Делители и кратные

Продолжаем изучать деление. И сейчас мы рассмотрим такие понятия, как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, которое показывает на сколько частей надо разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Оно показывает на сколько частей разделена восьмёрка. После разделения получается 4. Как видно из примера, 8 делится на 2 без остатка.

Делителем является только то число, на которое делимое делится без остатка.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, потому что 8 делится на 2 без остатка:

8 : 2 = 4

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, потому что 9 делится на 3 без остатка:

9 : 3 = 3

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 потому что 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)


Определение. Делителем числа а называется число, на которое а делится без остатка.

На первый взгляд, определение может показаться непонятным и сбить с толку. Это по причине того, что данное определение содержит в себе переменную a. Но всё станет понятным, если вместо переменной a подставить любое число. Например, подставим вместо переменной a число 12 и прочитаем определение:

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Теперь определение более понятно. Делителем числа 12 является число, на которое 12 делится без остатка. Попробуем перечислить эти числа:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Все эти числа являются делителями числа 12, потому что 12 делится на них без остатка. Покажем это:

12 : 1 = 12

12 : 2 = 6

12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

12 : 6 = 2

12 : 12 = 1


Кратные числа

Когда какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа 3:

6 : 3 = 2

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

В этом определении тоже присутствует переменная. Это переменная a. Если вместо переменной a подставить любое число, то это определение становится сразу понятным. Например, подставим вместо переменной a число 5 и прочитаем определение:

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5.

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25… Все они кратны 5, потому что делятся на 5 без остатка:

5 : 5 = 1

10 : 5 = 2

15 : 5 = 3

20 : 5 = 4

25 : 5 = 5


Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить решение задач. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, потому что 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, т.е. пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2. Примеры:

10 : 5 = 2

100 : 5 = 20

100 : 2 = 50

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5. Примеры:

355 : 5 = 71,

200 : 5 = 40

475 : 5 = 95

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

27 : 3 = 9

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

18 : 9 = 2

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18.  Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

846994


Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, потому что оно делится без остатка на 2:

20 : 2 = 10

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, потому что после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не делая деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, потому что оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, потому что оканчивается четной цифрой. Числа 305 и 1027 являются нечётными, потому что они оканчиваются нечётными цифрами.

Конечно, чётность и нечётность чисел можно проверить, сделав деления на 2, но в данном случае, когда это можно сделать «на глаз», считаем деление лишней операцией.


Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:

5 : 1 = 5

5 : 5 = 1

Значит, 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, потому что у него два и более делителя:  4, 2 и 1:

4 : 4 = 1

4 : 2 = 2

4 : 1 = 4

Значит, 4 является составным число.


Разложение на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. На самом деле, мы этим уже занимались, когда изучали тему замены в выражениях. Если помните, мы сказали, что любой параметр в выражении можно заменить на тот же, но записанный в другом виде.

А здесь речь идёт о том, что любое число можно разложить на множители. Другими словами, представить число в виде произведения нескольких множителей.

Рассмотрим число 4. Разложим его на множители. Для этого, надо собрать это число из других чисел, при этом соединяться они должны знаком умножить (×). Очевидно, 4 состоит из множителей 2 и 2:

2 × 2 = 4


Разложим на множители число 6. Шесть можно собрать из чисел 2 и 3:

2 × 3 = 6


Разложим на множители число 8. Восемь можно собрать из чисел 2 и 4, при этом последняя четвёрка тоже раскладывается на множители 2 и 2. Поэтому, вместо последней четвёрки записываем её разложение:

2 × 2 × 2 = 8

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на более маленькие числа, затем на более маленькие, до тех пор пока каждое число не станет простым. Например, разложим число 180 на множители. 180 это два множителя 18 и 10:

18 × 10 = 180

Теперь, раскладываем множители 18 и 10 также на другие множители по отдельности:

3 × 6 = 18

5 × 2 = 10

Теперь, раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последнее число, которое можно разложить на множители:

2 × 3 = 6

Теперь, собираем все разложенные множители вместе:

razlojenie180

 

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.


Есть и второй метод разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Этот метод заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем, слева записываются делимые, а справа делители, которые впоследствии собирают в множители.

При разложении числа этим методом, используют признаки делимости, такие как признаки делимости на 2, на 3, на 5 и т.д.

К примеру, разложим предыдущее число 180 данным методом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180:

11180

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь, проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, потому то что 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

111802

Теперь делим 180 на эту 2, и получаем второе делимое 90. Записываем это 90 слева от вертикальной линии:

111803

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в первую очередь делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, потому что 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

111804

Теперь делим 90 на эту 2, получаем третье делимое 45. Записываем 45 слева от вертикальной линии:

111805

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в первую очередь делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 на 3 делится, потому что сумма цифр 45 это 4 + 5 = 9, а девять делится на три. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

111806

Делим 45 на эту 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем его слева от вертикальной линии:

111807

Теперь делим 15. В первую очередь проверяем делится ли 15 на 2.

15 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, потому что сумма цифр 15 это 1 + 5 = 6, а шесть делится на три. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

111808

Делим 15 на эту 3, получаем пятое делимое 5. Записываем эту пятёрку слева от вертикальной линии:

111809

Теперь делим 5. В первую очередь проверяем делится ли 5 на 2.

5 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 на 3 не делится. Тогда проверяем делится ли 5 на 4.

5 на 4 не делится. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 на 5 делится. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

1118010

Делим 5 на эту 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

1118011

На этом деление завершается, потому что мы достигли единицы. Теперь, просто переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно, записывать их, начиная с самых малых. Делается это для красоты и эстетики:

1118012

Первое время, возможно, вы будете испытывать затруднения. Не расстраивайтесь в этом случае. Достаточно решить несколько примеров. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256,  378,  512.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Делители и кратные: 6 комментариев

  1. Доброго времени суток! Во-первых, спасибо за сайт, доходчиво. Мне примеров не хватает, сама придумываю. Так например, помогите ПЖЛ разложить на простые множители число 119. Спасибо!

  2. Все эти числа являются делителями числа 12, потому что все они делятся на 12 без остатка.
    Исправьте это предложение пожалуйста, а то получается, что речь идет о кратном, а не о делителе.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *