задачу.
автор, вы мне ответите? У вас написано «Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. » Как понять какой знаменатель надо сократить в паре с конкретным числителем?
Если выбранные вами множители в числителе и знаменателе имеют общий делитель, то сократите эти множители.
в теме «Упрощение выражений» после 3 примера, у вас идет пример: 12*9*6/3*2*4 , у цифр 12 и 3, 6 и 4 тоже есть общий нод, но если их сокращать, то пример получается неправильным. Как вы поняли что надо сократить 12 и 4, 9 и 3 чтобы получить правильный пример?
12 и 3, 6 и 4 тоже можно сократить. Такой вариант тоже будет правильным. Ответ всё равно не меняется.
Значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно то же число.
В примере нужно привести подобные слагаемые
5а-6а-7b+b
Обязательно заменять вычитание сложением ?
Просто ,если заменять получается -a+(-6b)
А если нет ,то(-a)-8b
Автору большое спасибо! Разжевываете всё до мелочей, на чём огромный плюс вашему сайту. Успехов вам в расширении материала!
Здравствуйте, упрощение выражений, 8 пример, подскажите пожалуйста
0,3+(-0,4)+1=0,9
Я никак не могу получить 0,9
Почему ответ такой? Как прийти к правильному результату?
Здравствуйте.
0,3+(-0,4)+1=0,9
Умножте усе на 10, для простоты.
3 — 4 = -1 (умноженное на 10)
0.3 — 0.4= -0.1 (оригинал)
((вспомните координаты) от нуля 3 шага вправо и 4 шага влево. После 3го шага мы «переступаем» порог «0» и уходим в отрицательные числа.)
-1 + 10 = 9 (умноженное на 10)
-0.1 + 1 = 0.9 (оригинал)
Здравствуйте.
0,3+(-0,4)+1=0,9
умножте все на 10
3-4=-1
0.3-0.4=-0.1
((вспомните координаты) от нуля 3 шага вправо и 4 шага влево. После 3го шага мы «переступаем» порог «0» и уходим в отрицательные числа.)
-1+10=9
-0.1+1=0.9
Спасибо большое за этот сайт ! Всё ясно и понятно объясняется. Продолжайте этот проект .
0.3+(0.4)= -0.9
-0.9+1=0.9
Пожалуйста помогите с примером, я просто не понимаю как упрастить выражение с-(2с-(3с+1)) при этом с= -2,1
Очень здорово! Я философ, а философу без математике ну никак нельзя. И здесь я ликвидирую своё незнание математики, многие годы искал лучший путь усвоения математики мной, он здесь. Никакие другие пособия в подмётки не годятся тому, что здесь есть!
Здраствуйте! Почему в 12 задании ответ 1/225xz,а не -1/225xz?Второая дробь была отрицательным числом ,следовательно я после сокращение дроби умножал 1×(-1)×1 в числителе,а в знаменателе 5×(-3)×15,после чего получил -1/255xz.
В 13 задании неверно указаны сокращения.
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
Не пойму, откуда здесь (0,3 + (−0,4) + 1)×a единица в скобках взялась?
коэффициент при a
Очень полезный сайт. Спасибо авторам за труд. Где можно найти еще упражнения по этой теме?
Упрощение выражений => пример 12. => Там где начинается часть -2/5b + (-1/10b) => Нужно добавить ссылку что это сочетательный закон умножения так как -2/5b + -1/10b = -2/5*b+ -1/10*b => то есть a*c+b*c = (a+b)*c Получается => -2/5*b+1/10*b = (-2/5+ -1/10)*b => то есть пояснить мы это делаем для уменьшения количества действий с 3-х => a*c+b*c => умножение, умножение, плюс на два => (a+b)*c => сложение, умножение.
P.S Прикрутите плагин LaTex что бы красиво записывать формулы в комменты. \beta => β
Как в примере 6 десятичную дробь -6,4 перевели в -64/10. Разве при переводе в обычную дробь -6,4 не превращается в -6 4/10 ?
А теперь переведите -6 целых 4/10 в неправильную дробь и вуаля, получаем (-6*10-10/10) -64/10
В самостоятельной работе в 13 задании правильный ответ будет 105/106y
Явная ошибка в примере 5: 5a − 6a −7b + b
Правильный ответ: -a-8b
Посчитайте сами.
Я прошу прощения. Я не прав. Ещё раз внимательнее всё пересчитал, подставил в переменные числа, вместо букв и мой ответ оказался неверным. Посидел, подумал, насколько раз перестало и вы правы. Правильный ответ, -a+(-6b) , либо
-a-6b, что является тем же самым.
Ещё раз извиняюсь. Всем добра и будьте внимательны.