Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. И не верьте тем, которые говорят, что дроби это просто. Такие люди либо вообще не разбираются в дробях, либо разбираются в них поверхностно. Как говорила Фаина Раневская: «Оптимизм — это недостаток информации».

Но есть и хорошие новости. Если вы возьмёте себя в руки и освоите дроби, то уверяем вас, что дальнейшее изучение математики будет для вас простым, как прогулка по красивому саду.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь — это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом и т.д. В народе дробь называют долей. Само слово дробь тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим, мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

piccaПосмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

drВнизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

dr1А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

dr2Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая»

или так: «один кусок из четырёх»,

или так: «одна четвёртая доля»,

или так: «четверть».

Всё это синонимы.


Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь? Очень просто. Сверху записываем 2 (потому что мы уже съели два куска), а внизу записываем 4 (потому что всего кусков было 4):

dr3В этой дроби числитель это 2, а знаменатель это 4. Эта дробь читается так: «две четвёртых»  или так: «два куска из четырёх».


Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.picca3Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь? Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается 3, потому что пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается 1, потому что съеден один кусок:

13В этой дроби числитель это единица, а знаменатель — тройка. Эта дробь читается так: «Одна третья»

или так: «Один кусок из трёх»,

или так: «Одна третья доля»,

или так: «Треть».

Если мы съедим два куска этой пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться вот так:

23


Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части или как говорят в народе «пополам»:

picca12Допустим из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь? Очень просто. Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем 2, потому что пицца разделена на две части, а вверху записываем 1, потому что съеден один кусок:

12Эта дробь читается так: «одна вторая»,

или так: «один кусок из двух»,

или так: «одна вторая доля»,

или так: «половина».


Дроби, которые мы рассмотрели выше, называют обыкновенными. Почему обыкновенными? Потому что дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Десятичные будем рассматривать немного позже. Обыкновенная дробь эта та дробь, которая состоит из числителя и знаменателя.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6 и т.д. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На рисунке показаны знаменатели для каждой разделенной поровну пицце:

piccatype

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли одна вторая (одну часть из двух) или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

drobгде a — это числитель, b — знаменатель.


Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

12131491

Почему такие дроби называют правильными? А подумайте сами. Забавная штука получится. Вспомните, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть «чего-либо» будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём одна четвёртая (одну четвёртую пиццы), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Именно поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

nepravilnayaВидно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомните, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько это «чего-либо» разделено. А числитель показывает сколько этого «чего-либо» взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  92  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Именно поэтому, такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

nepravilnaya2

Вообще, такие дроби даже не имеют права называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь 22. Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съесть 22 пиццы.  В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По-сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим эту 22 пиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Другими словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому, дробь у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной дробью.


Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь 42. Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим значок равно (=) и пишем ответ:

4222

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

drobi2

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного посложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части в дроби».


Выделение целой части в дроби

Вычислим дробь 52 . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы лучше понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём, поделиться по-честному — чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

apple1

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби 52 и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Посмотрим на нашу картинку и ответим: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

52212

Схематически это выглядит так:

apple2

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере, мы выделили целую часть у дроби пять вторых и получили новую дробь две целых одна вторая.  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь это дробь у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере, целая часть это 2, а дробная часть это одна вторая

212poyasnenie

Обязательно запомните эти понятия! А лучше, запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

vcxh

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби 52. Записываем уголком данное выражение и решаем:

5221

Как видно на рисунке, после того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Главное понять, что куда отнести. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме проводить элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.


Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть в дроби  576

Записываем уголком данное выражение и решаем. Далее собираем смешанную дробь:

5769936

Получили: 5769362


Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь 15101. Если выделить в ней целую часть, то получается 15102

15103

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого, целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним.

Например, переведём смешанное число 15102 в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части 3:

2 × 3 = 6

Затем, к 6 прибавляем числитель дробной части 1:

6 +  1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

15104

Подробное решение выглядит так:

15106

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:

15105


Пример 2. Перевести смешанное число 15111 в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем прежним:
15112

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Что это значит? Это значит, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь одна вторая.  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2:

111224

Получили новую дробь 24.  Если верить основному свойству дроби, то дроби одна вторая  и  24 равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

11piccatype

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь одна вторая (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь 24 (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и оттуда взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и оттуда  взяли два куска.

Поэтому, между дробями одна вторая и 24 можно поставить знак равенства (=) потому что эти дроби несут одно и то же значение. Другими словами, они равны:

1112243


Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь 114824. Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2:

1148242

Получили новую дробь 24. Если верить основному свойству дроби, то дроби 114824 и 24 равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

11piccatype2

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь 114824 (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь 24 (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и оттуда взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и оттуда  взяли два куска.

Поэтому, между дробями 114824 и 24 можно поставить знак равенства (=) потому что эти дроби несут одно и то же значение. Другими словами, они равны:

1148243

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!


Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь одна вторая выглядит намного проще и красивее, чем дробь 112040 .

Если при решении задач и примеров получается большая некрасивая дробь, то нужно пытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1.  Сократим дробь 1112242. Надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае, дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД { 2 и 4 } это 2. Значит числитель и знаменатель дроби 1112242 надо разделить на двойку. Итак, делим числитель и знаменатель на 2:

132412


Пример 2. Сократим дробь 112040. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40. НОД { 20 и 40 } это 20. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 20:

13204012


Пример 3. Сократим дробь Тридцать два тридцать шестых. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36. НОД { 32 и 36 } это 4. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 4:

13323689


Если в числителе и знаменателе стоят простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

1312343557

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.


Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть данного способа заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби Тридцать два тридцать шестых. Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

13323689

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция Тридцать два тридцать шестых сокращение на четыре , и сразу записан ответ Восемь девятых . Получится следующее выражение:

Тридцать два тридцать шестых равно восемь девятых

Суть в том, число на которое разделили числитель и знаменатель хранят в уме. В нашем случае, числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записывают рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Тридцать два тридцать шестых разделили числитель

Затем, точно так же делят знаменатель на число 4. Полученный ответ записывают рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Тридцать два тридцать шестых разделили знаменатель

Затем собирают новую дробь. В числитель отправляют новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляют новое число 9 вместо 36

Сокращение тридцати двух на тридцать шестых на четыре вторым способом

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также дроби можно сокращать, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель. Например, сократим дробь Девять двадцать седьмых предварительно разложив на множители числитель и знаменатель:

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби Девять двадцать седьмых на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение: Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель1

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель2

Далее сокращать больше нечего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, т.к. в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с ней.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель3

 Получили ответ одна третья. Значит при сокращении дроби Девять двадцать седьмых получается новая дробь одна третья.

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на множители числителя и знаменателя, если вы только начинаете изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решен старым способом и будет выглядеть так:

Девять двадцать седьмых сокращение старым методом

Сравните это выражение, с выражением которое мы получили, когда пользовались вторым способом

Девять двадцать седьмых разложены числитель и знаменатель3

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Дроби: 32 комментария

  1. Объяснения очень хорошие. Хотелось бы новых, более сложных уроков в таком же виде.

    1. Здравствуйте, Николай!
      Спасибо, что посетили наш сайт. Новые уроки будут скоро. Задержки связаны с тем, что некоторые темы трудно рассказать простым и доступным языком. На их подготовку уходит несколько дней. Но мы будем стараться публиковать новое почаще.

      1. привет всем. не подумайте будто я возомнил себя всех умней, но у меня вопрос : в разделе перевод смешанного числа в неправильную дробь, семь третьих, есть выражение в числителе(2•3)+1 . может я чего то не знаю или не понимаю ,но зачем в выражении скобки ? ведь умножение и так будет первым действием.

        1. Привет.
          Да, скобки можно не ставить. Но не является ошибкой если они поставлены.. В данном случае они поставлены как подсказка для тех, кто плохо разбирается в порядке действий

  2. Здравствуйте. Я бы не назвал это «Началом изучения» именного алгебры, а «началом изучения математики» Думал, что здесь будут темы сначала 7-8 классов (так как именно с этих классов начинается именно алгебра) А так, авторы молодцы, хорошо постарались для тех, кто вообще не знает математику 😉

  3. Вчера спросила про простые числа. Нашла ответ на вопрос в теме Шаг 11. Делители и кратные

  4. Здравствуйте! В последнем примере данной темы указано, что надо сократить дробь 20/40 способом разложения на простые множители. Фактически решается пример на сокращение дроби 32/36. А в общем все очень доходчиво и понятно. Будем повторять с ученицей 4 класса с самого начала. Спасибо за материал.

  5. Спасибо за такой прекрасный сайт. Только хотелось бы побольше про правильные дроби узнать и примеров побольше, а то только 5/2 и все(((

  6. Здравствуйте, помогите решить сложение дробей 5/23+4/5, дело в том что я не могу найти НОД знаменателей этих дробей (чисел 23 и 5).

  7. Простите, я по ошибке написал. Для решения надо найти НОК этих чисел. Просто я не могу найти НОД у чисел 23 и 5, админ помогите.

    1. Числа 23 и 5 являются простыми. Они делятся только на единицу и самих себя. Поэтому единственным общим делителем для них будет единица.
      А НОК для {23 и 5} это 115

  8. Спасибо. У меня еще осталось один вопрос, когда я сокращаю дробь 20/40 вторым способом, при вычеркивании одинаковых множителей, в числителе ничего не остается, а в знаменателе остается толко 2. Вторым способом это дробь, не сокращается что ли?

  9. Я правильно понял,что запись 5/2 можно понимать и как
    пять делить на два и как пять вторых?

  10. В это теме надо было бы дописать, что правильные дроби всегда меньше единицы, неправильные дроби — больше единица. Я думаю, что это не маловажная вещь, посетителям сайта, ученикам надо обратить на это внимание.

    1. Да. Можно в принципе и дописать, но вместе с этим придется рассказать о теме деления меньшего числа на большее, которая относится к десятичным дробям, а это может стать нагрузкой для начинающего..

      Наверняка любознательный обучающийся спросит почему правильная дробь всегда меньше единицы. Можно будет объяснить ему это на примере рисунка

      сказав, что любой кусочек пиццы всегда будет меньше одной целой пиццы.

      Но чтобы объяснить полностью, записывая арифметические действия, нужно будет вычислить дробь 1/2, значение которой равно 0,5

      Далее сказать, что 0,5 меньше чем 1

      0,5 < 1

      1. Можно и так, написать в теме о десятичных дробях. Просто в теме о сравнениях дробях обучающему было бы легче сравнить, если попадутся две дроби, одна правильная, другая неправильная и тогда без вычисления НОК можно сразу выявить что больше, а что меньше.

  11. Вот! Все ясно,понятно и доступно , намного лучше чем в школе было! Спасибо за старания !

  12. Всё очень понятно, я очень рада что есть ваш сайт т.к. Я не учила математику в школе все 9 классов даже и не думала что математика так интересна) спасибо создателю сайта, и хочется спросить а будут ли ещё уроки? Не именно по этой теме а вообще. Просто хочется до самого 11 класса все понять) и ещё раз вас БЛАГОДАРЮ и желаю успехов в создании уроков!

  13. Спасибо Вам огромное, благодаря таким урокам появился интерес к этому предмету!!!

  14. Спасибо огромное! Такие молодцы! Класс! Все объяснили на доступном языке. А геометрии нету? Чтоб так же понятно было. Или может посоветуете какой-то сайт.

    1. И вам спасибо)
      Геометрии пока нету. Из книг можем посоветовать только школьный учебник по геометрии (Автор: Погорелов А. В.)
      Более доступно написанного учебника мы пока не встречали

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *