Смешанные числа

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь одна вторая. Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби две первых . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

два прибавить одну вторую будет две целых одна вторая

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: два плюс одна вторая, а конец так: две целых одна вторая. Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь одна вторая соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что две целых одна вторая это свёрнутая форма записи смешанного числа, а два плюс одна вторая — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида две целых одна вторая , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения два плюс одна вторая равно две целых одна вторая

два плюс одна вторая будет две целых и одна вторая

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

две целых плюс половина решение в пиццах

Пример 2. Найти значение выражения 152

Представим число 3 в виде дроби 1522. Затем сложим дроби с разными знаменателями:

1523

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

1526

Пример 3. Найти значение выражения две плюс две пятых

Можно записать вместе число 2 и дробь пять вторых, но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби пять вторых можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби пять вторых . Пять вторых это две целых и одна вторая:

выделение целой части в дроби пять вторых

Теперь в главном выражении две плюс две пятых вместо дроби пять вторых запишем смешанное число две целых одна вторая

две плюс две пятых шаг 2

Получили новое выражение два плюс две целых одна вторая. В этом выражении смешанное число две целых одна вторая запишем в развёрнутом виде:

два плюс два плюс одна вторая

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

четыре плюс половина

Теперь свернём полученное смешанное число:

четыре плюс половина сворачивание

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

две плюс две пятых окончательное решение

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения 1531. Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

1532

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

2 plus 3 plus 1 na 2 plus 1 na 8

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

5 plus 1 na 2 plus 1 na 8

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

1535

Получили  1536 . Теперь в главном выражении 5 plus 1 na 2 plus 1 na 8 заменяем дробные части на полученную дробь 1536

1537

Теперь свернем полученное смешанное число:

1538

Таким образом, значение выражения 1531 равно 1539. Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

5 plus 1 na 2 plus 1 na 8 pic

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

15310

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения 5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 пример

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 1

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 2

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 3

Теперь вычислим дробные части:

1544

Получили смешанное число 1545. Теперь в главном выражении 5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 3 заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число 1545

5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 4

Получили выражение 5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 рисунок 4. В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа 1545 . Для этого смешанное число 1545 можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

1547

Сложим целые части. Получаем 9

1549

Сворачиваем готовый ответ:

1550

Таким образом, значение выражения 5 на 5 на 6 плюс 3 на 3 на 4 пример равно 1551.

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

1552

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

  • привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
  • отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения 4 na 2 na 3 plus 3 na 2 na 5

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

4 na 2 na 3 plus 3 na 2 na 5 step 2

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число 1561 . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

1562

Здесь смешанная дробь 1561 была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ 1563.

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

2 plus 3 na 1 na 3 pic

Пример 2. Найти значение выражения 1564

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

1573

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть 1574  представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

1575

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь одна вторая. Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби 1na1 , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

1 na 1 minus 1 na 2 ravno 1 na 2 step 1

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

1 na 1 minus 1 na 2 ravno 1 na 2 step 2

Пример 2. Найти значение выражения 1581.

Представим число 2 в виде дроби 14167 , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

1582

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

2 minus 1 na 2 рисунок 1

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения 3 минус 1 на 3, не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

3 na 1 na 2 рисунок 1

Нужно вычесть из них одна третья. Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

3 минус 1 на 3 рисунок 2

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

3 минус 1 на 3 рисунок 3

Получилось две целых две третьих (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения 3 минус 1 на 3 обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

3 минус 1 на 3 решение

Пример 3. Найти значение выражения 1591

Представим число 3 в виде дроби 1592. Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

1593

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения пять минус одна целая и одна вторая .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число одна целая и одна вторая перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа одна целая и одна вторая в неправильную дробь, получим дробь 15123. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

15124

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

5-1 na 1 na 2 рисунок

Пример 2. Найти значение выражения 15131

Представим 6 в виде дроби 15132 , а смешанное число 15133, в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа 15133  в неправильную дробь, получим дробь 15134. Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

15135

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения 2 minus 2 na 3 step 1, то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

2 minus 2 na 3 step 3

Тогда от той пиццы, от которой отрезали две третьих останется одна третья пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

2 minus 2 na 3 step 2

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения: 15141

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа 15142 и 15143 перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

15144

Если от трёх целых и половины пиццы вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

3 na 1 na minus 2 na 1 na 3 рисунок

Пример 2. Найти значение выражения 15141

Переводим смешанные числа 15142 и 15143 в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

15144

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

Умножение целого числа на дробь

Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, умножим число 5 на дробь одна вторая. Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби одна вторая, а знаменатель оставить без изменения:

15151

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

15152

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

5 na 1 na 2 рисунок

Пример 2. Найти значение выражения 15161

Умножим число 3 на числитель дроби 15163

15162

В ответе получилась неправильная дробь 15164, но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

15165

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

3 na 2 na 3 рисунок

Пример 3. Найти значение выражения 15171

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

15172

Пример 4. Найти значение выражения 15181

Умножим число 3 на числитель дроби одна вторая

15183

Умножение смешанного числа на дробь

Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.

Пример 1. Найти значение выражения 2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1

Переведём смешанное число  в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь три вторых. Затем можно будет умножить эту дробь на две третьих

2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 решение

Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 рисунок 1

Умножить эти куски на две третьих означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:

2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 рисунок 2

Теперь если мы возьмем две третьих (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:

2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 рисунок 3

Поэтому значение выражения 2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 было равно 1

2 na 1 na 2 na 2 na 3 ravno 1 рисунок 4

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить  и две целых одна вторая. Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 решение

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 рисунок 1

Теперь разберемся со смешанным множителем две целых одна вторая. Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще одна вторая раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 рисунок 2

Но ещё осталось взять одна вторая от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число две целых одна вторая. Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 рисунок 3

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является три четвёртых пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 рисунок 4

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является три четвёртыхпиццы.

Поэтому значение выражения 1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 равно 3 na 3 na 4

1 na 1 na 2 na 2 na 1 na 2 рисунок 5

 

Пример 2. Найти значение выражения 2 на 1 на 3 на 3 на 1 на 4 пример

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

2 на 1 на 3 на 3 на 1 на 4 решение

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь одна вторая. Здесь число 3 — это делимое, а дробь одна вторая — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби одна вторая. А обратная дробь для дроби одна вторая это дробь две первых. Поэтому умножаем число 3 на дробь 15221

3 na 1 na 2 решение

Допустим, имеются три целые пиццы:

3 na 1 na 2 рисунок 1

Если мы зададим вопрос «cколько раз одна вторая (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

3 na 1 na 2 рисунок 2

Поэтому значение выражения 3 na 1 na 2 выражение равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения 2 на 3 на 2 пример

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби три вторых. А обратная дробь для дроби три вторых это дробь две третьих

2 на 3 на 2 решение

Допустим, имеются две целые пиццы:

2 на 3 на 2 рисунок 1

Зададим вопрос «Сколько раз три вторых пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби три вторых. После выделения целой части в этой дроби получим 

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

2 на 3 на 2 рисунок 5

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

2 на 3 на 2 рисунок 2

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

2 на 3 на 2 рисунок 4

Поэтому значение выражения 2 на 3 на 2 пример равно одна целая одна третья

Пример 3. Найти значение выражения 5 na 9 na 2

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби 9 na 4. А обратная дробь для дроби 9 na 4 это дробь 4 na 9. Поэтому умножаем число 5 на 4 na 9

5 na 9 na 4 решение

Дробь 9 na 4 это 2 целых и одна четвертая. Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

5 na 9 na 4 рисунок 1

А выражение 5 na 9 na 2 определяет сколько раз  содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число 2 na 2 na 9.

То есть  пиццы содержится в пяти целых пиццах 2 na 2 na 9 раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по 

5-1 na 1 na 2 рисунок 3

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой две девятых от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в  пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

5-1 na 1 na 2 рисунок 4

Поэтому значение выражения 5 na 9 na 2 равно 2 na 2 na 9

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь одна вторая на число 2

Чтобы разделить дробь одна вторая на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь одна вторая

1 на 2 на 2 решение

Пусть имеется половина пиццы:

рисунок половина пиццы

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

1 na 2 na 2 рисунок

Поэтому значение выражения 1 na 2 na 2 равно одна четвертая

Пример 2. Найти значение выражения 5 на 7 на 2 пример

Чтобы решить этот пример, нужно дробь 5 на 7 умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь одна вторая

5 на 7 на 2 решение

Пример 3. Найти значение выражения 3 на 5 на 3 пример

Умножаем первую дробь Три пятых на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь одна третья

3 на 5 на 3 решение

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель  в неправильную дробь, получим три вторых. Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби три вторых. Обратная для дроби три вторых это дробь две третьих

2 на 1 на 1 на 2 решение

Допустим, имеются две целые пиццы:

2 на 3 на 2 рисунок 1

Зададим вопрос «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

2 на 3 на 2 рисунок 2

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

2 на 3 на 2 рисунок 4

Поэтому значение выражения 2 на 1 на 1 на 2 пример равно одна целая одна третья

Пример 2. Найти значение выражения 5 на 2 на 1 на 7 пример

Переводим делитель 2 на 1 на 7 в неправильную дробь, получаем 15 на 7. Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби 15 на 7. Обратная для дроби 15 на 7 это дробь 7 на 15

5 на 2 на 1 на 7 решение

Сначала мы получили ответ 152611, затем сократили эту дробь на 5, и получили 7 на 3, но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ две целых одна третья

Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим  на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое  перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.

Переведём смешанное число  в неправильную дробь, получим три вторых.

Теперь умножаем три вторых на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь одна вторая

1 на 1 на 2 на 2 решение

Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:

1 на 1 на 2 на 2 рисунок 1

Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:

1 на 1 на 2 на 2 рисунок 2

Затем разделим поровну на две части и половину:

1 на 1 на 2 на 2 рисунок 3

Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по три четвёртых пиццы в каждой группе:

1 на 1 на 2 на 2 рисунок 3

Поэтому значение выражения 1 на 1 на 2 на 2 пример равно три четвёртых

Пример 2. Найти значение выражения 3 на 1 на 5 на 4 пример

Переведём делимое 3 на 1 на 5 на 4 в неправильную дробь, получим 16 на 5. Теперь умножаем 16 на 5 на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь 15294.

3 на 1 на 5 на 4 решение

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения 2 на 1 на 2 на 1 на 1 на 4 шаг 1

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

2 на 1 на 2 на 1 на 1 на 4 шаг 2

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь пять вторых нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь 4 на 5 .

Дорешаем данный пример до конца:

2 на 1 на 2 на 1 на 1 на 4 шаг 3

Допустим, имеются две целые и половина пиццы:

2 на 1 на 2 на 1 на 1 на 4 рисунок 1

Если зададим вопрос «Сколько раз одна целая одна четвертая (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:

2 на 1 на 2 на 1 на 1 на 4 шаг 4

Пример 2. Найти значение выражения 15311

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

15312

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь 15314

15316

Сначала мы получили дробь15317. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь 15318, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби 15318 целую часть. В результате получили окончательный ответ 15319.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Показать решение
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Показать решение
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Показать решение
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Показать решение
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

90 thoughts on “Смешанные числа”

  1. Добрый день!
    Большое спасибо авторам сайта. Математика изложена действительно «с нуля». Давно искала источник, где материал был бы изложен подобным образом. Скажите пожалуйста, постепенно будет изложен весь курс элементарной математики, а затем и высшей?

    Ответить

    1. Здравствуйте.
      А будете ли вы выкладывать здесь занятия по геометрии или только арифметика и алгебра?

      Ответить

        1. Как я понимаю, здесь материал охватывает 5-6 классы математики. Скажите, а планируете алгебру (с 7 класса) рассматривать так же подробно?

          Ответить

    2. Здравствуйте Admin этот курс очень развернутый и понятный спасибо большое!))
      У меня вопрос вы делаете это бесплатно??
      Если да то почему?

      Ответить

  2. смешанное число переводят в неправильную дробь, и дальше надо будет сложить первую обыкновенную дробь и вторую которую перевели из смешанного числа в неправильную дробь

    Ответить

  3. А ещё, кажется, можно так вычитать:
    5 — 3,3/5 = 4,5/5 — 3,3/3 = 1,2/5
    Тут коряво получается, правда, но думаю, так проще — представить единичку в виде дроби с таким же знаменателем.

    Ответить

  4. Здравствуйте админ, у меня вопрос: чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, можно ли сразу числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби?. Точно также и второй дробью. Н-р, можно ли сразу так привести к одинаковому знаменателю 18/19+9/13=18×13/19×13+9×19/13×19?

    Ответить

    1. Можно, но так понятнее 18/19+9/13=13×18/13×19+19×9/19×13
      Можно еще так по формуле НОК(a,b)=a×b:НОД(a,b)

      пример : 72/45

      45-27=18
      27-18=9
      18-9=9
      НОД (9)

      72×45=3240
      3240:9=360
      НОК (360)

      Ответить

  5. При выделении целой части у дроби 45/40, у меня получается 1 целых, 15/40. В онлайн таблице, это дробь упрощается и получается дробь 1 целых, 1/8. У кого ответ правильный, у меня или у онлайн таблицы?

    Ответить

    1. При выделении целой части у дроби 45/40 должна получиться 1 целая и 5/40. Целую часть оставляете как есть, а дробную сокращаете на 5, тогда получаете 1 целую и 1/8.

      Ответить

  6. Можно ли смешанные числа перевести в неправильные дроби и сложить?

    Ответить

    1. Пожалуйста, скажите, когда будут новые уроки ?? уже 4 месяца прошло(( Не бросайте проект

      Ответить

  7. Добрый вечер. Для начала хотелось высказать огромное спасибо, за такой чудесный сайт. С математикой я никогда не ладила, что в школе, что в колледже. А тут, если честно, мня так увлекло и понравилось, что всё конспектирую)))
    Такой вопрос, при сокращении/выделении целой части у вас сначала сокращается, а потом уже выделяется целая часть. А меня всё время тянет сначала выделить, а потом сократить, такой вариант считается ошибочным?:
    72/45 = 1 27/45= 1 3/5?

    Ответить

    1. Мурад, это ещё один способ приведения дробей к общему знаменателю. Способ рабочий и его можно применять, но в результате его применения часто получаются большие числа, с которыми неудобно работать. Но иногда это оправдано, особенно когда в знаменателях дробей находятся простые числа:

      null

      Ответить

  9. теперь ясно , спасибо . У меня с мат. вообще плохо на самом деле) решал пример недавно ,попались дроби с разными знаменателями , длинющие просто . Не подскажете как легче всего найти общий знаменатель ? Вернее как найти НОД . если перемножить оба знаменателя не пойдет?

    Ответить

  11. Здравствуйте. Начал изучать математику на Вашем сайте, потому что через 4 месяца у меня экзамен.

    Планируется ли добавление тем по тригонометрии?

    Ответить

  13. Благоданствую, сайт объясняет все доходчиво и по полочкам. Вы писали , что если пропустить несколько тем по математике, то дальнейшее изучение будет сложновато! И вы правы!
    В школьные годы я попросту считал, что математика мне не пригодится, но увы, я ошибался!
    И благодаря вашему сайту, я узнал то, что пропустил мимо ушей в школьные годы!
    Учиться никогда не поздно!
    Еще раз Спасибо!!

    Ответить

  15. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
    700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?
    помогите пожалуйста!

    Ответить

  16. Здравствуйте! Замечательный сайт, все доходчиво объясняется. Спасибо вам за столь большую работу). Единственное чего не хватает это примеры или же какие нибудь задачи для закрепления материала. Было бы хорошо если имелось возможность без лишних поисков в интернете (на что я сам трачу кучу времени) закрепить изученное по каждой теме на той же странице ну или как-то так)). Еще раз СПАСИБО вам огромное))

    Ответить

  17. Здравствуйте！В первом примере второй темы по моему мнению ошибка. Предложено най ти решение примера 2+1/2+3+1/8 . Мне кажется взят не верный НОК. Нок 1/2 и1/8 это 16. Если я правильно поннимаю то НОК не может быть меньше этих чисел , а вы взяли за НОК 4，хотя это и не влияет на результат примера но путает. Проверьте пож. Спасибо）

    Ответить

  19. Здравствуйте! В умножении смешанных чисел в первом примере результат выражения равен 8 целых, 3/6. Можно ли сокращать дробную часть в смешанных числах? Т.е. до 8 целых, 1/2 (3/6 сократить на 3)? Благодарю за ответ!

    Ответить

  20. Здравствуйте! Ваши уроки ооочень помогли мне,хотя математику я вообще не понимала, скажите,когда будут следующие уроки?
    Надеюсь вы не перестанете этим заниматься..

    Ответить

  21. Здравствуйте!Огромное спасибо за ваши уроки!)Не каждый репетитор обьяснит на столько доступно!)У меня всегда были проблемы с математикой((((Но сейчас мне даже очень интересно!)

    Ответить

  22. Спасибо вам за супер урок.Я в школе это все учил,но потом не использовал поэтому забыл, а сейчас когда читаю все вспоминаю. Надо признаться ваши уроки number One 🙂

    Ответить

  23. Добрый день,как поступать если целое число с сотыми,например 2,34-3/50= у меня при решении этого примера получилось 6 а в ответе решебника 2,28

    Ответить

    1. Добрый.
      Как вам удобнее.. Можете перевести десятичную дробь в обыкновенную и далее вычислить, как показано в уроке:

      null

      Либо так:

      null

      Либо самый практичный вариант — перевести вторую дробь в десятичную и получить простое выражение:

      null

      Ответить

      2. я за то, что ученики переводят целые числа и смешанные дроби в неправильные при сложении и вычитании, ставлю двойки.

        Ответить

        1. Ну и зря. Надо давать детям больше свободы. Пусть пробуют разные решения. Тогда лучше поймут, какие методы более рациональны.

          К центру города можно доехать разными маршрутами, но всегда есть более удобный, быстрый и безопасный маршрут.

          Ответить

        2. Вот «благодаря» таким принципиальным учителям многие ничего не понимают в школе. Главное — это получить правильное решение любым удобным для человека способом, а не думать по шаблону

          Ответить

  24. А чего так мало заданий, для самостоятельного решения, только по сложению.

    Ответить

  25. Спасибо! Мне кажется для самостоятельного решения нужно больше заданий написать) тема сложная, поэтому нужно тренироваться

    Ответить

  26. все прекрасно, но мало заданий для самостоятельного решения, а материал без практики не усвоится нормально. надеюсь вы не забросили это дело и в скором времени будете дополнять сайт и перейдете в высшую математику!

    Ответить

  28. А как будет выглядеть вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями? Можно же не переводить в неправильную дробь? А вычилисть напрямую. Например 3 целых 2/4 минус 1 целая 1/4. Ну. Тут без вычисления можно сказать, что будет 2 целых и 1/4. Верно, нет?

    Ответить

    1. Да, верно. Но в некоторых случаях надо смотреть на дробную часть уменьшаемого. Например, чтобы вычислить что-то вроде этого null, нужно будет перевести смешанные числа в неправильные дроби. Или взять единицу от целой части в уменьшаемом:

      null

      Ответить

  29. Как решить такой пример не приводя к неправильным дробям. 16 целых и 7/11 — 9 целых и 8/11. Дальше у уменьшенного должно быть уже 15 целых, определенная дробь, а вычитаемое без изменений. Дальше продолжить пример. Как это решить?

    Ответить

  31. Админ не подскажете а как их всех запомнить это же просто нереально тут методов 14 как не забыть даже банальные правила что надо превратить не правильную дробь потом ее перевернуть и т д, я при таких методах просто запутаюсь

    Ответить

    1. Запоминать не нужно. Главное понять. Если поймёте, логика сделает всё за вас.

      Ответить

      1. Админ спасибо огромное знаете у меня идея по поводу вашего сайта, вы бы создали еще одну закладку типа помощь проекту вставьте киви кошелек и пусть люди по собственному желанию вам деньги скинут много людей бы помогло бы вам

        Ответить

  32. Здравстуйте. Я не понимаю, как переводить смешанную дробь в неправильную? Возможно, я где-то и пропустил описание этой операции. Можете подсказать, где в уроках раскрывается эта операция?

    Ответить

  33. Ошибка: Деление дроби на целое число, пример #1, обратное число 2 — 1/2 (вместо 2/1)

    Ответить

  34. Большое спасибо за уроки, все очень доходчиво и понятно. Единственно под этой довольно большой большой темой, очень мало задач для самостоятельного решения. Но как вы уже сказали выше: «Главное понять принцип»

    Ответить

  35. Здравствуйте. По поводу вычитания дроби из целого числа думаю удобней представить целое число в виде смешанного числа где целое будет на единицу меньше данного а дробь состоять из одинаковых числителя и знаменателя равных знаменателю вычитаемого. Тогда нет необходимости приводить к общему знаменателю путём поиска НОК. Хотя может это есть в теме и я прочитал невнимательно…

    Ответить

  36. На такие обширные темы хотелось бы гораздо больше заданий для самостоятельной работы. Спасибо.

    Ответить

  37. Мне кажется, заданий для упражнения здесь не хватает. В этом уроке рассматриваются многие разные действия с дробями, но задания ограничиваются лишь действиям с сложением и вычитанием.

    Ответить

  38. хотелось бы больше практики, для закрепления материала, большое спасибо.

    Ответить

    1. Со школы еще не сталкивался с математикой, не могу понять одну вещь, не могли бы обьяснить? В главе «деление целого числа на дробь» приведен пример два разделить на одну целую и одну вторую получится одна целая и одна третья. И ниже обьясняется что оставшаяся половина это одна треть. Вопрос: но почему это будет одной третью тогда как эта оставшаяся половина является одной четвертой частью от двут кругов? Я запутался)) не пойму почему «остаток» то есть половина круга а это 1/4 часть от двух кругов, будет считаться 1/3?))

      Ответить

      1. Половина круга является одной четвёртой по отношению к двум целым кругам. Но если рассматривать целый круг и еще половину как единую величину, то половина круга будет являться одной третьей по отношению к одному целому кругу и половине круга.

        Ответить

        1. Вы имеете в виду про остаток «пол круга» помимо одного целого и половины, может я не так понял? Вы не могли бы привести пример пожалуиста, как может пол круга может быть одной третью по отношению к одному целому и половине?)) получается одна целая 1/2 (делитель) и одна целая и 1/3 (ответ) это одно и тоже? Чтот не догоняю простите))

          Ответить

          1. Спасибо большое я уже разобрался и понял, теперь все стало на свои места

            Ответить

  39. В принципе было бы очень даже простительно, если в конце темы была бы ссылка на хорошую доставку пиццы!

    Ответить

  41. Здравствуйте админ как можно еще с вами связаться помимо комментария?

    Ответить

    1. Просто нужен был ваш совет. Хотел по почте вам отправишь файл в котором формулы, хотел спросить что мне нужно знать из математики чтобы работать с этими формулами а что можно оставить и не тратить время. Был бы очень благодарен. Я думаю это займет пару секунд чтобы оценить уровень формул в этом файле.

      Ответить

  42. Хороший сайт,все более менее понятно изложено.Только вот почему у вас нет формул над действий с дробями? С ними гораздо удобней и быстрей,чем находить нок и нод.

    Ответить

  43. Добавьте заданий под данным уроком. Тут бы и на умножение, и на деление. Благодарю.

    И что на счёт сокращений числитиля и знаменатиля «противоположных» чисел в умножении. Зачем делать лишнюю работу мнодить, а потом сокращать(делить). Посмотрю, возможно, это следующая тема просто…

    Ответить

  44. Спасибо вам огромное! Всё изложено реально подробно и понятно — любой «чайник» поймёт. Благодарю вас!

    Ответить

  45. Какой же у вас замечательный сайт! Большое спасибо вам! обязательно поучаствую в финансовой поддержке. Подскажите, нет ли у вас случайно геометрии и физики с нуля, такого же плана? Уникальный сайт в своём роде. Всё доступно, понятно.

    Ответить

    1. Здравствуйте! Спасибо и Вам!
      Геометрии и физики к сожалению нет, но некоторые вещи из этих предметов разбираются на данном сайте.

      Ответить

  46. здраствйте, я не понял один момент, обьясните пожалуйста почему в последнем разделе вычитание смешанных чисел в
    2 3
    примере 52 — 13 на верхах 52 указана 2 а в 13 указн 2
    — —-
    9 6

    Ответить

  47. здраствйте, я не понял один момент, обьясните пожалуйста почему в последнем разделе вычитание смешанных чисел в примере решении 52 — 13 на верхах 52 указана 2 а в 13 указн 2

    Ответить

  49. «Умножение целого числа на дробь
    Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого достаточно умножить это число на числитель дроби.»

    Про знаменатель забыли.

    Ответить

  50. Жаль,что мало заданий.Тема действительно тяжёлая,что бы её усвоить,уйдёт не один день для новичков.

    Ответить

  51. В примере 3 какие то арабские махинации используются. Я вообще так то использую по другому. 2+ 2/5= 2×2+5= 9/2 (два так и оставляем просто потому что потому.) 9/2 делим 9 на 2, получаем 4 1/2. И всё.

    Ответить

  53. у меня есть вопрос , обязательно ли понять как решается пример в виде пиццы? п.с я просто понимаю как решается пример но иногда не понимаю некоторых примеров решаемых в виде пиццы (

    Ответить

    1. Если ваша цель просто научиться решать примеры на дроби, то необязательно.
      А для углубленного изучения всё же рекомендую понимать и рисунки.

      Ответить

  54. Мне кажется, стоит добавить в задания ещё примеров, так как эти не всю тему охватывают. Обычно стараюсь решать всё, чтобы лучше освоить тему, а тут не хватило готового материала, где можно убедиться в правильности решения.

    Ответить

  55. Добрый день,
    Благодарю за прекрасное и легкое изложение материала, схватываешь на лету, продолжайте дальше, есть желание учиться и за это можно и нужно поддерживать проект рублем…

    Ответить

  56. Как-то маловато задач по сравнению с предыдущими уроками. В тексте встречается парочка неточностей. Как, например, скажем, на картинке нарисовано 3 пиццы с половиной, а в тексте речь идёт про 3 пиццы. Вот конкретный участок текста: «Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы».

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *