Дополнительные сведения о дробях

В этом уроке мы коснёмся тех моментов, о которых не упоминали при изучении дробей, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.

Правильные и неправильные дроби

В самом начале своего пути при изучении дробей мы узнали, что правильная дробь — это та дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

В школьной литературе можно встретить другое определение правильной дроби. Выглядит оно следующим образом:

Правильная дробь всегда меньше единицы.

Как понять данное определение? Дробь сама по себе указывает на то, что какой-либо объект разделен на несколько частей. И это всегда один единственный объект. Под единицей именно это и подразумевается.

Например, пусть у нас имеется одна пицца:

Одна целая пицца

В данном случае она и является единицей.

Если мы отрежем от этой пиццы половину, то есть одна вторая (одну вторую пиццы), то наш кусок будет меньше, чем вся целая пицца:

Одна вторая пиццы меньше чем вся целая пицца

В этом и заключается суть фразы «правильная дробь всегда меньше единицы».

Наша половинка пиццы является дробью одна вторая  и она меньше одной целой пиццы, то есть меньше единицы:

Одна вторая меньше единицы

Это выражение можно доказать. Если мы вычислим дробь одна вторая, то получим десятичную дробь 0,5. А это рациональное число меньше единицы:

Ноль целых пять десятых меньше единицы

На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:

Ноль целых пять десятых лежит левее единицы

Видно, что рациональное число 0,5 располагается левее, чем 1. А мы помним, что чем левее число располагается на координатной прямой, тем оно меньше.

С неправильными дробями всё было наоборот. Неправильной дробью мы назвали ту дробь, у которой числитель больше знаменателя.

Но в школьной литературе можно встретить другое определение неправильной дроби. Выглядит оно следующим образом:

Неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей.

Например, рассмотрим неправильную дробь три вторых. Выделим в этой дроби целую часть, получим одна целая и одна вторая. Изобразим эту смешанную дробь в виде одной целой пиццы и ещё половинки пиццы:

Одна целая пицца и еще половинка пиццы

Вместе одна целая пицца и ещё половина пиццы больше, чем просто одна целая пицца

Одна целая пицца и еще половинка пиццы больше чем одна целая пицца

В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь всегда больше единицы».

Одна целая пицца и ещё половина пиццы описывается смешанной дробью одна целая и одна вторая и эта смешанная дробь больше единицы:

Одна целая одна вторая больше единицы

Переведём смешанную дробь одна целая и одна вторая обратно в неправильную дробь, чтобы не противоречить правилу. Ведь речь в данном случае идёт о неправильных дробях:

Три вторых больше единицы

что схематически будет выглядеть так:

Три вторых пиццы больше чем одна целая пицца

Выражение Три вторых больше единицы можно доказать. Если мы вычислим дробь три вторых, то получим десятичную дробь 1,5. А это рациональное число больше единицы:

Одна целая пять десятых больше единицы

На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:

Одна целая пять десятых лежит правее единицы

Видно, что рациональное число 1,5 располагается правее, чем 1. А мы помним, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше.

Неправильной также называется дробь равная единице. Речь в данном случае идет о тех дробях, у которых числитель и знаменатель равны.

Рассмотрим дробь Две вторых . Изобразим её в виде двух одинаковых кусочков пиццы:

Две вторых пиццы

Фактически речь идёт не о дроби, а об одной целой пицце:

Две вторых пиццы равно целой пицце

В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь может равняться единице».

Две вторых равно единице

Любое целое число отличное от нуля (не равное нулю) можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1. Например, числа 3, 5, 9, 12 можно представить в виде неправильных дробей со знаменателем 1

3, 5, 9, 12 представление в виде неправильных дробей

Представление объекта в виде единицы позволяет проще решать задачи. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Куплен один шоколадный батончик. От него отрезали треть. Сколько батончика осталось?

Осталось две трети батончика. Сам батончик можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть треть:

единица минус треть равно две третьих

батончик минус треть равно две третьих

Не приводя на бумаге никаких вычислений, можно ответить на вопрос подобной задачи. Сказано «отрезали треть» — значит сразу нужно обратить внимание на то, что знаменатель равен 3.

Если отрезали одну часть из трёх, то сколько частей должно остаться? Верно, две части. Поэтому и ответ «две части из трёх» или «две трети».


Пример 2. Куплен один пирог. От него отрезали две шестых. Сколько пирога осталось?

Осталось четыре шестых пирога. Сам пирог можно описать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть две шестых:

единица минус две шестых есть четыре шестых

целый пирог минус две третьих равно четыре шестых


Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, мы находили НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей этих дробей. Затем делили найденный НОК на знаменатель первой дроби и получали  дополнительный множитель для первой дроби.

То же самое мы делали и для второй дроби — делили НОК на знаменатель второй дроби и получали дополнительный множитель для второй дроби.

Затем дроби умножались на свои дополнительные множители. В результате они обращались в дроби, у которых одинаковые знаменатели. К примеру, выражение  Одна вторая плюс две шестых  вычисляется следующим образом:

Одна вторая плюс две шестых равно пять шестых

Но есть и другой способ приведения дробей к общему знаменателю. Этим способом часто пользуются школьники и ленивые студенты. Суть этого способа заключается в том, что роль дополнительных множителей берут на себя знаменатели обеих дробей, причем происходит это «крест-накрест» — знаменатель первой дроби становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби становится дополнительным множителем первой дроби.

Вычислим предыдущее выражение Одна вторая плюс две шестых этим способом. Знаменатель первой дроби 2 становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби 6 становится дополнительным множителем первой дроби:

Одна вторая плюс две шестых приведение к общему знаменателю вторым способом

Далее числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель и вычисляем:

Одна вторая плюс две шестых вычисление вторым способом

Преимущество данного способа в том, что не нужно находить НОК знаменателей обеих дробей. В процессе вычисления всё выравнивается само. Единственный недостаток заключается в том, что выражение становится более длинным и корявым.

Сравните выражения, которые мы вычислили сначала первым способом, а затем вторым:

Одна вторая плюс две шестых равно пять шестых

Одна вторая плюс две шестых вычисление вторым способом

Выражение, вычисленное первым способом, намного аккуратнее и короче, нежели второе.

Вторым способом мы будем пользоваться при изучении алгебры. В алгебре работать с буквенными выражениями приходиться чаще, чем с числовыми.

К примеру, если перед нами будет стоять задача привести буквенное выражение  а разделить на б плюс ц разделить на д  к общему знаменателю, то у нас не будет другого выхода, кроме как воспользоваться методом «крест-накрест», то есть использовать второй способ, который мы сейчас рассмотрели:

а разделить на б плюс ц разделить на д приведение к общему знаменателю

а разделить на б плюс ц разделить на д приведение к общему знаменателю и вычисление


Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, мы делим это число на знаменатель искомой дроби и полученный результат умножаем на числитель искомой дроби.

Например, чтобы найти  две пятых  от 10 сантиметров, нужно 10 разделить на 5, и полученный результат умножить на 2

10 : 5 = 2

2 × 2 = 4

Получили ответ 4. Значит две пятых от десяти сантиметров составляют 4 сантиметра. Схематически это выглядит примерно так:

две части из пяти составляют четыре сантиметра

Но есть и второй вариант решения. Для нахождения две пятых от десяти сантиметров, достаточно умножить 10 на две пятых. Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:

десять умножить на две пятых равно четыре

Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения дроби от числа:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на искомую дробь.

Пример 2. Найти две третьих от двух часов.

Два часа это 120 минут. Чтобы найти две третьих от 120 минут, нужно 120 умножить на дробь две третьих

сто двадцать умножить на две третьих равно восемьдесят

Значит две третьих от двух часов составляют 80 минут.


Нахождение числа по дроби

Чтобы найти всё число по его дроби, мы делили это число на числитель имеющейся дроби и полученный результат умножали на знаменатель имеющейся дроби.

Например, зная что две третьих рулетки составляет 12 см, мы можем найти длину всей рулетки. Для этого 12 нужно разделить на 2, и полученный результат умножить на 3

12 : 2 = 6

6 × 3 = 18

Получили 18. Значит длина всей рулетки равна 18 см.

Но есть и второй вариант решения. Для нахождения длины всей рулетки, достаточно 12 разделить на дробь две третьих.  Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:

двенадцать разделить на два разделить на три

Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения числа по дроби:

Чтобы найти число по дроби, нужно это число разделить на данную дробь.

Пример 2.  две пятых  всего пути составляет 6 км. Найти длину всего пути.

Чтобы найти длину всего пути, достаточно 6 разделить на дробь две пятых

шесть разделить на два разделить на пять
Получили ответ 15. Значит длина всего пути составляет 15 километров.


Десятичная точка в дробях

Запятую в десятичной дроби, которая отделяет целую часть от дробной, по-другому называют десятичной точкой.

Дело в том, что в некоторых источниках целая часть от дробной отделяется именно точкой, а не запятой. Например:

2.5 (две целых пять десятых)

15.65 (пятнадцать целых шестьдесят пять сотых)

Точка часто используется для записи десятичных дробей на компьютере — в программировании и при работе в математических пакетах. В остальных случаях: на письме и при подготовке документов, в десятичных дробях чаще используется запятая, а не точка.

Мы используем в десятичных дробях запятую, а не точку, поэтому разумнее называть эту запятую десятичной запятой.

Но десятичную запятую большинство людей тоже называют десятичной точкой. Что в принципе не является ошибкой, потому как речь всё равно идёт о разделителе, котором отделяет целую часть от дробной.

Давайте и мы будем называть свою запятую в десятичных дробях десятичной точкой. Это словосочетание проговаривается легче и приятнее на слух.

Десятичная точка используется для увеличения или уменьшения дроби в 10, 100, 1000 и более раз. При увеличении десятичной дроби, десятичная точка передвигается вправо, а при уменьшении — влево. Чтобы быстро запомнить это, можно воспользоваться фразами «чем правее, тем больше» и «чем левее, тем меньше».

Пример 1. Увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз.

Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на одну цифру, получим 63.


Пример 2. Уменьшить десятичную дробь 6,3 в десять раз.

Для уменьшения дроби 6,3 в десять раз достаточно передвинуть десятичную точку влево на одну цифру, получим 0,63

На вопрос «как узнать на сколько цифр передвигать десятичную точку?», нужно смотреть во сколько увеличивается (или уменьшается) десятичная дробь. Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в десять раз, то десятичная точка сдвигается на одну цифру.

Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в сто раз, то десятичная точка сдвигается на две цифры.

Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в тысячу раз, то десятичная точка сдвигается на три цифры. В общем, всё зависит от количества нулей во множителе.

Например, увеличить дробь в десять раз означает умножить её на 10. Мы помним, что для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно в этой дроби передвинуть запятую вправо на одну цифру (поскольку в числе 10 один ноль). Теперь можно не заучивать подобные правила. Такое умножение можно легко выполнить, передвинув десятичную точку.


Пример 3. Увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз.

Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на три цифры, получим 6300. Если после запятой не хватает цифр, то вместо недостающих цифр записывают нули, что мы и сделали.

Пример 4. Уменьшить десятичную дробь 12,5 в сто раз.

Для уменьшения дроби 12,5 в сто раз, достаточно передвинуть десятичную точку влево на две цифры, получим 0,125


Десятичную точку можно использовать не только в десятичных дробях. Её можно использовать для увеличения (уменьшения) и других чисел в 10, 100 или в 1000 раз.

Возьмём к примеру целое число 325 и поставим в конце точку, получим 325 с точкой. Воспользуемся в этот раз точкой, так как её легче изобразить на рисунке:

Триста двадцать пять с точной

Попробуем уменьшить это число в десять раз. Для этого достаточно будет передвинуть точку влево на одну цифру, получим 32.5

тридцать две целых пять десятых


Попробуем увеличить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры вправо, получим 123000.


Попробуем уменьшить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,123


Попробуем уменьшить число 65 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,065


Попробуем увеличить число 65 в сто раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на две цифры вправо, получим 6500.


Составные выражения

Встречаются задачи, в которых требуется вычислить выражение составленное из нескольких дробей. Например,

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8

Такое выражение вычисляется согласно порядку действий. В данном случае вычисление будет выполнено последовательно слева направо:

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8 step 2

Если из шесть восьмых пиццы вычесть одна восьмая2 пиццы, затем прибавить две восьмых пиццы, затем вычесть три восьмых пиццы, то останется одна вторая пиццы

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8 в рисунках

Если вам тяжело понять данный пример, попробуйте самостоятельно решить его на бумаге, делая соответствующие рисунки к каждой дроби.

Пример 2. Найти значение выражения 1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4

В данном примере сначала необходимо выполнить умножение затем сложение и вычитание

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 1

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 2

Если одна вторая пиццы увеличить в два раза, то получится одна целая пицца

половина умножит на 2 целая пицца

Затем если к одна четвертая пиццы прибавить эту целую пиццу, а затем из полученного результата вычесть две четвертых пиццы, то получится три четвёртых пиццы

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 4


Пример 3. Найти значение выражения 2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4

Сначала желательно вычислить выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2−1 и 1+1,

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 2

Дальнейшее вычисление не составляет особого труда одна четвертая плюс две четвертых равно три четвёртых

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 3

Конечно, можно было записать в одном числителе выражения, находящиеся в числителях обеих дробях. От этого ответ не изменился бы:

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 4

Но в некоторых случаях возможны подвохи, особенно если из одной дроби вычитается другая. Следующий пример демонстрирует это.


Пример 4. Найти значение выражения 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4

Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2+1 и 2−1

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 2

Ну и нетрудно догадаться, что 3 na 4 minus 2 na 4 равно две четвертых или одна вторая (при условии, что дробь две четвертых будет сокращена на 2)

3 na 4 minus 1 na 4 ravno 1 na 2

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 3

Все логично. Если из три четвёртых пиццы вычесть одна четвертая пиццы, то получится одна вторая пиццы.

Теперь попробуем решить данный пример, записав в одном числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 4

Получается совсем другой ответ. Этот ответ не является правильным. Давайте посмотрим, что представляет собой выражение 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 5 .

Для начала запишем его следующим образом:

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4

Теперь попробуем проследить весь процесс вычисления этого выражения. Предположим, что имелось две четвертых пиццы

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4 step 1

К ней добавили еще одна четвертая пиццы

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4 step 2

Затем из получившейся три четвёртых пиццы вычитается две четвертых

3 na 4 minus 2 na 4 ravno 1 na 4

Затем из получавшейся одна четвертая пиццы вычитают еще одна четвертая пиццы

1 na 2 minus 1 na 2 ravno 0

Получился 0, то есть пицца исчезла. Но мы знаем, что должно было остаться одна вторая пиццы. Поэтому при вычислении дробных выражений следует быть внимательным, особенно при вычитании выражений, содержащих в числителе другие выражения.

Если хочется сэкономить время и записать в числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, то второй числитель нужно взять в скобки. Это спасёт от ошибки:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 короткий вариант


Пример 5. Найти выражения 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2

Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2 step 2

Приведем полученные дроби к общему знаменателю и как обычно вычислим полученное выражение:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2 step 3

Если из три четвёртых вычесть одна вторая пиццы, то получится одна четвертая пиццы

3 na 4 minus 2 na 4 в рисунках


Пример 6. Найти значение выражения 11 na 15 plus 2 na 3 umn 9 na 10

В первую очередь необходимо выполнить умножение:

2 na 3 umn 9 na 10 ravno 3 na 5

Далее выполняется сложение:

11 na 15 plus 3 na 5 ravno 4 na 3


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

19 thoughts on “Дополнительные сведения о дробях”

  1. Здравствуйте! Админ, отличный сайт, я хотел бы узнать, будет ли продолжение?

  2. Доброго времени суток.. Занимаюсь вашими уроками уже второй день, дошел уже до 25-го.. С математикой у меня не было проблем в школе, но закончил я ее три года назад, и многое подзабыл, а надо ЕГЭ в этом году сдавать.. Поначалу первые 10 уроков казались смешными, потому что до того легкие и так подробно разъяснены что даже первоклашке не составит трудности все выучить, но все же начал читать, и увидел не мало полезных и интересных способов решения про которые не говорили учителя в школе.. Спасибо Вам большое, объясняете понятно и доходчиво, и очень этим помогаете)) хотелось бы узнать будут ли в ближайшее время темы про функции, логарифм и интегралов, нахождения точек экстремума??

  3. Доброго времени суток. Админ, хотелось бы еще знать, на данный момент 39 уроков, это тянет на какой класс если отталкиваться от школьной программы?

    1. Здравствуйте.
      На сайте смешанная программа, не привязанная к классам. В одном уроке могут затрагиваться темы как из младших так и из старших классов. Мы посчитали, что если изучать математику в такой последовательности, то можно выйти на более менее сносный уровень владения математикой, чтобы можно было увереннее себя чувствовать в школе или другом учебном заведении

      1. Соглашаюсь , подтверждаю.Последовательность очень хорошая , для начинающих просто класс!

      2. А могли бы вы порекомендовать курс или книги которые помогли стать «настоящим» математиком(что бы это не значило), с полным обоснованием всех методов без эвристик, возможно даже с методами доказательств элементарных понятий

    2. Спасибо огромное за этот сайт разработчикам!!! В школе с математикой было плохо. Но всегда мечтала хорошо разбираться, долго искала что-то подобное! И вот благодаря вам мечта воплощается в реальность!

  4. Мда, из 10 примеров решил правильно только половину. Придётся повторять сложение и вычитание рациональных чисел

  5. Здравствуйте еще раз!) Прочел все ваши уроки и лажу по сайтам в поисках новой информации но везде сталкиваюсь с одной и той же проблемой… , вычитание отрицательного числа из отрицательного. Согласно правилу, нужно найти модули отрицательных чисел, и из большего модуля вычесть меньший и впереди поставить знак того модуля, который больше. В примере номер 10, где нужно — 2/9 — (-1/3) при нахождении модуля все числа положительные и дробь 3/9 больше дроби 2/9 но исходные знаки у обеих добей то отрицательный… Откуда взялся положительный? Выходит что мы просто игнорирует два знака минуса и принимаем второе слогаемое автоматом за положительное и получаем -2/3 + 3/9 но это же совсем другое выражение… Объясните, пожалуйста, а то я вообще не могу понять как так происходит.

    1. вы перепутали вычитание с сложением , вообщем вычитание можно заменить сложением то есть если -2/9 — (-1/3) для того чтобы вычитать число нужно к уменьшаемому числу прибавить противоположное число вычитаемому -2/9 + 1/3 = 1/9 надеюсь нормально объяснил )

  6. Здравствуйте) Ваш сайт просто замечателен, аналогов не существует. Здесь все разбирается до мельчайших подробностей. С Вами изучение математики делается увлекательным и интересным занятием. Спасибо Вам огромное)))
    Хотелось бы добавить:
    1) Номер кошелька, чтобы каждый желающий мог поддержать проект
    2) По возможности в некоторых темах больше заданий для самостоятельной работы
    3)По возможности публиковать уроки немножко чаще
    А в целом все отлично)))

  7. А я помню из школьной программы такое правило:
    Плюс на плюс дает плюс
    Плюс на минус дает минус
    Минус на плюс дает минус
    Минус на минус дает плюс
    Почему мы его не используем здесь?

  8. 100 рублей на то, что админу не составит большого труда улитку научить математике.

  9. Я студент-заочник, уже стар, для учёбы и двоечником в школе был. Мне очень повезло, что наткнулся на ваш сайт, он очень помогает мне в учёбе, всё так внятно и доходчиво, особенно с этой пиццей, прикольно так, прям для конкретных дурней, как я:) Но после ваших уроков чувствую себя Архимедом. Спасибо, даже не жалко поделиться и денежкой с телефона.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *