Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё, что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Например, сложим дроби  24  и  143. Складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

121241434

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к  24 пиццы прибавить 143 пиццы, то получится 1224143434 пиццы:

122414342


Пример 2. Сложить дроби одна вторая и одна вторая .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

122121222

В ответе получилась неправильная дробь 1221212222.  Если наступает конец задачи, от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

1221212223

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к одна вторая пиццы прибавить еще одна вторая пиццы, то получится одна целая пицца:

1221212224


Пример 3. Сложить дроби  1231313231  и  1231313231 .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем прежним:

1231313232

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к 1231313231 пиццы прибавить ещё 1231313231 пиццы, то получится 1231313234 пиццы:

1231313233


Пример 4. Найти значение выражения  1241424341

Это пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить прежним:

124142434124

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби  24 и  143 сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби  1231313234  и  одна вторая  сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычислять такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби две третьих и одна вторая

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям две третьих и одна вторая, которые нужно сложить. Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

14223

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

14312

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

142312231323

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как решать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

142312231324

Таким образом, пример завершается.  К две третьих прибавить одна вторая получается одна целая одна шестая.

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к две третьих пиццы прибавить одна вторая пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

две третьих плюс одна вторая решение в рисунках

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби две третьих и одна вторая к общему знаменателю, мы получили дроби четыре шестых и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

четыре шестых плюс три шестых решение в рисунках

Первый рисунок изображает дробь четыре шестых (четыре кусочка из шести), а второй — дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем семь шестых (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили одна целая одна шестая (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Надо пытаться сразу в уме находить НОК обоих знаменателей, пытаться в уме находить дополнительные множители и умножать их на числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

1423124636

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы: «а откуда вон та циферка?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?».

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.


Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  1. Найти НОК знаменателей дробей;
  2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения 14111 .

Воспользуемся  схемой, которую мы привели выше.

Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

14221

 

14331

 

14nod4

 

14113

НОК для { 2, 3 и 4 } = 12

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

14117

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

14118

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

14119

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

141110

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

141111

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

141112

Получили ответ 141113


Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения  143414 . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

14341424

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от 1224143434 пиццы отрезать 143  пиццы, то получится 24 пиццы:

143414242


Пример 2. Найти значение выражения 142314.

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

14231413

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от 1231313234 пиццы отрезать 1231313231  пиццы, то получится 1231313231 пиццы:

142313132


Пример 3. Найти значение выражения 141373171

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

1413731711

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

14133771127

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  1224143434 можно вычесть дробь 143, поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби 1231313234 нельзя вычесть дробь 143, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 1423114

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям 1231313234 и 143

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

14923

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

14914

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

142314132

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как решать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

1423141323

Получили ответ 142314132345

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от 1231313234 пиццы отрезать 143 пиццы, то получится 142314132345 пиццы

две третьих минус четверть решение в рисунках

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

14231413234

Приведение дробей 1231313234 и 143 к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби восемь двенадцатых и три двенадцатых. Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

восемь двенадцатых минус три двенадцатых решение в рисунках

Первый рисунок изображает дробь восемь двенадцатых (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь три двенадцатых (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь Пять двенадцатых и описывает эти пять кусочков.


Пример 2. Найти значение выражения 14121

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

14126

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

14127

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

14128

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

14129

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

141210

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Чтобы грамотно сократить дробь 141211 нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Сейчас же мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30. Если непонятно, как это делается, советуем остановиться и изучить урок НОД и НОК.

Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

141212

 

141213

141214

НОД (20 и 30) = 10

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби 141211 на 10:

141215

Получили красивый ответ 1231313234


Умножение дробей

Умножение дробей не так сложно, как сложение и вычитание дробей. Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить её целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения 14131.

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14132

Получили ответ  14133. Желательно сократить данную дробь. Дробь 14133 можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

14134


Пример 2. Найти значение выражения 14141

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14142

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

14143


Пример 3. Найти значение выражения 14151

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14152

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

14153

14154

14155

НОД для (105 и 150) равен 15

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

14156


Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как  пять первых. От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение  пять первых  означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

14162


Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

пять первых

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь пять первых на саму себя, только перевёрнутую:

14164

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

14165

Значит обратным к числу 5, является число 14166, поскольку при умножении 5 на 14166 получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

  • обратным числа 2 является дробь одна вторая
  • обратным  числа 3 является дробь 1231313231
  • обратным числа 4 является дробь 143

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

  • для дроби одна вторая обратной дробью является дробь  14167
  • для для дроби 14168 обратной дробью является дробь 14169
  • для дроби 141610 обратной дробью является дробь 141611

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на другую дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим дробь 143 на дробь одна вторая. Воспользуемся правилом. Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. Вторая дробь это одна вторая , а обратная для неё дробь это дробь 14167.

Поэтому чтобы разделить 143 на одна вторая, нужно умножить 143 на 14167

141612

Получили ответ одна вторая. Сначала мы получили ответ 1112242, но эта дробь была сокращена на 2.

А теперь попробуем разобраться почему при делении дробей, вдруг приходится заниматься умножением. И вообще, при чём здесь умножение, если мы занимаемся делением?

Рассмотрим выражение 10 : 2 = 5. Здесь присутствует операция деления. Эту операцию деления можно заменить умножением, при условии, что мы вместо делителя запишем обратное ему число. Обратное делителю число это дробь одна вторая.

Заменим операцию деления операцией умножения, при этом вместо делителя 2 подставим обратное ему число одна вторая

141613

Как видно из примера мы снова получили ответ 5.

Какой можно сделать вывод? Деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему (делителю) число.


Пример 2. Найти значение выражения  14171

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

14172


Пример 3. Найти значение выражения 1418

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

14182


Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 6. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 9. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 10. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 11. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 12. Найдите значение выражения:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

13 thoughts on “Действия с дробями”

  1. Супер,не когда не мог понять все что связано с дробями,а тут нашел этот сайт и сразу понял.Спасибо.

  2. Два примера подряд написали 5/12-2/9
    И можно ли сокращать например 1 целая 2/8 на 1 целая 1/4 ?

  3. Можете объяснить без НОК и НОД? Мы проходили данную тему, раньше, чем НОД и НОК..

    1. В пункте о сложении дробей с разными знаменателями почему-то применяется правильное сокращенное обозначение НОК, а расшифровывается неправильно — НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *