Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число.

В прошлом уроке мы изучили степень с натуральным показателем. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.

Также, мы рассмотрели степень, показателем которой является 0. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку 0 относится к целым числам.

Рассмотрим ещё один вид степени с целым показателем, а именно показателем которой является целое отрицательное число. Выглядят эти степени так:

2⁻², 10⁻⁷, a⁻⁸

В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем.

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Первая степень в этой последовательности это степень 2⁰. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2⁻¹.

2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2⁻¹, будет степень 2⁻²

2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2⁻¹ мы вычислили. Она равна рациональному числу 

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим  на 2

Получили . Это значение степени 2⁻²

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 2² есть число 4. А значение степени 2⁻² есть число . Числа 4 и  являются обратными друг другу. А степени 2² и 2⁻² отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2⁻²

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида a⁻ⁿ можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2³ : 2⁵. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2⁻². Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение   как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим 

---

Пример 2. Найти значение выражения 9⁻²

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:

---

Пример 3. Найти значение выражения 3⁻³

Следует упомянуть, что правило  работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.

---

Пример 4. Найти значение выражения 

---

Пример 5. Найти значение выражения 

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.

---

Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2⁻¹ × 2⁻³ в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2⁻¹ × 2⁻³ = 2^{−1 + (−3)} = 2⁻⁴

---

Пример 2. Найти значение выражения 5⁻¹⁵ × 5¹⁶

Воспользуемся основным свойством степени:

5⁻¹⁵ × 5¹⁶ = 5^{−15 + 16} = 5¹ = 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.

---

Пример 3. Найти значение выражения (10⁻⁴)⁻¹

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10⁻⁴)⁻¹ = 10^{−4 × (−1)} = 10⁴ = 10000

---

Пример 4. Найти значение выражения 

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)⁻⁶

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5⁻⁶

Вычислим степень 2⁻⁶

---

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 2⁰, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 2² из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 2² × 2⁻². Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

2² × 2⁻² = 2^2 + (−2) = 2⁰ = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение a⁻ⁿ.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2⁻²

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2⁻² из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2⁻² и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2⁻² была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 3², a³, b⁴. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 3⁻²a⁻³b⁻⁴.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

---

Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель

---

Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель

---

Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель

---

Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:

---

Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:

---

Пример 8. Представить произведение 3x⁻⁵ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x⁻⁵ с помощью знака умножения:

3 × x⁻⁵

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x⁻⁵ заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

---

Пример 9. Представить произведение 3(x + y)⁻⁴ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)⁻⁴. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)⁻⁴ заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 

---

Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x² в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x⁻².

---

Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.

---

Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2⁻³ из знаменателя в числитель, а степень 10⁻² из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2⁻³ в числитель, и степень 10⁻² не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:

---

Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например:

Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны модулю показателя исходной степени. Например, в степени 10⁻² модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть:

Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:

---

Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10⁻¹. Показатель степени 10⁻¹ равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 10⁻¹

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 10⁻¹.

---

Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10⁻². Показатель степени 10⁻² равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10⁻²

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10⁻².

---

Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10⁻³

---

Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10⁻⁴

---

Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10⁻⁵

---

Стандартный вид числа

Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000

2 × 1 000 000

Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 10⁶

2 × 10⁶

Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.

Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.

5 × 0,001

Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10⁻³

5 × 10⁻³

Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10⁻³

0,005 = 5 × 10⁻³

По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 10⁶. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000

2 × 10⁶ = 2 × 1 000 000 = 2 000 000

А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10⁻³. Если вычислить это произведение, то получим 0,005

То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.

Стандартным видом числа называют запись вида a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 и n — целое число.

Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ a < 10 становится верным.

Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ a < 10 при подстановке числа 12 вместо а

1 ≤ 12 < 10

Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:

1,2

Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10

1 ≤ 1,2 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение a × 10ⁿ. С числом а мы разобрались — этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?

После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.

Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹

12 = 1,2 × 10¹

---

Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.

Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10⁻¹. В результате получим следующую запись:

0,5 = 5 × 10⁻¹

---

Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.

Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 10⁵. В результате получим следующую запись:

652 000 = 6,52000 × 10⁵

Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:

652 000 = 6,52 × 10⁵

---

Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.

Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 10⁶. В результате получим следующую запись:

1 024 000 = 1,024000 × 10⁶

Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:

1 024 000 = 1,024 × 10⁶

Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.

---

Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.

Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10⁻⁴. В результате получим следующую запись:

0,000325 = 3,25 × 10⁻⁴

---

Задания для самостоятельного решения

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках