Квадратный корень

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

квадрат со стороной 3 см 2

S = 32 = 9 см2

квадрат со стороной 3 см S 2

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как символ корня. Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня символ корня.

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

корень из 9

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

корень из 9 второй степени

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа . С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

корень из 9 решение

Значит квадрат площадью 9 см2 имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение корень из 9 второй степени 130px имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

корень из 4 второй степени

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

2 v 2 i -2 v -2

Поэтому ответ к выражению вида корень кв из a записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению корень из 4 второй степени 130px с плюсом и минусом:

кв корень из 4 два значения


Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство ba. Число b (оно же корень) обозначается через радикал корень кв из a так, что корень кв из a это b. На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение корень кв из a это b 2

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

42 = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал корень кв из 16 так, что 4 это корень из 16.

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)2 = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство ba.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение корень кв из 16 полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи корень из 9 второй степени 130px можно использовать записькорень из 9 130px. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

квадрат из 1 есть 1

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

12 = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

одна кв единица

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство корень из нуля равен нулю, поскольку 0= 0.

Выражение вида корень кв из -a без 2 смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение корень кв из -4, поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то есть если записать корень кв из a в 2, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

корень кв из a в 2 равно а

Например, выражение корень кв из 4 в 2 равно 4

корень кв из 4 в 2 равно 4

Это потому что выражение корень кв из 4 равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

кв корень из 9 16 25 во 2 степени

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

кор из а в 2 равно а

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

кор из 5 в 2 равно мод из 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

кор из числа -5 в квадрате

Действительно, если не пользуясь правилом кор из а в 2 равно а 130px, вычислять выражение кор из числа -5 в квадрате 1 обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

кор из числа -5 в 2 2 способ

Не следует путать правило кор из а в 2 равно а 130px с правилом кор из а в 2 равно а 2 130px. Правило кор из а в 2 равно а 130px верно при любом a, тогда как правило кор из а в 2 равно а 2 130px верно в том случае, если выражение корень кв из a без 2 имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

знак корня без верхней линии

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8


Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6= 36

√36 = 6


Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 72

7= 49

Отсюда, √49 = 7.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 102 = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.


Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

таблица квадратов кв ч 256

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.


Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2

2 на корень из 16


Пример 7. Решить уравнение rad to x ravno 4

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку корень из 16 равно 4. Значит корень уравнения равен 16.

корень из 16 равно 4 проверка

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом символ корня.

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень корень кв из a без 2 равен числу b, при котором выполняется равенство ba.

корень кв из a это b без 2 и b v 2 ravno a

Применим равенство ba к нашему примеру rad to x ravno 4. Роль переменной b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем корень кв из x без 2, а именно переменная x

корень кв из 4 b 4 v 2 racno x

В выражении 4x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.


Пример 8. Решить уравнение x - 8 ravno 0 primer

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

x - 8 ravno 0 step 1

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

x - 8 ravno 0 step 2

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим = 64. Значит корень уравнения x - 8 ravno 0 primer равен 64

x - 8 ravno 0 step 3


Пример 9. Решить уравнение корень из 3 на 5x ravno 7 пример

Воспользуемся определением квадратного корня:

корень кв из a это b без 2 и b v 2 ravno a

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5x

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 1

В выражении 72 = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 3

Корень уравнения корень из 3 на 5x ravno 7 пример равен 46 на 5. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

корень из 3 на 5x ravno 7 шаг 5


Пример 10. Найти значение выражения 2 на кор из 49

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

2 на кор из 49 решение


Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень корень из 64 можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8= 64. То есть корень из 64 равно 8

А извлечь квадратный корень корень из 3 нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня корень из 3 приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня корень из 3 будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1√4

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

√1 < √3 < √4

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

1 < √3 < 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

1,12 = 1,21

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

1,82 = 3,24

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

1,72 = 2,89

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как

√3 ≈ 1,7

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

1,7 < √3 < 1,8

Проверим дробь 1,74

1,742 = 3,0276

Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

Проверим тогда дробь 1,73

1,732 = 2,9929

Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

√3 ≈ 1

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.


Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

√3 ≈ 1

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

√3 ≈ 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

√3 ≈ 2 (с избытком)

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

√5 ≈ 2,23


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

√51 ≈ 7


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

√51 ≈ 7,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

√51 ≈ 7,14


Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8= 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8

корень из 64 равно 8


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7= 49

√49 = 7


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1= 1

√1 = 1


Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10= 100

√100 = 10

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

√37 ≈ 6,08

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 6= 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

60= 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

6002 = 360000

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

корень из 900 равно 3

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

корень из 900 равно 30


Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

квк рис 2


Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

квк рис 3


Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

квк рис 4


Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) на 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, корень из 49 равно 7. Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

квк рис 101

И наоборот, если в равенстве корень из 49 равно 7 уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

квк рис 102

Пример 2. Увеличим в равенстве квк рис 103 подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

квк рис 104

Пример 3. Уменьшим в равенстве квк рис 103 подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

квк рис 105

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

квк рис 106

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве корень из 25 равно 5 подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

квк рис 107

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, квк рис 108.

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

square 1225

квк рис 109

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве квк рис 109 подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

квк рис 110

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

квк рис 109

Теперь в равенстве квк рис 109 уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз

квк рис 111


Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

таблица квадратов рисунок 2

Видим, что это число 24. Значит корень из 576 равно 24.


Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

20,82 = 432,64

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

20,7= 428,49

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

3600 < 4225 < 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

квк рис 112

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

квк рис 55

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

квк рис 56

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

квк рис 113


Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида rad ab, где a и b некоторые числа.

Например, выражение корень кв из 4 на 9 является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение корень кв из 4 на 9 в виде произведения корней корень кв из 4 на корень из 9. Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

кор 4 на 9 решение

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

кор 4 на 9 короткое решение

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

кор 144 равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

разложение числа 144 на множители

Получили следующее разложение:

разложение числа 144 на множители 2

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2× 22, а две тройки заменить на 32

разложение числа 144 на множители 3

В результате будем иметь следующее разложение:

разложение числа 144 на множители 4

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

кор из разложения 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

кор из разложения 144 шаг 2

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

кор из разложения 144 шаг 3

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

корень из 144

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

корень из 144 шаг 2

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

корень из 144 шаг 3

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

13456 разложение на простые множители

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 22. А два числа 29 предстáвим как 292. В результате полýчим следующее разложение числа 13456

разложение числа 13456 на множители

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

кор из числа 13456

Итак, если ≥ 0 и ≥ 0, то корень кв из ab это rad a and rad b. То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство корень кв из ab это rad a and rad b. Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b= a.

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства корень кв из ab это rad a and rad b при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

Итак, выпишем правую часть равенства корень кв из ab это rad a and rad b и возведём ее во вторую степень:

cor a na kor b v 2

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

cor a na kor b v 2 равно кор в 2 на кор б

Ранее было сказано, что если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня кор ab

cor a na kor b v 2 равно кор в 2 на кор б равно ab

Значит равенство корень кв из ab это rad a and rad b справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

корень кв из abc это rad a and rad b and rad c, при ≥ 0 и ≥ 0, ≥ 0.


Пример 1. Найти значение квадратного корня rad 16 na rad 25 na 64 пример

Запишем корень rad 16 na rad 25 na 64 пример в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

rad 16 na rad 25 na 64 решение


Пример 2. Найти значение квадратного корня корень из 10 на 250

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

кор из 10 на 250 шаг 1

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

кор из 10 на 250 шаг 2

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

кор из 10 на 250 шаг 3


Пример 3. Найти значение квадратного корня кор из 11 в 4 шаг 1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 114 предстáвим как (112)2.

кор из 11 в 4 шаг 2

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

кор из а в 2 равно а 130px

В нашем случае квадратный корень из числа (112)2 будет равен 112. Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

кор из 11 в 4 шаг 3

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

кор из 11 в 4

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 114 нужно записать в виде произведения 11× 112. Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:

кор из 11 в 4 вариант 2


Пример 4. Найти значение квадратного корня кор из 3 в 4 на 5 в 6

Перепишем степень 34 в виде (32)2, а степень 56 в виде (53)2

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 2

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 3

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 4

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

кор из 3 в 4 на 5 в 6 шаг 5


Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения квк рис 58

Запишем корень квк рис 58 в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

квк рис 59


Пример 6. Найти значение квадратного корня квк рис 60

квк рис 61


Пример 7. Найти значение квадратного корня квк рис 63

квк рис 62


Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

8 × 4 = 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

(8 × 2) × (4 : 2) = 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения квк рис 64. Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

квк рис 65

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

квк рис 66


Пример 9. Найти значение квадратного корня квк рис 68

Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:

квк рис 67


Если в равенстве корень кв из ab это rad a and rad b поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство корень кв из ab это rad a and rad b change. Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения кор из 10 на кор из 40 шаг 1.

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change, то есть заменим выражение из двух корней кор из 10 на кор из 40 шаг 1 на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

кор из 10 на кор из 40 шаг 2

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

кор из 10 на кор из 40 шаг 3

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

кор из 10 на кор из 40 шаг 4

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения квк рис 69.

Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change

квк рис 70

Сомножитель 32 это 25. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 24

квк рис 71

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 24 предстáвим в виде степени с показателем 2

квк рис 72

Теперь воспóльзуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b и вычислим окончательный ответ:

квк рис 73


Пример 12. Найти значение выражения квк рис 74

Воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b change

квк рис 75

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

квк рис 76

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2× 22, а две семёрки как 72

квк рис 77

Теперь воспользуемся правилом корень кв из ab это rad a and rad b и вычислим окончательный ответ:

квк рис 78


Квадратный корень из дроби

Квадратный корень видакор из а на б равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

кор из 4 на 9 равно кор из 4 на кор из 9

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

кор из 4 на 9 равно кор из 4 на кор из 9 шаг 2

Значит, квадратный корень из дроби равен две третьих.

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь a na b, то это будет означать, что равенство верно:

cor a na cor b v 2


Пример 1. Извлечь квадратный корень кор из 49 на кор из 81

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

кор из 49 на кор из 81 решение


Пример 2. Извлечь квадратный корень кор из 16 на 9 пример

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

кор из 16 на 9 решение


Пример 3. Извлечь квадратный корень квк рис 92

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

квк рис 70

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

корень из 0.09


Пример 4. Найти значение выражения кв 009 на кв 025 пример

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

кв 009 на кв 025

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

квк рис 71

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.


Пример 5. Найти значение выражения 4 - 10 кв 001 пример

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

4 - 10 кв 001 решение


Пример 6. Найти значение выражения -7 на кор 036 на 54 пример

Сначала найдём значение квадратного корня кор из 036. Он равен 0,6 поскольку 0,6= 0,36

-7 на кор 036 на 54 шаг 2

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

-7 на кор 036 на 54 шаг 3


Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения кор из 4 на 3. Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

кор из 4 на 3 шаг 2

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение кор из 3 оставим без изменений:

кор из 4 на 3 шаг 3

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.


Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении кор из 18

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

кор из 18 шаг 1

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

кор из 18 последний шаг


Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении кор из 363

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

кор из 363 шаг 2

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

кор из 363 последний шаг


Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении квк рис 79

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

квк рис 81

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

квк рис 82

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:

квк рис 80


Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении корень из 12

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

корень из 12 шаг 1

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

корень из 12 шаг 2

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

корень из 12 шаг 3


Пример 6. Упростить выражение квк рис 72

Предстáвим второе слагаемое квк рис 79 в виде квк рис 80. А третье слагаемое квк рис 81 предстáвим в виде квк рис 82

квк рис 73

Теперь в выражениях квк рис 83 и квк рис 82 вынесем множитель из-под знака корня:

квк рис 74

Во втором слагаемом квк рис 84 перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

квк рис 75

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

квк рис 76

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

квк рис 77

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

квк рис 78


Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

5 на кор из 9

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

5 на кор из 9 шаг 2

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

5 на кор из 9 шаг 3

Итак, если данó выражение а на кор из b, и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

а на кор из b formula

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении 7 на кор из 10

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

7 на кор из 10 решение


Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 10 на кор из y шаг 1

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

10 на кор из y решение


Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 5 на кор 3 ab

5 на кор 3 ab решение

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида корень кв из -a без 2 не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении -3 на кор из 2

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

-3 на кор из 2 решение


Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

квк рис 85

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

квк рис 86

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений корень из 3 в квадратеи корень из 2 в квадрате применим правило квк рис 87. Ранее мы говорили, что если выражение вида корень кв из a без 2 возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении квк рис 89 для множителей корень из 3 и корень из 2 применим правило корень кв из ab это rad a and rad b change. То есть заменим произведение корней на один общий корень:

квк рис 90

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом квк рис 88 вычислить произведение, которое под кóрнем:

квк рис 91


 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 2. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 3. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 6. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 7. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 8. Найдите значения следующих выражений:
Решение:
Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624
Решение:
Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025
Решение:
Задание 11. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 12. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 13. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 14. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 15. Найдите значение квадратного корня:
Решение:
Задание 16. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 17. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 18. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 19. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 20. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 21. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 22. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 23. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 24. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 25. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 26. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 27. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 28. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 29. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 30. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 31. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 32. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 33. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:
Решение:
Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 45. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 46. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 47. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 48. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 49. Внести множитель под знак корня:
Решение:
Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:
Решение:
Задание 51. Упростить выражение:
Решение:
Задание 52. Упростить выражение:
Решение:
Задание 53. Упростить выражение:
Решение:
Задание 54. Упростить выражение:
Решение:
Задание 55. Упростить выражение:
Решение:
Задание 56. Упростить выражение:
Решение:
Задание 57. Упростить выражение:
Решение:
Задание 58. Упростить выражение:
Решение:
Задание 59. Упростить выражение:
Решение:
Задание 60. Упростить выражение:
Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

2 thoughts on “Квадратный корень”

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *