Буквенные выражения

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьезная задача в математике сводится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы описать какое-либо явление или процесс этого мира, составляется математическая модель (тоже самое, что и уравнение). А чтобы уметь составлять такие модели опять же нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Для того, чтобы работать с буквенными выражениями, нужно в первую очередь изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, НОД и НОК, пропорции и т.д. И не просто изучить, а понять досконально. Вся сложная математика основана на понимании элементарных вещей.

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении a+b+4 переменными являются буквы a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a+b+4 превратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2, переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение a+b+3 превращается в обычное числовое выражение 2+3+4 значение которого можно найти:

2 + 3 + 4 = 9

Когда же происходит умножение переменных, то они записываются слитно. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a×b. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3, то мы получим 6

2 × 3 = 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a×(b + c) можно записать a(b + c). Применив распределительный закон умножения получим a(b + c)=ab+ac. То есть, знак умножения опускается.


Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись в которой число и переменная записаны слитно, например 3a. На самом деле это короткая запись умножения тройки на переменную a и эта запись выглядит как 3×a.

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«

Например, если переменная a равна 5, то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» или «увеличить значение выражения abc в пять раз», но наиболее часто читается как «пять abc«

Если вместо вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемножились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

пять умножить на два на три на четыре равно 120

Знак коэффициента относится только к коэффициенту, и не относится к переменным. Что это означает? Рассмотрим выражение −6b. Минус, стоящий перед коэффициентом 6, относится только к коэффициенту 6, и не относится к переменной b. Понимание этого факта позволит не ошибаться в будущем со знаками.

Например, найдем значение выражения −6b при b = 3.

−6b это короткая форма записи −6×b. Поэтому для удобства, сначала записываем выражение −6b в развёрнутом виде, и только потом подставляем значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18


Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b

и далее подставляем значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30


Пример 3. Найти значение выражения −5a+b при a = 3 и b = 2

−5a+b это короткая форма записи −5×a+b, поэтому для удобства сначала записываем выражение −5×a+b в развёрнутом виде, и только потом подставляем значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13


Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае, коэффициентом является единица:

1a, 1ab

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1. Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a. Это произведение минус единицы и переменной a и оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь кроется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к «невидимой единице», а не к переменной a. Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас просят найти его значение при a=2, то в школе мы как обычно вставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2, не особо зацикливаясь на том, как это получалось, а на самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−1 × 2 = −2

Если к примеру, дано выражение −a и нас просят найти его значение при a=−2, то мы вставляем −2 вместо переменной a

−1 × (−2) = 2

Поэтому, чтобы не запутаться, первое время рекомендуем записывать «невидимые коэффициенты» явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2, b=3 и c=4

Выражение abc это короткая форма записи 1×abc, поэтому для удобства сначала записываем выражение abc в развёрнутом виде, и только потом подставляем значения переменных a, b и c

1 × abc = 1 × 2 × 3 × 4 = 24


Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−3 и c=−4

Записываем выражение abc в развёрнутом виде, и только потом подставляем значения переменных a, b и c

1 × abc = 1 × (−2) × (−3) × (−4)=−24


Пример 6. Найти значение выражения abc при a=3, b=5 и c=7

Выражение abc это короткая форма записи −1×abc, поэтому для удобства сначала записываем выражение abc в развёрнутом виде, и только потом подставляем значения переменных a, b и c

−abc = −1 × abc = −1 × 3 × 5 × 7 =−105


Пример 7. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−4 и c=−3

записываем выражение abc в развёрнутом вид

−abc = −1 × abc

и далее подставляем значение переменных a, b и c

−abc = −1 × abc = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24


Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу в которой требуется определить коэффициент в выражении. В принципе, данная задача очень проста. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет являться коэффициентом.

Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть, параметры 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105. После завершения, буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке, для удобства и эстетики:

−105amn


Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

Перемножим отдельно числа и буквы:

−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.


Пример 3. Определить коэффициент в выражении: минус одна третья mn три a

Перемножим отдельно числа и буквы:

минус одна третья mn три a равно минус amn

Коэффициент равен −1. Обратите внимание на то, что мы его не записали, потому что коэффициент 1 (как и −1) не записывают.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с вами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен неверно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на идеальном уровне.


Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Это мы знаем с самого начала изучения математики. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Видно, что выражение состоит из сплошных слагаемых. Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного удобнее − складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Получается, что числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим везде слагаемые:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минуса. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1+2−3+4−5 и 1+2+(−3)+4+(−5) равны одному и тому значению — минус единице

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не страдает от того, что мы где-то заменили вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

Заменим вычитание сложением там, где это нужно:

7a + 6b +(−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a+6b−3c+2d−4s и 7a+6b+(−3c)+2d+(−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те параметры, которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a−b, то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Оба параметра он назовет одним общим словом — слагаемые. А всё потому что выражение вида a−b математик видит как a+(−b). В этом случае, выражение является суммой, и переменные a и (−b) являются слагаемыми.


Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, рассмотрим выражение 7a+6b+2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить уравнение. Эту операцию называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например приведём подобные слагаемые в выражении 3a+4a+5a. В данном случае, подобными являются все слагаемые. Сложим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a+4a+5a = (3+4+5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно приводят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

двенадцать переменных a

Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8)×a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a


Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и следующим образом:

Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a.

три переменные a


Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидим по причине того, что его не записывают. Стало быть выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и следующим образом:

Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a

одна единственная переменная a

Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

Заменим вычитание сложение там где это нужно

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Подробности порой даже путают. В данном примере это более чем заметно. Поэтому такие действия как замена вычитания сложением и записывание суммы из коэффициентов можно пропустить, вычисляя всё в уме.


Встречаются также выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a+3b+7a+2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных — сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Но чтобы не запутаться, удобно подчеркнуть разными линиями подобные слагаемые разных групп.

Например, в выражении 3a+3b+7a+2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:

три а плюс б плюс семь а плюс два б

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обоих групп слагаемых — для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b


Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там где это нужно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b, подчеркнем двумя линиями:

пять а плюс минус шесть а плюс минус семь б плюс б

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)


Если в выражении имеются «свободные коэффициенты» (обычные числа без буквенных сомножителей), то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложение там где это нужно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и полученный результат умножим на общую буквенную часть. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их достаточно просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + (−2b) + 2


Можно упорядочивать слагаемые, чтобы те слагаемые которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x


Мы помним, что сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Поэтому если в выражении нам встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то мы можем избавиться от них на этапе приведения подобных слагаемых. То есть, вычеркнуть из выражения, потому что их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложение там где это нужно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберем. А уберем мы его простым вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

три т плюс минус четыре т плюс минус три т плюс два т

В результате у нас останется простое выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:

три т плюс минус четыре т плюс минус три т плюс два т короткое рещение


Упрощение выражений

Часто можно встретить задание в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его проще, короче, аккуратнее и красивее.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. Если вы помните, то после сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим простейший пример. Упростить выражение две четвёртых .

Это задание буквально можно понять как: «примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его проще». В данном случае, можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

сокращение дроби две четвертых на два Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь одна вторая . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

сокращение дроби две четвертых на два второй этап

В итоге, дробь две четвёртых упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть «а что можно сделать?». Потому что есть действия, которые можно делать, а есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент о котором нужно помнить заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Например, вернемся к выражению две четвёртых. Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

два разделить на четыре равно пять десятых решение уголком

Но мы упростили выражение две четвёртых и получили новое упрощенное выражение одна вторая. Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5

единица разделить на два пятое действие

Но выражение одна вторая мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно страдать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же принципы упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не пострадало значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров. На начальных этапах будем упрощать простейшие выражения, и постепенно перейдём к сложным.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × (−t) × 2,5 упростилось до −13,025st.


Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второй параметр (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b, затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

0,4 × (−6,3b) × 2 = 0,4 × (−6,3) × b × 2 = −0,4 × (−6,3) × 2 × b = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b


Пример 3. Упростить выражение две третьих а умножить на минус одну целую одну вторую б ц

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

две третьих а умножить на минус одну целую одну вторую б ц в подробном виде

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

две третьих а умножить на минус одну целую одну вторую б ц в подробном виде вычисление

Таким образом, выражение две третьих а умножить на минус одну целую одну вторую б ц упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

две третьих а умножить на минус одну целую одну вторую б ц в подробном виде короткое вычисление


При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре полное решение

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре сократили на три 12 и 4

Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3

Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре сократили на три 9 и 3

Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2

Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре сократили на три 6 и 2

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае, их немного и можно перемножить в уме:

Двенадцать умножить на девять умножить на шесть разделить на три умножить на два умножить на четыре короткое решение

Со временем, углубляясь в математику, можно обнаружить что выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То что, можно вычислить в уме нужно вычислять в уме, а то что можно быстро сократить нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение минус три целых одна третья а умножить на минус ноль целых девять б на пять двенадцатых

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

минус три целых одна третья а умножить на минус ноль целых девять б на пять двенадцатых равно пять четвертых ab

Таким образом, выражение минус три целых одна третья а умножить на минус ноль целых девять б на пять двенадцатых упростилось до пять четвертых ab


Пример 5. Упростить выражение минус три четвертых м умножить на минус две третьих умножить на два м

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

минус три четвертых м умножить на минус две третьих умножить на два м равно мн

Таким образом, выражение минус три четвертых м умножить на минус две третьих умножить на два м упростилось до mn.


Пример 6. Упростить выражение минус шесть целых четыре умножить на минус три четвертых x

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

минус шесть целых четыре умножить на минус три четвертых x расписано

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число Минус одна целая и одна третья можно перевести в обыкновенные дроби:

минус шесть целых четыре умножить на минус три четвертых x равно минус тридцать пятых stx

Таким образом, выражение минус шесть целых четыре умножить на минус три четвертых x упростилось до минус шесть целых четыре десятых stx

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

минус шесть целых четыре умножить на минус три четвертых x короткое решение


Пример 7. Упростить выражение шестнадцать вторых ab умножить на одну десятую c умножить на шесть десятых d

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число шестнадцать целых две третьих и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

шестнадцать вторых ab умножить на одну десятую c умножить на шесть десятых d равно abcd

Таким образом, выражение шестнадцать вторых ab умножить на одну десятую c умножить на шесть десятых d упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

шестнадцать вторых ab умножить на одну десятую c умножить на шесть десятых d равно abcd коротко

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

line

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если они являются суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a+4b, то ни в коем случае нельзя записывать следующим образом:

5a плюс 4б не равно двадцть аб

Это равносильно тому, если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a+4b превращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2, b = 3

Тогда значение выражения будет равно

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складываются. А если бы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a+4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a+4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

line

Если в выражении присутствуют подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a


Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, потому как его не с чем было складывать.


Пример 10. Упростить выражение две третьих а плюс одна целая одна третья а минус одна третья а

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

две третьих а плюс одна целая одна третья а минус одна третья а равно пять третьих а

Коэффициент одна целая одна третья был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.

Таким образом, выражение две третьих а плюс одна целая одна третья а минус одна третья а упростилось до пять третьих а


Пример 11. Упростить выражение минус одна четвертая x плюс x плюс три четрвертых x

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

минус одна четвертая x плюс x плюс три четрвертых x равно минус одна вторая x

Таким образом, выражение минус одна четвертая x плюс x плюс три четрвертых x упростилось до минус пять десятых икс.

В данном примере, целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно так:

минус одна четвертая x плюс x плюс три четрвертых x равно минус одна вторая x коротко


Пример 12. Упростить выражение минус две пятых б минус три седьмых ц минус одна десятая б

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

минус две пятых б минус три седьмых ц минус одна десятая б равно минус одна вторая б плюс минус три седьмых ц

Таким образом, выражение минус две пятых б минус три седьмых ц минус одна десятая б упростилось доминус одна вторая b плюс минус три седьмых ц.

Слагаемое минус три седьмых ц осталось без изменений поскольку его не с чем было слкладывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет так:

минус две пятых б минус три седьмых ц минус одна десятая б коротко

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробное расписывание, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как минус одна вторая b плюс минус три седьмых ц, а в коротком как минус одна вторая б минус три седьмых ц. На самом деле это одно и то же выражение. Разница лишь в том, что в первом случае вычитание заменено сложением поскольку в начале, когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением и эта замена сохранилась и для ответа.


Тождества. Тождественно равные выражения

После того, как мы упростили любое выражение, оно становится короче и проще. Чтобы проверить, верно ли упрощено выражение, достаточно подставить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a×7b. Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе которое упростили.

Пусть к примеру, значения переменных a, b будут следующими:

a = 4, b = 5

Подставим их в первое выражение 2a × 7b

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

Теперь подставим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения 2a×7b, а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a=4 и b=5 значение первого выражения 2a×7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a=1 и b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2=28

14ab = 14 × 1 × 2=28

Таким образом, при любых значениях переменных выражения 2a×7b и 14ab равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.

Делаем вывод, что между выражениями 2a×7b и 14ab можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение.

2a × 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено значком равенства (=).

А равенство вида 2a×7b = 14ab называют тождеством.

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали являются тождествами.

Верные числовые равенства также являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение обычно заменяют на более простое выражение тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.

Например, мы упростили выражение 2a×7b, и получили более простое выражение 14ab. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой части равенства и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы произвести тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо произвести тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обоих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например докажем, что равенство 0,5a×5b=2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть данного равенства. Для этого, по отдельности перемножим числа и буквы:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a×5b=2,5ab является тождеством.

Из всех тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, перемножать числа и буквы, входящие в выражения, упрощать некоторые выражения и т.д.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения два икс игрек при икс равно одна вторая и игрек равно одна четвертая
Задание 2. Найдите значение выражения минус икс игрек при икс равно одна целая одна вторая и игрек равно две целых одна четверть
Задание 3. Найдите значение выражения минус икс игрек зед при зед равно минус три пятых и iks-ravno-minus-tret.png и igrek-ravno-minus-dve-chetvertyh.png
Задание 4. Найдите значение выражения минус две сотых а б при а равно четыре десятых и б минус сто двадцать пять
Задание 5. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:
  • Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
  • Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять
Задание 6. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 7. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 8. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 9. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 10. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 11. Упростите выражение:
Задание 12. Упростите выражение:
Задание 13. Упростите выражение:
Задание 14. Упростите выражение:
Задание 15. Упростите выражение:
Задание 16. Упростите выражение:
Задание 17. Упростите выражение:
Задание 18. Упростите выражение:
Задание 19. Упростите выражение:
Задание 20. Упростите выражение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Буквенные выражения: 14 комментариев

    1. Если будете усиленно заниматься, то да.

      Тех материалов, которые сейчас есть на данном сайте, маловато для сдачи огэ или егэ. Но их вполне достаточно, чтобы начать заниматься самостоятельно, открыв школьный учебник.

  1. Как-то вы долго делали этот сайт.. Я в 8 классе, 4 месяца назад нашёл ваш сайт, так как ничего не понимал (там было вроде 30 шагов еще), прочитал их все, можно сказать базовое понял, но нужно дальше, на ютубе начал уроки смотреть и за еще 3 месяца, выучил на ютубе всю программу 5-8 класса, выучил 9 класс (неравенства), 10 класс(тригонометрия)

    1. Здравствуйте. Работа над сайтом пока заморожена. Уроки появляются не чаще, чем в раз в месяц

  2. Здравствуйте. Никогда не занимался математикой, я гуманитарий, но по воле судьбы приходится. Очень хороший сайт. Но мне срочно нужна инфа про корни, квадраты, кубы, интегралы, системы линейных уравнений, начальная тригонометрия, логарифмы и все подобное для экономистов. Нет ли возможности рассказать что это или где можно на доступном языке прочесть? Спасибо

    1. Здравствуйте.
      К сожалению, уроки с названными вами темами пока не написаны. Из книг можем посоветовать учебник Киселева по математике. Про интегралы хорошо написано у Александра Емелина на сайте http://mathprofi.ru/

  3. Ввод понятия «свободный коэффициент» требует большего объяснения. Ибо до этого «коэффициенту» дается определение, как числу перед переменной, означающему ее множитель — исходя из этого, мне например, было вовсе не очевидно, как слагаемое ввиде одного числа мб коэффицентом. Стало ясно только после анализа материала по многочленам и их свободным членам — но это вроде как уже вперед паровоза…

    1. Имеются ввиду подобные слагаемые, свободные от буквенной части. Это словосочетание употреблено в переносном смысле и взято в кавычки.

  4. Здравствуйте! Очень жаль что заморозили временно сайт, Вы все очень круто объясняете, спасибо вам! Хотел у Вас спросить, возможно Вы смогли бы подсказать учебники по которым можно начать изучение физики с нуля? Интересует квантовая физика, оптическая физика. Буду благодарен за помощ. 🙂

    1. Здравствуйте! И вам спасибо, Тимур.
      Насчет физики ничего сказать не можем, поскольку это не наш профиль. Загляните на сайт http://av-mag.ru/physics/. Может найдете для себя что-нибудь полезное.

  5. Не знаю кто прочтет меня! Но думую чтоб ваши уроки выходили не раз в месяц а более Чем иначе Вас нужно спонсировать. Во благо человечиству!

  6. −0,4 × (−6,3b) × 2 = −0,4 × (−6,3) × b × 2 = −0,4 × (−6,3) × 2 × b = 5,04b
    В таком выражении мы умножаем числа и идельно буквы,для того что бы его сократить, но как при умножении пусть даже и отрецательных чисел может получится результат меньше чем один из
    множиттелей?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *