Неравенства с модулем

Продолжаем изучать модуль числа. Сегодня мы научимся решать неравенства с модулем.

Чтобы решать неравенства с модулем, нужно прежде всего уметь решать простейшие линейные неравенства, а также знать что такое модуль и как его раскрывать.

Независимо от того, решаем мы уравнение или неравенство, нужно уметь раскрывать модуль.

Рассмотрим к примеру простейшее неравенство с модулем:

|x| > 2

Чтобы решить данное неравенство раскроем его модуль.

Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то исходное неравенство примет вид:

> 2

Решением этого неравенства является множество всех чисел, бóльших 2. Отметим их на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 1

А если подмодульное выражение меньше нуля, то исходное неравенство примет вид:

x > 2

Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда полýчим неравенство < −2. Решением этого неравенства является множество всех чисел, мéньших −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства > 2

неравенство с модулем рис 2

Забавно, но получившиеся промежутки < −2 и > 2 являются ответом к нашей задаче. Если в исходное неравенство |x| > 2 подставить какое-нибудь значение x, удовлетворяющее данному неравенству, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

То есть решением исходного неравенства является совокупность из < −2 и > 2

неравенство с модулем рис 12

Совокупностью неравенств мы будем называть несколько неравенств, объединённых квадратной скобкой, и которые имеют множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному из неравенств, входящих в данную совокупность.

Чтобы записать окончательный ответ, промежутки < −2 и > 2 следует объединить. В математике знаком объединения служит ∪. Тогда:

x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Знак объединения читается как «или». Тогда запись x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x принадлежит промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением исходного неравенства, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

Например, число 3, является решением исходного неравенства |x| > 2

|3| > 2      3 > 2

Значение 3 принадлежит промежутку (2 ; +∞). Также оно удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности неравенство с модулем рис 12, а именно неравенству x>2.

Значение −4 тоже является решением исходного неравенства |x| > 2. Это значение принадлежит промежутку (−∞ ; −2)

|−4| > 2        4 > 2

Также значение −4 удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности неравенство с модулем рис 12, а именно неравенству < −2.

Согласно определению, модуль числа x есть расстояние от начала координат до точки x. В неравенстве |x| > 2 это расстояние больше чем 2.

Действительно, от начала координат (точка 0) любое расстояние бóльшее двух, будет решением неравенства |x| > 2

неравенство с модулем рис 7

Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −2 и 2 не включены в соответствующие промежутки. Это потому, что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается неверное неравенство.

Теперь немного поменяем наш пример. В неравенстве|x| > 2 поменяем знак > на знак <

|x| < 2

Решим это неравенство.

Как и раньше для начала раскрываем модуль. Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то получим неравенство < 2. Решениями этого неравенства являются все числа, мéньшие двух. Отметим их:

А если подмодульное выражение меньше нуля, то получим неравенство < 2. Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда получим неравенство > −2. Решениями этого неравенства являются все числа, бóльшие −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства x < 2.

Для наглядности, решения неравенства > −2 отметим красным цветом:

неравенство с модулем рис 10

Если выражение |x| это расстояние от начала координат до точки x, то неравенство |x| < 2 говорит, что это расстояние меньше чем 2. На рисунке видно, что от начала координат расстояния, мéньшие двух, лежат в промежутках от −2 до 0 и от 0 до 2

неравенство с модулем рис 10

А эти расстояния одновременно будут принадлежать промежуткам < 2 и > −2

неравенство с модулем рис 13

Обратите внимание, что в этот раз промежутки обрамлены знáком системы, а не знáком совокупности как в прошлом примере. Это означает, что значения x одновременно удовлетворяют обоим неравенствам (промежуткам < 2 и > −2)

То есть решением неравенства |x| < 2 является пересечение промежутков < 2 и > −2. Напомним, что пересечением двух промежутков является промежуток, состоящий из чисел, которые принадлежат как первому промежутку так и второму:

x ∈  (−2 ; 0) ∩ (0 ; 2)

Знак пересечения ∩ читается как «и». Тогда запись ∈ (−∞ ; 2) ∩ (−2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x одновременно принадлежит промежутку (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение будет принадлежать одновременно промежутку (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Например, число 1 является решением исходного неравенства |x| < 2

|1| < 2      1 < 2

Значение 1 одновременно принадлежит промежутку  (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

неравенство с модулем рис 11

Также, значение 1 удовлетворяет обоим неравенствам системы неравенство с модулем рис 13

А если к примеру подставить значение, не являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение не будет одновременно принадлежать промежуткам (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞). Например, значение 7

|7| < 2      7 < 2

Несмотря на то, что значение 7 принадлежит одному из промежутков, а именно промежутку (−2 ; +∞), данное значение не является решением исходного неравенства, поскольку оно не удовлетворяет ему. Также, данное значение не принадлежит одновременно обоим промежуткам: (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Для неравенства |x| < 2 ответ можно записать покороче:

x ∈ (−2 ; 2)

Из рассмотренных примеров видно, что решением неравенства с модулем может быть либо объединение промежутков либо их пересечение.

В первом примере мы решили неравенство |x| > 2, то есть неравенство вида |x| > a. Это неравенство при котором модуль больше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является объединение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде совокупности:

неравенство с модулем рис 14

Совокупность свóдится потому, что итоговые решения будут удовлетворять хотя бы одному из неравенств, полученных после раскрытия модуля исходного неравенства.

Во втором примере мы решили неравенство |x| < 2, то есть неравенство вида |x| < a. От предыдущего неравенства оно отличается только знáком. Но это неравенство при котором модуль меньше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является пересечение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде системы:

неравенство с модулем рис 15

Система записывается потому, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам, полученным после раскрытия модуля исходного неравенства.

Эти же правила сохраняются и для неравенств, содержащих знаки ≥ и ≤

Например, решим неравенство |x| ≥ 1. Модуль больше или равен числу. Поэтому решением будет объединение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим совокупность неравенств  1 и  −1

неравенство с модулем рис 16

неравенство с модулем рис 17

Решением служит объединение промежутков  −1 и  1

x ∈ (−∞ ; −1] ∪ [1 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Решим теперь к примеру неравенство |x|  1. Модуль меньше или равен числу. Поэтому решением будет пересечение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим систему неравенства:  1 и  −1

неравенство с модулем рис 18

неравенство с модулем рис 19

Решением служит пересечение промежутков  1 и  −1

x ∈ (−∞ ; 1] ∩ [−1 ; +∞)

или покороче:

x ∈ [−1 ; 1]

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Аналогично решаются неравенства, в левой части которого модуль, а справа не просто число, а буквенное выражение.

Пример 4. Решить неравенство |7 6| < + 12

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак < или ≤, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде системы. Это будет означать, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам.

Итак, после раскрытия модуля получим следующую систему:

неравенство с модулем рис 20

В данном случае система содержит не совсем элементарные неравенства как в прошлых примерах. Данные неравенства следует упростить, используя известные тождественные преобразования.

Раскроем скобки во втором неравенстве. Тогда получим следующую систему:

неравенство с модулем рис 22

В обоих неравенствах выражения, содержащие неизвестные, перенесём в левую часть, а числовые выражения — в правую. Затем приведём подобные слагаемые. Тогда получим систему:

неравенство с модулем рис 23

В первом неравенстве разделим обе части на 6. Во втором неравенстве разделим обе части на −8. Тогда получим окончательную систему:

неравенство с модулем рис 24

Изобразим решения на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 25

Решением является пересечение промежутков (−∞ ; 3) и , то есть промежуток неравенство с модулем рис 30

неравенство с модулем рис 29

Ответ: неравенство с модулем рис 30


Пример 5. Решить неравенство |1 − 2x| ≥ 4 − 5x

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак > или ≥, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде совокупности:

После раскрытия модуля получим следующую совокупность:

неравенство с модулем рис 31

Выполним необходимые тождественные преобразования в обоих неравенствах. В результате получим:

неравенство с модулем рис 32

Изобразим решения на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 33

Решением является объединение промежутков неравенство с модулем рис 34 и [1 ; +∞), то есть промежуток неравенство с модулем рис 34

неравенство с модулем рис 35

Ответ: неравенство с модулем рис 34.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: x ∈ (−36 ; 36).
Задание 2. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞).
Задание 3. Решить неравенство:
Решение:
Ответ:
Задание 4. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: x ∈ [−5 ; 2]
Задание 5. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: x ∈ (−∞ ; 0)
Задание 6. Решить неравенство:
Решение:
Ответ:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

2 thoughts on “Неравенства с модулем”

  1. Красавчик объясняет чётко, видно что старается. Можно сайт доработать как на Reddit’е добавить переключатель что бы скрывать открывать комментарий. Что бы по слайдеру сайта справа понимать какую часть урока прошел спасибо удачи.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.