Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении axbx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле Dk− ac, а корни по формулам квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

Примеры

Решим квадратное уравнение x+ 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.


Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.


Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = 3− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 3

Значит корнями уравнения x+ 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b− 4ac), в формуле Dk− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения формулы квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2 не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.


Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x− 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−3)− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 11


Пример 3. Решить квадратное уравнение x− 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−5)− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 14

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 15


Пример 5. Решить квадратное уравнение квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 16

Коэффициент b равен два корня из двух. Это выражение состоит из множителя 2 и выражения корень из 2. То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что k равно два корня из двух

Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 19.

Вычислим второй корень уравнения:

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 20


Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение axbx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении axbx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax+ 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k− ac.

В выражении 4(k− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Dk− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1 и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

В нашем уравнении axbx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k− ac)

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 5

Но ранее было сказано, что выражение k− ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 8

Сократим получившуюся дробь на 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 10

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; 0,6
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; −1,4
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *