Делители и кратные

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:

8 : 2 = 4

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:

9 : 3 = 3

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)


Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.

Данное определение содержит переменную a. Подставим вместо этой переменной любое число, например число 12 и прочитаем определение:

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Попробуем перечислить эти числа:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:

12 : 1 = 12

12 : 2 = 6

12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

12 : 6 = 2

12 : 12 = 1


Кратные числа

Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа 3:

6 : 3 = 2

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

Данное определение содержит переменную a. Подставим вместо этой переменной любое число, например число 5 и прочитаем определение:

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5.

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:

5 : 5 = 1

10 : 5 = 2

15 : 5 = 3

20 : 5 = 4

25 : 5 = 5


Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить решение задач. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Примеры:

10 : 5 = 2

100 : 5 = 20

100 : 2 = 50

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.

Примеры:

355 : 5 = 71

200 : 5 = 40

475 : 5 = 95

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

27 : 3 = 9

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

18 : 9 = 2

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18.  Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

846994


Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:

20 : 2 = 10

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.

А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.


 

Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:

5 : 1 = 5

5 : 5 = 1

Значит 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя:  4, 2 и 1:

4 : 4 = 1

4 : 2 = 2

4 : 1 = 4

Значит 4 является составным числом.


Разложение на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же, но записанное в другом виде.

Например, число 6 можно записать в виде суммы 4+2 или в виде частного 12 : 2 или в виде произведения 2×3. Последнюю запись 2×3 можно назвать разложением числа 6 на простые множители.

Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.

Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями из которых состоит число 4

2 × 2 = 4


Разложим на множители число 6. Шесть можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями из которых состоит число 6

2 × 3 = 6


Разложим на множители число 8. Это число можно разложить на множители 2 и 4, при этом множитель 4 можно разложить на два множителя: 2 и 2. Поэтому вместо четвёрки записываем её разложение:

разложение числа 8 на простые множители рисунок

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым.

Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10:

18 × 10 = 180

Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:

18 = 3 × 6

 10 = 5 × 2

Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:

6 = 2 × 3

Теперь собираем все разложенные множители вместе:

razlojenie180

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.

Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.

При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и т.д.

Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180:

11180

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

111802

Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

111803

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

111804

Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

111805

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

111806

Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

111807

Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.

15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

111808

Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:

111809

Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.

5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

1118010

Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

1118011

На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы.

Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:

1118012

Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256,  378,  512.


Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6


Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

делители числа 12 таблица рис 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

разложение числа 12 на множители

Получили разложение 2 × 2 × 3. 

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

делители числа 12 таблица рис 2

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

2 × 2 = 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

делители числа 12 таблица рис 3

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

делители числа 12 таблица рис 4

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

делители числа 12 таблица рис 5

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

  • записать в качестве первого делителя единицу;
  • разложить исходное число на простые множители и выписать из полученных простых множителей те множители, которые являются делителями исходного числа (если множитель повторяется, то выписать его нужно только один раз); 
  • найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы будут остальными делителями исходного числа.

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

1

Теперь разложим число 6 на простые множители:

разложение числа 6 на простые множители

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

Теперь найдём все возможные произведения простых множителей числа 6. В данном случае имеется только одно произведение, а именно 2 × 3. Это произведение равно 6. Допишем число 6 к нашим делителям:

1, 2, 3, 6

Таким образом, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6.


 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложите число 256 на простые множители
Решение:
Задание 2. Разложите число 52 на простые множители
Решение:
Задание 3. Разложите число 98 на простые множители
Решение:
Задание 4. Разложите число 116 на простые множители
Решение:
Задание 5. Разложите число 228 на простые множители
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

37 thoughts on “Делители и кратные”

  1. Доброго времени суток! Во-первых, спасибо за сайт, доходчиво. Мне примеров не хватает, сама придумываю. Так например, помогите ПЖЛ разложить на простые множители число 119. Спасибо!

  2. Спасибо вам большое за этот сайт! Это просто такая находка! У меня экзамены через 4 месяца, а я в математике не очень, знания на уровне 6-7 класса, а ваш сайт ооочень помогает) Спасибо большое! Продолжайте в том же духе, надеюсь, что мой отзыв Вас как-то подбодрит, дорогие разработчики)

  3. Очень доходчиво,с ясными примерами,такой подход прививает любовь к предмету ,спасибо!

  4. всё решил!
    извините!!! Спасибо большое за сайт вам! Отличная работа ребята. Желаю вам удачи и хорошего настроение

  5. Я конечно понимаю, что сижу на халяву и с большой легкостью учу математику, которую не мог понять в школе… Но пожалуйста? продолжайте выпускать новые уроки, нигде нет таких доступных объяснений. Куда подписаться, или есть кошелёк для поддержки проекта? Спасибо за помощь в образовании нации <:-)

  6. Всем привет! Решая с дочкой пример 6 класса, я не смог в голове найти число кратное 45. Нужно найти все комбинации чисел *34* кратные 45. Методом перебора, через excel, я быстренько нашел эти числа: 2340 и 6345. Но это комбинаций немного, а если будет найти все комбинации чисел **34** (или ***34***) кратных 45, что тогда делать. Должно же быть логическое решение данных вариантов, голова не компьютер, все числа просчитывать.
    зы. Извините если я не по теме.

    1. Leon, у вас ошибка во второй строке — 49 на 2 без остатка не делится, т.к. будет 24.5

  7. Когда мы хотим разложить число 98, то правильнее было бы сказать — разложить на ПРОСТЫЕ множители. При разложении пользуемся признаками деления на 2,3 и 5.

    1) в числе 98 последняя цифра 8 — четная, и, значит, пользуемся признаком деления на 2.
    98:2=49
    2) число 49 на 2,3 и 5 не делится, а вот следующее простое число 7 является делителем для 49 :
    49:7=7
    3) 7- это простое число. Следовательно, оно делится только на 1 или 7:
    7:7=1

    На этом разложение на простые множители числа 98 завершено, и его результат:
    98=2×7×7

    1. Кстати я такой большой комент написал, почему то ошибку выдает, не хочет на сайт закоментить 🙁

  8. Можно задам вопрос? Достаточно ли здесь знаний для того чтобы изучать химию?

  9. сайт очень классный! Единственное, чего я тут не нашёл, так это взаимно простые числа:(
    (ученик 6-го класса)

  10. А если число изначально простое, например 2971, как это понять сразу?

    Или вот допустим число 973
    973 | 7
    139 | ?

    139 — простое число, но сколько же времени уйдёт, если делить его снова и снова?

    1. Для больших чисел сразу нельзя сказать, что оно простое или составное. Нужно исследовать их, прибегая к различным способам и тестам. Они здесь не рассмотрены ввиду своей сложности и малой распространённости. Можете на досуге почитать об этом здесь.

  11. А в смысле? В последнем примере, а именно где нужно разбить на простые множители число 228. Сначала решаешь-решаешь.

    228|2
    114|2
    57|?

    Вы говорили, что считаем сумму. То есть, в данном случае сумма 5 + 7. Будет 12. Но 12 елится на 2. Но 57 не делится на два.. Я конечно попробовала следующее число и у меня все получилось, но что насчет вот этой ситуации? Получается, не всегда с помощью этой «суммы» можно подобрать, узнать число?

    1. Сумму считаем только в том случае, когда проверяем делится ли число на 3 или на 9.

      Если вы хотите проверить делится ли число на 2, то сумму считать не нужно. Нужно посмотреть оканчивается ли число нулем. Если оканчивается нулём, значит число делится на 2.

      Либо можно посмотреть является ли число, которое вы хотите разделить, чётным. Если число чётно, то оно делится на 2. Чтобы распознать четное число, можно посмотреть на какую цифру оканчивается это число. Чётное число оканчивается чётной цифрой.

  12. Замечательный сайт! Организаторы большие молодцы! Было бы полезно после каждого шага добавлять побольше практики из задачников.
    Спасибо за Ваш труд!

  13. Здравствуйте!
    Я попала на Ваш замечательный сайт, по тому же вопросу, что задавал Александр. В четырехзначное число, надо добавить правую и левую неизвестную цифру, чтоб оно (число), было кратно 45. Это задание для детей, начало 6 класса. Правило не нашла(( Может быть поможете?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *