НОД и НОК

Продолжаем изучать деление, и сейчас мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим 12, а вместо переменной подставим 9. Теперь попробуем прочитать это определение.

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения ясно, что речь идёт о общем делителе чисел 12 и 9, при этом, этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) требуется найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется два способа. Первый способ достаточно трудоёмкий, но зато позволяет полностью понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл. Второй способ очень прост, и даёт возможность быстро найти НОД, но недостаток этого способа в том, что если часто пользоваться им, можно перестать понимать тему. Мы с вами рассмотрим оба способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала ищем все возможные делители числа 12. Для этого, делим 12 на те числа, на которые 12 делится без остатка.

Проверим все числа от 1 до 12. Если число позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его красным цветом и в скобках пояснять, что к чему. Итак, начнём:

12 : 1 = 12 (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6 (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4  (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3 (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке) (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2 (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке) (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке) (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке) (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке) (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1 (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

line

Теперь, найдём делители числа 9. Для этого, проверим все числа от 1 до 9

9 : 1 = 9   (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке) (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3 (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке) (9 не разделилось на 3 без остатка, значит 3 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке) (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке) (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке) (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1 (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные красным цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Делители числа 12 это { 1 2 3 4 6 12 }

Делители числа 9 это  { 1 3 9 }

Выписав делители, можно сразу определить, какой является самым  наибольшим и общим. Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3. Оно выделено синим цветом и подчёркнуто. И 12 и 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

 НОД (12 и 9) = 3


Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа в том, что числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на множители. Затем, из разложения множителей первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Например, найдём НОД для чисел 12 и 9 данным способом. В первую очередь, раскладываем на множители числа 12 и 9.

Разложим на множители число 12

Разложение на множители числа 12

Разложим на множители число 9

разложение на множители числа 9

Получили два разложения:

2 × 2 × 3

3 × 3

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две двойки. Их и вычеркнем из первого разложения:

2 × 2 × 3

Оставшаяся тройка является наибольшим общим делителем чисел 12 и 9:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

 НОД (12 и 9) = 3


Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Разложение на множители числа 100

Раскладываем на множители число 40

Разложение на множители числа 40

Получили два разложения:

2 × 2 × 5 × 5

2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

2 × 2 × 5 × 5

Перемножим оставшиеся числа:

2 × 2 × 5 = 20

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20= 5

40: 20= 2

 НОД (100 и 40) = 20.


Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Разложение на множители числа 72

Раскладываем на множители число 128

Разложение на множители числа 128

Получили два разложения:

2 × 2 × 2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

2 × 2 × 2 × 3 × 3

Перемножим оставшиеся числа:

2 × 2 × 2 = 8

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8


Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого, числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

разложение на множители числа 18

  Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

  

Получили три разложения:

2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 3

2 × 2 × 3 × 3

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 3 

2 × 2 × 3 × 3

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6


Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

Разложим на множители число 12

Разложение на множители числа 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

разложение на множители числа 42

Получили четыре разложения:

2 × 2 × 3

2 × 2 × 2 × 3

2 × 2 × 3 × 3

2 × 3 × 7

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

2 × 2 × 3

2 × 2 × 2 × 3 

2 × 2 × 3 × 3

2 × 3 × 7

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти четыре числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6


Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения ясно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

9 × 1 = 9

9 × 2 = 18

9 × 3 = 27

9 × 4 = 36

9 × 5 = 45

9 × 6 = 54

9 × 7 = 63

9 × 8 = 72

9 × 9 = 81

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:

12 × 1 = 12

12 × 2 = 24

12 × 3 = 36

12 × 4 = 48

12 × 5 = 60

12 × 6 = 72

12 × 7 = 84

12 × 8 = 96

12 × 9 = 108

12 × 10 = 120

12 × 11 = 132

12 × 12 = 144

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Кратные 9 это  числа { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 }

Кратные 12 это числа { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 }

Теперь находим общие кратные для обоих чисел. Найдя, сразу закрасим их синим цветом:

Кратные 9 { 9 18 27 36 45 54 63 72 }

Кратные 12 { 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 }

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются числа { 36, 72 }. Теперь среди найденных общих кратных находим наименьшее. Очевидно, это число 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

НОК (9 и 12) = 36

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3


Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа, для которых ищется НОК раскладываются на простые множители. Затем, выписываются множители входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

разложение на множители числа 9

Разложим на множители число 12

Разложение на множители числа 12

Выпишем первое разложение:

 3 × 3

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

3 × 3 × 2 × 2

Теперь перемножаем эти множители:

3 × 3 × 2 × 2 = 36

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

line

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы и разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входит и разложение числа 9 и разложение числа 12

Разложение чисел 9 и 12


Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

разложение на множители числа 50

Разложим на множители число 180

Разложение на множители числа 180

Выпишем первое разложение:

 2 × 5 × 5

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

 2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3

Теперь перемножаем эти множители:

2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3 = 900

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное для чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900


Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложение на множители числа 8

Разложим на множители число 15

разложение на множители числа 15

Разложим на множители число 33

Разложение на множители числа 33

Выпишем первое разложение:

 2 × 2 × 2

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11

Теперь перемножаем эти множители:

 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 = 1320

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное для чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320


Если не получается сразу находить НОД и НОК — не расстраивайтесь. Главное понимать, что это такое и как это работает. А ошибки вполне естественны на первых этапах. Как говорят: «На ошибках учимся».


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

НОД и НОК: 38 комментариев

  1. 12 : 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
    7 нужно выделить чёрным, а не красным

  2. А по какому критерию определять, какое число является первым, а какое вторым?

    1. без разницы. По желанию. Первое можно принять за второе. А второе за первое. В обоих случаях ответ будет одинаковым

      1. Второй способ нахождения НОД у меня не получается, если числа поменять местами. Например первое число 28 второе 42. Для 28 множители (2*2*7) для 42(2*3*7) какие числа вычеркивать?

        1. Всё правильно. Из разложения первого числа 28 вычеркни одну двойку, т.к. её нет во втором разложении (там только одна 2).

          Останется 2*7. Перемножаешь 2 и 7 — получаешь 14. И это будет НОД для {28 и 42}

          1. Спасибо. Я тоже не сразу понял как определить первое и как именно вычеркивать того чего нет..)
            P.S. Ошибка была в том что я думал, если есть хоть одна похожая цифра надо оставлять все такие же цифры первого числа. А оказывается надо вычеркнуть столько сколько там лишних, по мимо тех которых нет.

  3. Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 50

    В условии указана цифра 50, а расчет идет для 40.

  4. Спасибо большое вам за такой труд, буду ждать с нетерпением продолжение ,

  5. Скажите пожалуйста , а как будет НОД , 1512/2,1980/2,3276/2
    И вообще можно сразу 3 примера решать сразу ??? И объясните пожалуйста в краце как будет если вместе НОДа будет НОК ?? Спасибо заранее!!

    1. Мухаммад, не совсем понятен вопрос. Вы ищете НОД от дробей или что это у вас? Сразу найти НОД от нескольких чисел можно, для этого нужно разложить на простые множители эти числа и найти произведение общих простых множителей этих чисел.

  6. Админ, скажите, правильно ли я выяснил, что НОД и НОК для нечётных чисел получить нельзя?

    1. НОД и НОК можно находить для любых чисел. Нечётные числа тоже ведь можно разложить на простые множители.

      Но иногда могут попасться нечётные числа, которые являются простыми числами. В этом случае нод для них будет единицей(потому что простое число раскладывается только на единицу и само себя), а нок — произведением этих нечетных чисел

  7. Спасибо, что поправили. Я вечером додумался самостоятельно, что НОД нечётных чисел будет единица. А вот вчера же искал НОК для чисел 12, 16 и 128. Здесь находятся аж два НОК. Для чисел 12 и 16 это 48, а для 16 и 128 аж 256. Или некорректно искать наименьшие общие кратные для разно разрядовых многозначных чисел? Кстати 128 пришло на ум само собой, и я не ожидал, что что это произведение 16*8.

    1. Наименьшее общее кратное можно находить для любого количества чисел, независимо от того из скольких разрядов они состоят. В вашем случае, НОК для чисел 12, 16 и 128 будет число 384

      1. Спасибо! Немного не дорешал. Не вовремя бросил. И, извините, ещё один вопрос. Значит, если пользоваться первым способом нахождения НОК для нескольких чисел, допустим для чисел 12, 18 и 24, то можно совершать, допустим, умножения в диапозоне от 12*1, до 12*24. Тогда сразу будет видно общее кратное. Или здесь заблуждение?

        1. Кратные для чисел можно получать хоть бесконечно, умножая эти числа на множители от 1 до бесконечности. Но это долго и утомительно. Поэтому ищут только первые кратные для чисел, чтобы потом увидеть общие для них и наименьшие.

          Вот например, чтобы найти НОК для чисел 12, 18 и 24 первым способом, нужно найти первые кратные для этих чисел. Для этого умножаете каждое число на множители в диапазоне от 1 до числа, которого ищутся кратные.

          Например, для нахождения первых кратных для 12, нужно это число 12 умножить на множители в диапазоне от 1 до 12.
          Для нахождения кратных для 18, нужно умножить 18 на множители в диапазоне от 1 до 18.
          Для нахождения кратных для 24, нужно умножить 24 на множители в диапазоне от 1 до 24.

          Ну а потом среди полученных кратных будет видно общее кратное и наименьшее. В вашем случае, для чисел 12, 18 и 24 НОК будет 72

  8. Здравствуйте. Почему Вы сказали, что «Затем, выписываются множители входящие в первое разложение, и добавляют _____недостающие множители_____ из второго разложения», но в примере сказали, что «В первом разложении нет _____двух двоек_____. Их и допишем:». Две двойки это же выражение получается, а не, как Вы сказали выше, множители?

    1. Здравствуйте.
      Две двойки из второго разложения нужны для того, чтобы организовать новое разложение куда одновременно входят множители обоих чисел

      null

      «Две двойки это же выражение получается, а не, как Вы сказали выше, множители?»

      Верно. В итоге получается выражение, состоящее из нескольких множителей, которые нужно перемножить, чтобы получить НОК

  9. А мне еще интересно это тема полностью разобрана или нет? Для таких чисел которые без остатка не делятся на 2,3,5,9…..

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *