Деление

В этом уроке мы изучим деление чисел. Деление чисел считается непростой операцией, как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения и осилить этот урок до конца.

Что такое деление?

Деление это действие, позволяющее что-либо разделить. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Делимое это то, что делят. Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Частное это собственно результат.

К примеру, пусть у нас имеется 4 яблока:

четыре яблока

Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:

четыре яблока на двоих

Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описать следующим выражением:

четыре яблока на двоих выражение

В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающие на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.

Говоря о делении, можно рассуждать и по-другому. Вернёмся к предыдущему выражению 4 : 2 = 2. Можно посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четвёрке?» и ответить: «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, мы получим число 4:

два плюс два равно четыре обобщение деления

В ситуации с четырьмя яблоками можно задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырёх яблоках» и ответить: «два раза».

сколько раз два яблока содержится в четырех яблоках

 

Чтобы научиться делить, нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему же умножения? Ведь мы говорим о делении. Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

взаимно обратные операции умножение и деление

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке.

Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак ÷ (двоеточие и чёрточка) На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.


Деление с остатком

Остаток — это то, что осталось от действия деления неразделённым. Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Можно проверить это умножением:

(2 × 2) + 1 = 5

Допустим, у нас имеется пять яблок

пять яблок

Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не получится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:

пять яблок деление с остатком


Деление уголком

Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому способу, как деление уголком. Прежде чем делить уголком, человек должен понимать:

  • обычное деление маленьких чисел
  • деление с остатком
  • умножение в столбик
  • вычитание в столбик

Рассмотрим деление уголком на простом примере. Пусть требуется найти значение выражения 9 : 3. Уголком это выражение записывается  следующим образом:Девять разделить на три первое действиеЭто простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:

Девять разделить на три второе действиеЧтобы проверить есть ли остаток от деления, нужно частное умножить на делитель, и полученный ответ записать под делимым. Частное в данном случае это 3, делитель тоже 3. Перемножаем эти два числа 3 × 3 = 9. Получили 9. Записываем эту девятку под делимым:

Девять разделить на три третье действиеТеперь от делимого отнимаем девятку, которую мы под ним написали: 9 − 9 = 0. Остаток равен нулю. Другими словами, остатка нет. На этом деление успешно завершено:

Девять разделить на три четвёртое действие


Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3

Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. Очевидно, здесь будет присутствовать остаток от деления.

Сначала записываем  данное выражение уголком:

8 divide 3 step 1

Теперь надо задать вопрос: сколько троек в восьмёрке? В восьмёрке две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку, как восемь палочек:

8 группирока по три

В школе частное подбиралось путем подбора. Все мы слышали такие фразы, как «берём по одному» , «берём по два» или «берём по три». У нас сейчас как раз тот случай. Мы взяли по два, ответив что в восьмёрке две тройки. Записываем двойку в правом уголке:

8 divide 3 step 3

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:

8 divide 3 step 4

Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:

83358 : 3 = 2 (2 в остатке)

Проверка: (3 × 2) + 2 = 6 + 2 = 8


Деление многозначного числа на однозначное

Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.

В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.

Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок.

Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить делится ли она на делитель. Если делится, разделить, а если не делится, то проверить делятся ли на делитель первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры делятся на делитель — разделить, если нет, то проверить делятся ли первые три цифры многозначного числа на делитель. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.

Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.

Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3

25 это многозначное число. 3 — однозначное. Применяем правило. Смотрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два делится на три? Нет. Значит смотрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять можно разделить на три? Да, хоть и с остатком, но можно. Записываем в столбик данное выражение и начинаем делить:

25 на 3 шаг 1

Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:

333

Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.

Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:

25 на 3 шаг 2

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:

2533Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:

2534

25 : 3 = 8 (1 в остатке)

(3 × 8) + 1 = 24 + 1 = 25


Есть и второй метод. Точнее тот же метод , но немного проще. В выражении 25 : 3 мы смотрели делится ли первая цифра числа 25 на 3. Если делится, то делили, а если нет, то проверяли две цифры. Две цифры вместе разделились, и мы продолжили решать наш пример.

Но можно сделать и так: сначала посмотреть на первую цифру делимого и проверить больше ли она делителя. Если больше, то разделить, а если нет, то проверить две цифры. Если две цифры больше делителя, то разделить, а если нет, то проверить три цифры.

Например, разделим 326 на 4.

Смотрим на первую цифру числа 326. Первая цифра 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да, больше. Значит делим. Записываем в столбик данное выражение:

324

Теперь задаём вопрос: «сколько четвёрок в числе 32?». В числе 32 восемь четвёрок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:

4

Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:

3248Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:

32481Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:

32482

Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:

6 группировка по 4

Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:

32483Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:

32484

Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:

32485

Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)

Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326

Процедура в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.

Вернёмся к предыдущему примеру 326 : 4. Первое неполное делимое в данном выражении было число 32, поскольку его мы разделили в первую очередь.

А в выражении 25 : 3, первое неполное делимое было 25.


Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5

Записываем данное выражение в столбик:

3845

Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем делить на делитель:

38452

Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:

5

Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.

Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:

38453Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:

38454

Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:

38455

Эта тройка является остатком, которая осталась неразделенной в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе тройкой:

38456

Видно, что после того, как мы снесли четвёрку, она вместе с тройкой  образовала число 34. Это число 34 мы будем делить на 5. Для этого опять задаем вопрос: «сколько пятёрок в числе 34?». Можно снова глянуть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:

52

Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:

38457

Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:

38458

Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5

38459

384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)

Проверка: (76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384


Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4

Этот пример немного посложнее. Записываем в столбик данное выражение:

86424

Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2:

864242Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под нашим первым неполным делимым:

864243

Вытаскиваем остаток, если есть: 8 − 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 это ноль. Ноль не записываем, поскольку решение примера не завершено.

Далее сносим цифру 6 и делим его на делитель, получаем 1:

864244Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:

864245

Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.

Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6:

864246

Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24:

864247

Вытаскиваем остаток, если есть: 24 − 24 = 0. Ноль это остаток от деления 24 на 6. Ноль, как мы уже договорились, не записываем. Далее сносим последнюю цифру 2:

864248

Здесь начинается самое интересное. Двойка это последняя цифра, которую мы снесли и которую надо разделить на делитель 4. Но дело в том, что двойка меньше четвёрки, а ведь делимое должно быть больше делителя. Поэтому два разделить на четыре это ноль:

864249Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:

8642410

Теперь находим остаток: 2 − 0 = 2. Двойка это остаток от деления 8648 на 4. Таким образом, пример завершён:

8642411

8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)

Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642


Деление чисел у которых на конце 0

Чтобы разделить число у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.

Например, разделим 120 : 3

1203

Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:

12032

Теперь умножаем частное на делитель (40 на 3), получаем 120. Далее находим остаток: 120 − 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершён.

1204

120 : 3 = 40

Проверка 40 × 3 = 120.

Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:

12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)

120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)

1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)

12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)

В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.

Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5:

4005Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:

40052Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.

Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.

Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:

1000 + 400 = 1400

Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:

1000 : 5 = 200

400 : 5 = 80

и сложить полученные результаты:

200 + 80 = 280

Итого: 1400 : 5 = 280

Решим этот же пример уголком:

140050


Деление многозначного числа на многозначное

Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так-то просто.

Принцип деления остаётся тем же, что и раньше. Здесь также надо находить первое неполное делимое. Здесь также могут присутствовать остатки от деления.

Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым называется число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:

10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000

Любое число можно превратить в круглое. Для этого первые цифры, образующие старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями. Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10

Еще пример. Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.

Еще пример. Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.

Еще пример. Превратим число 13 735 в круглое число. Первые две цифры 13 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эти две цифры оставляем без изменений, а остальные цифры 735 заменяем нулями. В итоге получаем 13 000.

Замечание. В дальнейшем понятия круглого числа и перевод любого числа в круглое будут обобщены.

Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное приходится находить методом «подбора». Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.


Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12

Записываем данное выражение уголком:

8812Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.

Со школы мы помним, что частное подбиралось методом угадывания, говоря «берем по два» или «берем по три».

Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число, которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.

Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12

88122

Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка, как частное не подходит. Угадываем следующее число. Допустим частное равно 5

88123

Что это нам дало? Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка, как частное тоже не подходит. Попробуем сразу взять по 8:

88124

На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равно ему. Значит восьмёрка, как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять 7:

88125

Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.

88126

88 : 12 = 7 (4 в остатке)

Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88

Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.

Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых  чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.

Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.

Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.

В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.

Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:

800 : 10 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)

800 : 80 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)

900 : 10 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)

400 : 50 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)

320 : 80 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)

Если вы заметили, всё в конечном итоге сводится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.

Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания. Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.

Круглое число для 88 будет число 80.

А круглое число для 12 будет число 10.

А затем делим полученные круглые числа:

8812280 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:

88123

Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку, как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.

Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.

Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:

88126

Как видите, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.


Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144

Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:

1296144Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.

Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.

Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144:

12961441

Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.

Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.

12961442

Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:

12961443

Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296

129614441296 : 144 = 9

Проверка: 144 × 9 = 1296


Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331

Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.

Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300:

12961443Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:

12963311Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:

22743317Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.

Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:

12963312

288 это остаток от деления 2274 на 331. Далее, чтобы продолжить деление, нужно снести девятку:

129633123

Теперь надо разделить 2889 на 331. Превращаем их в круглые числа и делим их. Сразу же проверяем полученное таким способом частное:

12961445Умножив 6 на 331, мы снова получили 1986. Это число должно быть меньше делимого 2889, но близким к нему или равным ему. Но 1986 очень далеко от него. Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придется проводить методом угадывания частного:

12961446Проверили семёрку. Снова получили число, которое далеко от делимого 2889. Значит семёрка тоже не подходит. Проверим восьмёрку:

12961447

Восьмёрка подошла. Она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2889. Если бы мы взяли по девять, то при умножении на делитель, получили бы число 2979, а это уже больше делимого 2889.

Теперь вынимаем остаток от деления 2889 на 331. Для этого от 2889 вычитаем 2648 и получаем 241

12961448

241 это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, нужно снести 2 из главного делимого:

12961449

Теперь делим 2412 на 331. Возьмём «по семь»:

129614410

Теперь находим последний остаток. Для этого, из 2412 вычитаем 2317, получаем 95. На этом пример завершается:

129614411

227 492 : 331 = 687 (95 в остатке)

Проверка: (331 × 687) + 95= 227 397 + 95 = 227 492

На этом данный урок завершен. Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.

Отметим, что в данном уроке рассмотрено только деление с остатком. Деление без остатка мы рассмотрим в следующих уроках. Сделано это с целью не усложнять обучение. Как говорится, всему своё время.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните деление:
Решение:
Задание 2. Выполните деление:
Решение:
Задание 3. Выполните деление:
Решение:
Задание 4. Выполните деление:
Решение:
Задание 5. Выполните деление:
Решение:
Задание 6. Выполните деление:
Решение:
Задание 7. Выполните деление:
Решение:
Задание 8. Выполните деление:
Решение:
Задание 9. Выполните деление:
Решение:
Задание 10. Выполните деление:
Решение:
Задание 11. Выполните деление:
Решение:
Задание 12. Выполните деление:
Решение:
Задание 13. Выполните деление:
Решение:
Задание 14. Выполните деление:
Решение:
Задание 15. Выполните деление:
Решение:
Задание 16. Выполните деление:
Решение:
Задание 17. Выполните деление:
Решение:
Задание 18. Выполните деление:
Решение:
Задание 19. Выполните деление:
Решение:
Задание 20. Выполните деление:
Решение:
Задание 21. Выполните деление:
Решение:
Задание 22. Выполните деление:
Решение:
Задание 23. Выполните деление:
Решение:
Задание 24. Выполните деление:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

73 thoughts on “Деление”

  1. Методом круглых чисел удивили: в школе такого не рассказывали. Действительно облегчает жизнь, если использовать аккуратно.

  2. Здравствуйте не могли бы вы привести пример решения 647÷6=.За ранее спасибо.

  3. далеко не все примеры деления показаны, например деления дробями и числа после запетой т.е. без остатка

    1. Эти примеры рассмотрены в следующих уроках. Специально, чтобы не пугать новичка сложностями.

  4. Здравствуйте, мне помниться что в школе рассказывали что можно к остатку ноль добавлять, это правда ?

    1. Здравствуйте.
      Да, это в случае если вы хотите разделить и остаток.
      В данном уроке это не рассматривается, чтобы не запутать новичка. Такое деление рассмотрено в этом уроке в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень

  5. дЛЯ МЕНЯ ПЕРВЫЙ МЕТОД ГОРАЗДО БЫСТРЕЕ И ПРОЩЕ Т.К УЖЕ ПРИМЕРНО ЗНАЕШЬ КАКАЯ ЦИФРА

  6. Здравствуйте!
    Мне слегка непонятно деление многозначных чисел на многозначные. Возьмем, к примеру, выражения: 369 784 : 367, 694 238 645 : 1234, 7 596 123 : 59. Путем превращение делимого и делителя в круглые числа, мы получим следующие выражения соответственно: 3000 : 300, 60000 : 1000, 700 : 50. Почему делимое округляется только на число в 1 разряд больше, чем делитель, а не целое число?
    Т.е.: 300 000 : 300, 600 000 000 : 1000, 7 000 000 : 50? Логически понимаю, что легче вычислять меньшие числа, чем большие… но почему тогда во втором выражение, приведенных мною, мы не можем ограничиться округлением числа 694 238 645 до 6 000? Ведь это число делится на округленный делитель 1000?
    Вопрос я задаю, потому что во всех приведенных Вами примерах делимое и делитель округлялись до чисел с разницей в один разряд в пользу делимого. Если это такое правило, то прошу Вас написать хоть небольшое разъяснение. Хотелось бы не только автоматически производить вычисления, но и понимать почему именно так.
    Заранее благодарен за ответ! Так же благодарен разработчикам и инициаторам этого сайта!

    1. Здравствуйте.
      Для примера 369784:367 неполным делимым является число 369, его нужно разделить на 367 и получить первую цифру частного. Здесь даже необязательно обращать 369 и 367 в круглые числа поскольку итак ясно, что первая цифра частного будет единицей.

      Для примера 694238645:1234 неполным делимым является число 6942, его нужно разделить на 1234 и получить первую цифру частного. Но чтобы ускорить подбор частного, числа 6942 и 1234 можно обратить в числа 6000 и 1000. Разделяя такие числа в уме, можно быстрее подобрать правильное частное..

    1. В середине придётся делить меньшее число на большее. Эта тема рассмотрена в следующих уроках поскольку сложна для начинающего

      null

      Не давайте детям сразу такие примеры. Пусть научатся щёлкать простейшие. Остальное придет само собой.

  7. Очень крутой способ с округлением. В школе такого не объясняли. Благодарю за урок

  8. Здравствуйте Admin. Помогите пожалуйста разобраться. Я решаю примеры по цифрам правильно, но постоянно ошибаюсь с добавлением или наоборот НЕ добавлением нулей:
    527438:6 Ответ 87906 Но при делении в столбик, как мне узнать что нужно добавить ноль между 9 и 6.
    Такая же ситуация в делении числа 648572 на 9.
    А вот в примере 465382:3 Ответ 155127 Но если добавить ноль как в предыдущих примерах, то у меня получается 15501027. Напишите пожалуйста в чем разница добавления нулей в этих примерах и почему в одном нужно добавлять ноль, в другом нет.
    Заранее огромное спасибо!

    1. Зависит от того, что вы «снесёте» к остатку. После того, как вы вытащили остаток, из делимого сносится еще одна цифра и дописывается к остатку. И если эта новая цифра, которую требуется разделить, ни разу не содержит в себе делитель, то в частном записывается ноль.

      Вот ваш пример 527438:6

      null

      На шаге, когда «снесено» число 3, нужно задать вопрос «сколько шестёрок в тройке», ответ нисколько (ведь в тройке нет шестерок) — поэтому в частном записывается 0.

      Аналогичное происходит и в остальных примерах

      null

      и в примере 465382:3

      null

  9. Добрый день! Я не могу понять в примере 8642:4 почему 2 делить на 4 будет 0? Меня это ввело в тупик…

    1. Добрый.
      В данном примере выполнено деление с остатком. На этапе, когда нужно разделить 2 на 4, нужно задать себе вопрос «сколько целых четверок в двойке». Ответ — нисколько, ведь в двойке нет четверок, она меньше. Поэтому в частном записывается ноль.

      Но если деление выполняется без остатка, то 2 разделить на 4 будет равно 0,5. Эта тема деления меньшего числа на большее. Данная тема не рассматривается в этом уроке, чтобы не усложнять людям обучение. Деление с остатком рассмотрено в этой теме. Если интересно, почитайте на досуге…

  10. Какие же вы молодцы!!! Огромное всем спасибо за создание данного ресурса. Тема не простая, но за счёт того, что всё расписано подробно, просыпается интерес разгадать главную задачу — «Что же за наука такая — математика!?».

  11. Уважаемый админ, я хотел предложить вам некоторые изменение относительно этого раздела и написать все в коментарии, но ваш сайт обвиняет меня в хакерстве и блокирует доступ к вашему сайту. Я не могу отправить комент

  12. Уважаемый админ, в разделе — Деление многозначного числа на многозначное, при работе с большими числами ваша методика хороша но есть более рациональное решение. Например при решении примера 227492:331 можно сделать следующее; у делимого выделить первые четыре числа — 2274 и при делении на делитель — 331 у обоих мысленно отбросить числа из разряда десяток и единиц и работать с более мелкими числами. Тогда делимое было бы 22 а делитель 3, и на вопрос сколько в 22 есть 3 мы бы сначала ответили 7 а потом сразу 6. И так можно делать до конца решения примера.
    Ваш метод округления не всегда является рациональным. На примерах деления 28765 на 403 нам придётся делимое округлить до 2000 а делитель до 400 и первое вероятное число частного будет 5, второе 6, а треть 7-окончательный. Здесь вероятность нахождения первого числа частного составит 1:3 или 33,3%. А реши этот пример по предложенному мной методу — наам пришлось бы разделить 28 на 4 мы получим 7, а если мы делили 28065, то 7 бы нам не подошелбы и мы бы взяли первым числом частного 6. В таком случае вероятность нахождения первого числа частного по моему методу был бы 1:2 или 50%.
    Я сам абитурент и у меня есть 3 летний опыт решение задач по химии где часто встречаются Деление многозначного числа на многозначное. Я бы посоветовал бы вам поменять вашу методику относительно этого раздела. Решать вам. Что касается других тем — у вас все просто суппер.

    1. Молодец! только что хотел предложить то же самое, но тут увидел твой коммент и вопрос отпал.

  13. 720015 : 15 объясните пожалуйста решение? откуда в отнимание с нулями взялась 1 единица ?

    1. Вы про эту?

      null

      Она была снесена из делимого. Столбик ноль минус ноль был равен нулю:

      null

      Но деление на этом не было завершено, поэтому ноль не был записан. Была снесена единица для дальнейшего деления:

      null

      1. Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, а почему мы первое неполное делимое подбираем стольки значное, чтобы оно могло поделиться на делитель, а здесь сносим единицу, а не пятнадцать?

        1. Две цифры сразу не сносят. После того, как из нуля вычли ноль, в остатке остался ноль, который не был записан. Затем снесли единицу.

  14. Здравствуйте объясните пожалуйста почему в примере 648572:9 мы ставим ноль, а в примере 465382:3 не ставим после того как 8-6=2, мы же должны поставить ноль, а не сносить 2? В общем я запуталась помогите пожалуйста.

    1. В примере 648572:9 после того, как снесли 5 нужно задать вопрос «сколько девяток в пятерке?». Ответ — нисколько. Ведь в пятерке нет девяток. Поэтому в частном записываем 0.
      А в примере 465382:3 после того как 8-6=2, нужно снести последнюю двойку из делимого 465382. Образуется число 22, которое нужно разделить на 3. Получится 7

  15. Спасибо за ваш сайт ,очень полезно и доступно .
    В продолжении Юлии вопроса ,объясните пожалуйста, в примере 648572 :9 при делении 5 на 9 мы пишем в частном ноль ,не сносим 7- ? 57 ведь делится на 9, так же мы поступили в примере 465382 :3 ,где 2 делим на 3,сносим последнюю 2,и не пишем ноль как в предыдущем примере. Почему такая разница в решение этих примеров ? Спасибо.

    1. Цифру нужно сносить после того, как вытащен остаток от предыдущего деления. Сразу несколько цифр не сносят.

      Разделив 18 на 9 получили 2 и записали эту цифру в частном. Потом вытащили остаток: 2*9=18, 18-18=0

      null

      Затем снесли цифру 5

      null

      Поскольку деление не было завершено, тот ноль что перед пятеркой можно не писать

      null

      Дальнейшее деление было выполнено, как обычно. В пятёрке девяток нет, поэтому в частном записали ноль. Затем вытащили остаток умножив 0 на 9. 5-0=5. Снесли цифру 7, получили число 57. Разделили 57 на 9, получили 6 и т.д.

  16. спасибо,честно не понял)порядок и ход решений мне понятен,но не понятно почему 465382:3 ,2: 3 ноль не пишем а сносим 2

  17. 144×10
    Почему в столбик если решать в получается так:
    144
    10
    ____
    1440
    Насколько я понимаю, мы 4 умножаем на ноль, у нас выходит ноль. Дальше мы опять умножаем 4 на 0, выходит ноль. Но у вас уже получается 4, никак не ноль. Потом идёт 1 на ноль, выходит ноль, у вас выходит 4. Я потерял цепочку, забыл может что-то?

    1. Вы правильно поняли. Просто в уроке ответ 1440 сразу записан под примером (без подробного решения). Но можно было записать, как обычно так:

      null

      или так:

      null

  18. Запутался в данном примере:
    144×10.
    Если решать его методом столбика:
    144
    10
    ——
    1444 — вот это правильный ответ. Но почему? Ведь умножаем 4 на 0 — выходит ноль. Дальше опять 4 на 0 — и опять ноль, но у вас уже 4 вместо ноля. Дальше 1 на 0 — выходит ноль, а у вас опять 4.
    Я потерял цепочку, не могу разобраться, что я забыл?

  19. Здравствуйте.
    Прокомментируйте, пожалуйста.
    1440:71 получается 20 (20ост)
    Как это получается столбиком?
    Я выхожу на 20 в остатке, но почему потом в ответе появляется доп. ноль?

    1. Привет.

      null

      Сколько чисел 71 в числе 20? Нисколько. Поэтому в частном записывается ноль.

  20. Исправьте найдя предложение «Двадцать пять можно разделить три» и исправьте т.е. добавьте слово «на».

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *