Дополнительные сведения о дробях

В этом уроке мы коснёмся тех моментов, о которых не упоминали при изучении дробей, посчитав что они на первых порах создадут трудности для обучающегося.

Если вы хорошо усвоили все предыдущие уроки, то данный урок покажется вам очень простым. Можете даже просто пробежаться по нему глазами, не разбираясь с примерами. Считайте его своего рода приложением к тем знаниям, которые вы получили ранее.

Правильные и неправильные дроби

В самом начале своего пути при изучении дробей, мы узнали что правильная дробь — это та дробь, у которой числитель меньше знаменателя. К примеру, следующие дроби являются правильными:

Одна вторая две третьих и три четвертых

Видно, что у этих дробей числитель меньше знаменателя.

В школьной литературе можно встретить другое определение правильной дроби. Выглядит оно следующим образом:

Правильная дробь всегда меньше единицы.

Как понять данное определение? Дробь сама по себе указывает на то, что какой-либо объект разделен на несколько частей. И это всегда один единственный объект. Под единицей именно это и подразумевается.

Например, пусть у нас имеется одна пицца:

Одна целая пицца

В данном случае она и является единицей.

Если мы отрежем от этой пиццы половину, то есть одна вторая (одну вторую пиццы), то наш кусок будет меньше, чем вся целая пицца. Смотрите сами:

 Одна вторая пиццы меньше чем вся целая пицца

В этом и заключается суть фразы «правильная дробь всегда меньше единицы».

Наша половинка пиццы является дробью одна вторая  и она меньше одной целой пиццы, то есть меньше единицы:

Одна вторая меньше единицы

Это выражение можно легко доказать. Если мы вычислим дробь одна вторая, то получим десятичную дробь 0,5 а это рациональное число меньше единицы:

Ноль целых пять десятых меньше единицы

На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:

Ноль целых пять десятых лежит левее единицы

Видно, что 0,5 располагается левее, чем 1. А мы помним, что чем левее, тем меньше.

С неправильными дробями всё было с точностью наоборот. Неправильной дробью мы назвали ту дробь, у которой числитель больше знаменателя. К примеру, следующие дроби являются неправильными:

Три вторых четыре третьих и семь четвертых

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя.

В школьной литературе можно встретить другое определение неправильной дроби. Выглядит оно следующим образом:

Неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей.

Например, рассмотрим неправильную дробь три вторых. Выделим в этой дроби целую часть, получим одна целая и одна вторая. Изобразим эту смешанную дробь в виде одной целой пиццы и ещё половинки пиццы:

Одна целая пицца и еще половинка пиццы

Вместе одна целая пицца и ещё половинка пиццы больше, чем просто одна целая пицца. Смотрите сами:

Одна целая пицца и еще половинка пиццы больше чем одна целая пицца

В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь всегда больше единицы».

Наша одна целая пицца и ещё половинка пиццы записывается смешанной дробью одна целая и одна вторая и эта смешанная дробь больше единицы:

Одна целая одна вторая больше единицы

Давайте переведём смешанную дробь одна целая и одна вторая обратно в неправильную дробь, чтобы не противоречить правилу. Ведь речь в данном случае идёт о неправильных дробях

Три вторых больше единицы

что схематически будет выглядеть как

Три вторых пиццы больше чем одна целая пицца

Выражение Три вторых больше единицы можно легко доказать. Если мы вычислим дробь три вторых, то получим десятичную дробь 1,5 а это рациональное число больше единицы:

Одна целая пять десятых больше единицы

На координатной прямой можно увидеть, как располагаются эти числа:

Одна целая пять десятых лежит правее единицы

Видно, что 1,5 располагается правее, чем 1. А мы помним, что чем правее, тем больше.

Неправильной также называется дробь равная единице. Речь в данном случае идет о тех дробях, у которых числитель и знаменатель равны.

Например, рассмотрим дробь Две вторых . Изобразим её в виде двух одинаковых кусочков пиццы:

Две вторых пиццы

Фактически речь идёт не о дроби, а об одной целой пицце. Смотрите сами:

Две вторых пиццы равно целой пицце

В этом и заключается суть фразы «неправильная дробь может равняться единице».

Две вторых равно единице

Это можно легко доказать. Если мы вычислим левую часть этого выражения, то получим справедливое равенство 1 = 1.

Любое целое число отличное от нуля (то есть не равное нулю) можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1. Например, числа 3, 5, 9, 12 можно представить в виде неправильных дробей со знаменателем 1

3, 5, 9, 12 представление в виде неправильных дробей

Представление объекта в виде единицы позволяет проще решать задачи. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Куплен один шоколадный батончик. От него отрезали треть. Сколько батончика осталось?

Осталось две трети батончика. Сам батончик можно записать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть треть:

единица минус треть равно две третьих

батончик минус треть равно две третьих


Пример 2. Куплен один пирог. От него отрезали две шестых. Сколько пирога осталось?

Осталось четыре шестых пирога. Сам пирог можно записать цифрой 1, далее из этой единицы вычесть две шестых:

единица минус две шестых есть четыре шестых

целый пирог минус две третьих равно четыре шестых


Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, мы находили НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей этих дробей. Затем делили найденный НОК на знаменатель первой дроби и получали  дополнительный множитель к первой дроби.

То же самое мы делали и для второй дроби — делили НОК на знаменатель второй дроби и получали дополнительный множитель ко второй дроби.

Затем дроби умножались на свои дополнительные множители. В результате они обращались в дроби у которых одинаковые знаменатели. К примеру, выражение  Одна вторая плюс две шестых  вычисляется следующим образом:

Одна вторая плюс две шестых равно пять шестых

Но есть и другой способ приведения дробей к общему знаменателю. Этим способом часто пользуются школьники и ленивые студенты. Суть способа заключается в том, что роль дополнительных множителей берут на себя знаменатели обеих дробей, при чём происходит это «крест-накрест» — знаменатель первой дроби становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби становится дополнительным множителем первой дроби.

Вычислим предыдущее выражение Одна вторая плюс две шестых этим способом. Знаменатель первой дроби 2 становится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби 6 становится дополнительным множителем первой дроби:

Одна вторая плюс две шестых приведение к общему знаменателю вторым способом

Далее как обычно умножаем каждую дробь на свой дополнительный множитель и вычисляем

Одна вторая плюс две шестых вычисление вторым способом

Вот в принципе и всё. Преимущество данного способа в том, что не нужно находить НОК знаменателей обеих дробей. В процессе вычисления всё выравнивается само. Единственный недостаток — выражение становится более длинным и корявым.

Сравните выражения, которые мы вычислили сначала первым способом, а затем вторым:

Одна вторая плюс две шестых равно пять шестых

Одна вторая плюс две шестых вычисление вторым способом

Выражение, вычисленное первым способом намного аккуратнее и короче, нежели второе.

Вторым способом мы будем пользоваться при изучении алгебры. В алгебре оперировать с буквенными выражениями приходиться чаще, чем с числовыми.

К примеру, если перед нами будет стоять задача привести буквенное выражение  а разделить на б плюс ц разделить на д  к общему знаменателю, то у нас не будет другого выхода, кроме как воспользоваться методом «крест-накрест», то есть использовать второй способ, который мы сейчас рассмотрели:

а разделить на б плюс ц разделить на д приведение к общему знаменателю

а разделить на б плюс ц разделить на д приведение к общему знаменателю и вычисление


Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, мы делим это число на знаменатель искомой дроби, и полученный результат умножаем на числитель искомой дроби.

Например, чтобы найти  две пятых  от 10 сантиметров, нужно 10 разделить на 5, и полученный результат умножить на 2

10 : 5 = 2

2 × 2 = 4

Получили ответ 4. Значит две пятых от десяти сантиметров составляют 4 сантиметра. Схематически это выглядит примерно так:

две части из пяти составляют четыре сантиметра

Но есть и второй вариант решения. Для нахождения две пятых от десяти сантиметров, достаточно умножить 10 на две пятых. Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:

десять умножить на две пятых равно четыре

Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения дроби от числа:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на искомую дробь.

Пример 2. Найти две третьих от двух часов.

Два часа это 120 минут. Чтобы найти две третьих от 120 минут, нужно 120 умножить на дробь две третьих

сто двадцать умножить на две третьих равно восемьдесят

Значит две третьих от двух часов составляют 80 минут.


Нахождение числа по дроби

Чтобы найти всё число по его дроби, мы делили это число на числитель имеющейся дроби, и полученный результат умножали на знаменатель имеющейся дроби.

Например, зная что две третьих от рулетки составляет 12 см, мы можем найти длину всей рулетки. Для этого 12 нужно разделить на 2, и полученный результат умножить на 3

12 : 2 = 6

6 × 3 = 18

Получили 18. Значит длина всей рулетки равна 18 см.

Но есть и второй вариант решения. Для нахождения длины всей рулетки, достаточно 12 разделить на дробь две третьих.  Тогда мы получим тот же результат, как и в прошлый раз, но получим мы его в одно действие:

двенадцать разделить на два разделить на три

Поэтому можно взять на заметку следующее правило нахождения числа по дроби:

Чтобы найти число по дроби, нужно это число разделить на данную дробь.

Пример 2.  две пятых  от всего пути составляет 6 км. Найти длину всего пути.

Чтобы найти длину всего пути, достаточно 6 разделить на дробь две пятых

шесть разделить на два разделить на пять
Получили ответ 15. Значит длина всего пути составляет 15 километров.


Десятичная точка в дробях

Запятую в десятичной дроби, которая отделяет целую часть от дробной, по-другому называют десятичной точкой.

Дело в том, что в некоторых источниках целая часть от дробной отделяется именно точкой, а не запятой. Например:

2.5 (две целых пять десятых)

15.65 (пятнадцать целых шестьдесят пять сотых)

Так и пошло словосочетание десятичная точка.

Точка часто используется для записи десятичных дробей на компьютере — в программировании и при работе в математических пакетах. В остальных случаях — в письме и при подготовке документов, в десятичных дробях чаще используется запятая, а не точка.

Мы используем в десятичных дробях запятую, а не точку, поэтому разумнее называть эту запятую десятичной запятой.

Но десятичную запятую большинство людей тоже называют десятичной точкой. Что в принципе не является ошибкой, потому как речь всё равно идёт о разделителе, котором отделяет целую часть от дробной.

Давайте и мы будем называть свою запятую в десятичных дробях десятичной точкой. Это словосочетание проговаривается легче и приятнее на слух.

Десятичная точка используется для увеличения или уменьшения дроби в 10, 100, 1000 и более раз. При увеличении десятичной дроби, десятичная точка передвигается вправо, а при уменьшении — влево. Чтобы быстро запомнить это, можно воспользоваться фразами «чем правее, тем больше» и «чем левее, тем меньше».

Пример 1. Увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз.

Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в десять раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на одну цифру, получим 63.


Пример 2. Уменьшить десятичную дробь 6,3 в десять раз.

Для уменьшения дроби 6,3 в десять раз достаточно передвинуть десятичную точку влево на одну цифру, получим 0,63

На вопрос «как узнать на сколько цифр передвигать десятичную точку», нужно смотреть во сколько увеличивается (или уменьшается) десятичная дробь. Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в десять раз, то десятичная точка сдвигается на одну цифру.

Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в сто раз, то десятичная точка сдвигается на две цифры.

Если дробь нужно увеличить (или уменьшить) в тысячу раз, то десятичная точка сдвигается на три цифры. В общем, всё зависит от количества нулей во множителе.

Например, увеличить дробь в десять раз означает умножить её на 10. Мы помним, что для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно в этой дроби передвинуть запятую вправо на одну цифру (потому что в числе 10 один ноль). Теперь можно не заучивать подобные правила, т.к. такое умножение можно легко провести передвинув десятичную точку.


Пример 3. Увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз.

Чтобы увеличить десятичную дробь 6,3 в тысячу раз, достаточно передвинуть десятичную точку вправо на три цифры, получим 6300. Если после запятой не хватает цифр, то вместо недостающих цифр записывают нули, что мы и сделали.

Пример 4. Уменьшить десятичную дробь 12,5 в сто раз.

Для уменьшения дроби 12,5 в сто раз достаточно передвинуть десятичную точку влево на две цифры, получим 0,125


Десятичную точку можно использовать не только в десятичных дробях. Её можно использовать для увеличения (уменьшения) и других чисел в 10, 100 или в 1000 раз.

Возьмём к примеру целое число 325 и поставим в конце точку, получим 325 с точкой. Воспользуемся в этот раз точкой, так как её легче изобразить на рисунке:

Триста двадцать пять с точной

Попробуем уменьшить это число в десять раз. Для этого достаточно будет передвинуть точку влево на одну цифру, получим 32.5

тридцать две целых пять десятых


Попробуем увеличить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры вправо, получим 123000.


Попробуем уменьшить число 123 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,123


Попробуем уменьшить число 65 в тысячу раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на три цифры влево, получим 0,065


Попробуем увеличить число 65 в сто раз. Для этого достаточно передвинуть десятичную точку на две цифры вправо, получим 6500.


Составные выражения

Встречаются задачи в которых требуется вычислить выражение составленное из нескольких дробей. Например,

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8

Такое выражение вычисляется согласно порядку действий. В данном случае вычисление будет выполнено последовательно слева направо:

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8 step 2

Если из шесть восьмых пиццы вычесть одна восьмая2 пиццы, затем прибавить две восьмых пиццы, затем вычесть три восьмых пиццы, то останется одна вторая пиццы

6 minus 1 plus 2 minus 3 na 8 в рисунках

Если вам тяжело понять данный пример, попробуйте самостоятельно решить его на бумаге, делая соответствующие рисунки к каждой дроби.

Пример 2. Найти значение выражения 1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4

В данном примере сначала необходимо выполнить умножение затем сложение и вычитание

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 1

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 2

Если одна вторая пиццы увеличить в два раза, то получится одна целая пицца

половина умножит на 2 целая пицца

Затем если к одна четвертая пиццы прибавить эту целую пиццу, а затем из полученного результата вычесть две четвертых пиццы, то получится три четвёртых пиццы

1 na 4 plus 1 na 2 umnojit na 2 minus 2 na 4 step 4


Пример 3. Найти значение выражения 2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4

Сначала желательно вычислить выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2−1 и 1+1,

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 2

Дальнейшее вычисление не составляет особого труда одна четвертая плюс две четвертых равно три четвёртых

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 3

Конечно, можно было записать в одном числителе выражения, находящиеся в числителях обеих дробях. От этого ответ не изменился бы:

2 minus 1 na 4 plus 1 plus 1 na 4 step 4

Но в некоторых случаях возможны подвохи, особенно если из одной дроби вычитается другая. Следующий пример демонстрирует это.


Пример 4. Найти значение выражения 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4

Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, а именно выражения 2+1 и 2−1

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 2

Ну и нетрудно догадаться, что 3 na 4 minus 2 na 4 равно две четвертых или одна вторая (при условии, что дробь две четвертых будет сокращена на 2)

3 na 4 minus 1 na 4 ravno 1 na 2

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 3

Все логично. Если из три четвёртых пиццы вычесть одна четвертая пиццы, то получится одна вторая пиццы.

Теперь попробуем решить данный пример, записав в одном числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 4

Получается совсем другой ответ. Этот ответ не является правильным. Давайте посмотрим, что представляет собой выражение 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 step 5 .

Для начала запишем его следующим образом:

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4

Теперь попробуем проследить весь процесс вычисления этого выражения. Предположим, что имелось две четвертых пиццы

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4 step 1

К ней добавили еще одна четвертая пиццы

2 na 4 plus 1 na 4 minus 3 na 4 minus 1 na 4 step 2

Затем из получившейся три четвёртых пиццы вычитается две четвертых

3 na 4 minus 2 na 4 ravno 1 na 4

Затем из получавшейся одна четвертая пиццы вычитают еще одна четвертая пиццы

1 na 2 minus 1 na 2 ravno 0

Получился 0, то есть пицца исчезла. Но мы знаем, что должно было остаться одна четвертая пиццы. Поэтому при вычислении дробных выражений следует быть внимательным, особенно при вычитании выражений, содержащих в числителе другие выражения.

Если хочется сэкономить время и записать в числителе оба выражения, находящиеся в числителях обеих дробей, то второй числитель можно взять в скобки. Это спасет от ошибки:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 1 na 4 короткий вариант


Пример 5. Найти выражения 2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2

Вычислим выражения, находящиеся в числителях обеих дробей:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2 step 2

Приведем полученные дроби к общему знаменателю и как обычно вычислим полученное выражение:

2 plus 1 na 4 minus 3 minus 2 na 2 step 3

Если из три четвёртых вычесть одна вторая пиццы, то получится одна четвертая пиццы

3 na 4 minus 2 na 4 в рисунках


Пример 6. Найти значение выражения 11 na 15 plus 2 na 3 umn 9 na 10

В первую очередь необходимо выполнить умножение:

2 na 3 umn 9 na 10 ravno 3 na 5

Далее выполняется сложение:

11 na 15 plus 3 na 5 ravno 4 na 3


Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Минус две седьмых плюс одна седьмая
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 6. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 9. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 10. Найдите значение выражения:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Дополнительные сведения о дробях: 9 комментариев

  1. Доброго времени суток.. Занимаюсь вашими уроками уже второй день, дошел уже до 25-го.. С математикой у меня не было проблем в школе, но закончил я ее три года назад, и многое подзабыл, а надо ЕГЭ в этом году сдавать.. Поначалу первые 10 уроков казались смешными, потому что до того легкие и так подробно разъяснены что даже первоклашке не составит трудности все выучить, но все же начал читать, и увидел не мало полезных и интересных способов решения про которые не говорили учителя в школе.. Спасибо Вам большое, объясняете понятно и доходчиво, и очень этим помогаете)) хотелось бы узнать будут ли в ближайшее время темы про функции, логарифм и интегралов, нахождения точек экстремума??

    1. Привет. И вам спасибо.
      Будет, но не в ближайшее время) Прежде чем изложить логи и интегралы, необходимо изложить много других тем, т.к. каждая тема в математике основана на понимании предыдущих.

  2. Доброго времени суток. Админ, хотелось бы еще знать, на данный момент 39 уроков, это тянет на какой класс если отталкиваться от школьной программы?

    1. Здравствуйте.
      На сайте смешанная программа, не привязанная к классам. В одном уроке могут затрагиваться темы как из младших так и из старших классов. Мы посчитали, что если изучать математику в такой последовательности, то можно выйти на более менее сносный уровень владения математикой, чтобы можно было увереннее себя чувствовать в школе или другом учебном заведении

  3. Мда, из 10 примеров решил правильно только половину. Придётся повторять сложение и вычитание рациональных чисел

  4. Здравствуйте еще раз!) Прочел все ваши уроки и лажу по сайтам в поисках новой информации но везде сталкиваюсь с одной и той же проблемой… , вычитание отрицательного числа из отрицательного. Согласно правилу, нужно найти модули отрицательных чисел, и из большего модуля вычесть меньший и впереди поставить знак того модуля, который больше. В примере номер 10, где нужно — 2/9 — (-1/3) при нахождении модуля все числа положительные и дробь 3/9 больше дроби 2/9 но исходные знаки у обеих добей то отрицательный… Откуда взялся положительный? Выходит что мы просто игнорирует два знака минуса и принимаем второе слогаемое автоматом за положительное и получаем -2/3 + 3/9 но это же совсем другое выражение… Объясните, пожалуйста, а то я вообще не могу понять как так происходит.

    1. Чтобы вычесть отрицательное число из отрицательного, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

      В примере null уменьшаемым является число null, а вычитаемым null. Прибавляете к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому. Противоположное вычитаемому null является рациональное число null. Знак плюса перед этой дробью был поставлен для наглядности, но его можно не писать.

      Дальше получаете выражение null Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить такие числа, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед ответом тот знак, модуль которого больше. Сравниваете модули дробей, приведя их к общему знаменателю

      null

      Второй модуль больше первого, поэтому из второго модуля вычитаете первый и перед ответом ставите плюс, поскольку правило требует ставить перед ответом тот знак, модуль которого больше

      null

      В решении к примеру 10 дроби сначала были приведены к общему знаменателю, а потом вычислены. Сделано это было с целью избежать волокиты с модулями.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *