Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

примеры квадратных уравнений

Решим первое из этих уравнений, а именно x− 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x− 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 120

Получили уравнение x= 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x= 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b= a и обозначается как b равно корень из a

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x= 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что x равно корень из 4. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем = 2 и = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение x равно корень из 4, перед корень кв из 4 следует поставить знак ±

квадратное уравнение рисунок 35

Затем найти арифметическое значение квадратного корня корень кв из 4

квадратное уравнение рисунок 36

Выражение = ± 2 означает, что = 2 и = −2. То есть корнями уравнения x− 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 9

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 10

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (+ 2)= 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

квадратное уравнение рисунок 24

То есть наша задача найти x, при которых выражение + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

квадратное уравнение рисунок 12

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

квадратное уравнение рисунок 11

Значит корнями уравнения (+ 2)= 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (+ 2)= 25 выражение (+ 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что квадратное уравнение рисунок 37.

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: + 2 = 5 и + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (+ 2)= 25

квадратное уравнение рисунок 38

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

квадратное уравнение рисунок 13

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x− 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x= 2 и x= −2. 

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (+ 2)= 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 14

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x+ 2= 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение axbx = 0. Для этого в уравнении 3x+ 2= 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x2 + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x+ 2− 16 = 0. В этом уравнении = 3, = 2, = −16.

В квадратном уравнении вида axbx = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x+ 2− 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x+ 2− 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x= 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4xx = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

квадратное уравнение рисунок 39

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x+ 6= 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0. В этом уравнении = 2, = 6, = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 3

Получилось уравнение 2x− 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x= 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратное уравнение рисунок 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x= 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x= 4, то квадратное уравнение рисунок 40. Отсюда = 2 и = −2.

Значит корнями уравнения 2x− 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 1

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 4

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как axbx = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax= 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x− 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x− 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax= 0, то есть неполным. В нем = 1, = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

квадратное уравнение рисунок 25

Получили квадратное уравнение 2x+ 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

квадратное уравнение рисунок 26

Получилось уравнение x(2+ 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2+ 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2+ 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

квадратное уравнение рисунок 6

Получилось два уравнения: = 0 и 2+ 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2+ 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

квадратное уравнение рисунок 5

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x+ 6= 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 7

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

квадратное уравнение рисунок 8

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение привет вид:

квадратное уравнение рисунок 27

Получили уравнение 2x= 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что = 0. Действительно, 2 × 0= 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида axbx = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x− 32 = 0, то мы говорим, что = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением axbx = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x− 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение axbx = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x− 2+ 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (− 1)2.

квадратное уравнение рисунок 41

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение − 1 = 0, можно узнать чему равно x

квадратное уравнение рисунок 42

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (− 1)= 0 выражение (− 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что квадратное уравнение рисунок 43. В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается − 1 = 0. Отсюда = 1.

Значит корнем уравнения x− 2+ 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x+ 2− 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

квадратное уравнение рисунок 16

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 18

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (+ 1)= 4 выражение (+ 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что квадратное уравнение рисунок 44. Вычисление правой части даст выражение + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: + 1 = 2 и + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

квадратное уравнение рисунок 45

Значит корнями уравнения x+ 2− 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

квадратное уравнение рисунок 20


Пример 3. Решить уравнение x− 6+ 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратное уравнение рисунок 21

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

квадратное уравнение рисунок 28

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

квадратное уравнение рисунок 23


Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x+ 28− 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

квадратное уравнение рисунок 29

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 30

Воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 46

Получили два простых уравнения: 2+ 7 = 11 и 2+ 7 = −11. Решим их:

квадратное уравнение рисунок 32


Пример 5. Решить уравнение 2x+ 3− 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)= 22x= 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

квадратное уравнение рисунок 121

В уравнении 2x+ 3− 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 33

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

квадратное уравнение рисунок 34

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

квадратное уравнение рисунок 47

Выделим полный квадрат.

квадратное уравнение рисунок 48

При представлении члена 3 на 2 на x в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби три вторых сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на одна вторая. При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 49

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 50

Перенесём дробь квадратное уравнение рисунок 51 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 52

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение квадратное уравнение рисунок 53 представляет собой квадратный корень из числа квадратное уравнение рисунок 54

квадратное уравнение рисунок 55

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квадратный корень из дроби

Тогда наше уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 56

Полýчим два уравнения:

квадратное уравнение рисунок 58

Решим их:

квадратное уравнение рисунок 59

Значит корнями уравнения 2x+ 3− 27 = 0 являются числа 3 и -9 na 2.

Корень -9 na 2 удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

квадратное уравнение рисунок 60

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x+ 3− 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x+ 3− 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

квадратное уравнение рисунок 47

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида axbx = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения axbx = 0 нужно разделить на a

квадратное уравнение рисунок 122


Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x+ 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

квадратное уравнение рисунок 75

Выделим полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 76

Получили уравнение квадратное уравнение рисунок 77 , в котором квадрат выражения квадратное уравнение рисунок 78 равен отрицательному числу квадратное уравнение рисунок 79. Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна квадратное уравнение рисунок 79. Значит уравнение квадратное уравнение рисунок 77 не имеет корней.

А поскольку уравнение квадратное уравнение рисунок 77 равносильно исходному уравнению 2x+ 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.


Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение axbx = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения axbx = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения axbx = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

квадратное уравнение рисунок 61

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

квадратное уравнение рисунок 62

Перенесем члены квадратное уравнение рисунок 64 и квадратное уравнение рисунок 65 в правую часть, изменив знак:

квадратное уравнение рисунок 66

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

квадратное уравнение рисунок 67

В числителе правой части вынесем за скобки a

квадратное уравнение рисунок 68

Сократим правую часть на a

квадратное уравнение рисунок 69

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение квадратное уравнение рисунок 74 имеет те же корни, что и исходное уравнение axbx = 0.

Уравнение квадратное уравнение рисунок 74 будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения квадратное уравнение рисунок 74 всегда будет положительным, то знак дроби квадратное уравнение рисунок 72 будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b− 4ac.

Выражение b− 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b2 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x+ 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x+ 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b− 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x+ 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида квадратное уравнение рисунок 74, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b− 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b− 4ac. Подставим в уравнении квадратное уравнение рисунок 74 вместо выражения b− 4ac букву D

квадратное уравнение рисунок 80

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (< 0), то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 81

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (> 0), то уравнение примет вид:

квадратное уравнение рисунок 82

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 83

Получили уравнение квадратное уравнение рисунок 84. Из него полýчится два уравнения: квадратное уравнение рисунок 85 и квадратное уравнение рисунок 86. Выразим x в каждом из уравнений:

квадратное уравнение рисунок 87

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения axbx = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

квадратное уравнение рисунок 90

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x+ 2− 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, = 1, = 2, = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x+ 2− 8 = 0

D = b2 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 91

Значит корнями уравнения x+ 2− 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

квадратное уравнение рисунок 92

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению квадратное уравнение рисунок 80. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

квадратное уравнение рисунок 93

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 94

Далее выражаем x

квадратное уравнение рисунок 95

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x− 6+ 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении = 1, = −6, = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b2 4ac = (−6)− 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (= 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле квадратное уравнение рисунок 96

квадратное уравнение рисунок 97

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Теорема Виета рисунок 34

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу квадратное уравнение рисунок 96, а не формулы формула для вычисления первого корня квадратного уравнения и формула для вычисления второго корня квадратного уравнения. Это позволяет сэкономить время и место.


Пример 3. Решить уравнение 5x− 6+ 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 98

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 99

Значит корнями уравнения 5x− 6+ 1 = 0 являются числа 1 и одна пятая.

Ответ: 1; одна пятая.


Пример 4. Решить уравнение x+ 4+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 100

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле квадратное уравнение рисунок 96

квадратное уравнение рисунок 101

Значит корнем уравнения x+ 4+ 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.


Пример 5. Решить уравнение 3x+ 2+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 100

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.


Пример 6. Решить уравнение (+ 4)= 3+ 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

квадратное уравнение рисунок 101

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

квадратное уравнение рисунок 102

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 103

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 104

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 105

Значит корнями уравнения (+ 4)= 3+ 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.


Пример 7. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 106

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

квадратное уравнение рисунок 107

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 108

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 109

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 110

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 111

Значит корнями уравнения квадратное уравнение рисунок 106 являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.


Пример 8. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 112

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

квадратное уравнение рисунок 113

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

квадратное уравнение рисунок 114

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 115

Приведём подобные члены в левой части:

квадратное уравнение рисунок 116

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

квадратное уравнение рисунок 118

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 119

Значит корнями уравнения квадратное уравнение рисунок 112 являются числа две целых одна третьяи 2.


Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x= 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 3 и −3. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

квадратное уравнение рисунок 125

Ответ: 9, −9.


Пример 2. Решить уравнение x− 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

квадратное уравнение рисунок 126

Ответ: 3, −3.


Пример 3. Решить уравнение x− 9= 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

квадратное уравнение рисунок 127

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

квадратное уравнение рисунок 128

Ответ: 0, 9.


Пример 4. Решить уравнение x+ 4− 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b− 4ac = 4− 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

квадратное уравнение рисунок 129

Ответ: 1, −5.


Пример 5. Решить уравнение квадратное уравнение рисунок 131

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

квадратное уравнение рисунок 132

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

квадратное уравнение рисунок 133

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 134

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратное уравнение рисунок 135

Ответ: 5, минус пять шестых.


Пример 6. Решить уравнение x= 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

квадратное уравнение рисунок 137

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

квадратное уравнение рисунок 139

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

квадратное уравнение рисунок 138

Ответ: квадратное уравнение рисунок 140


Пример 7. Решить уравнение (2+ 3)+ (− 2)= 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

квадратное уравнение рисунок 142

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 143

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

квадратное уравнение рисунок 144

Ответ: 0, −1,6.


Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

квадратное уравнение рисунок 148

Приведём подобные члены:

квадратное уравнение рисунок 149

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

квадратное уравнение рисунок 150

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

квадратное уравнение рисунок 151

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

квадратное уравнение рисунок 152

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

квадратное уравнение рисунок 154


Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

комната x на 2x рисунок 2

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

комната x на 2x рисунок 1

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2× x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

квадратное уравнение рисунок 123

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x= 4, то квадратное уравнение рисунок 40. Отсюда = 2 и = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.


Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (+ 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

квадратное уравнение рисунок 145

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

квадратное уравнение рисунок 146

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

квадратное уравнение рисунок 147

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 2; −2.
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 3; −3.
Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 3; −13.
Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 12; 4.
Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:
Решение:
Ответ: 7; 5.
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0; 1.
Задание 8. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 0; −3.
Задание 9. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 7; −7.
Задание 10. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 11. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 5; −5.
Задание 12. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 7; 2
Задание 13. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 14. Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Задание 15. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 1; −5.
Задание 16. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: 5; −9.
Задание 17. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −3; −4.
Задание 18. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *