Округление чисел

Сегодня мы рассмотрим довольно скучную тему, без понимания которой двигаться дальше не представляется возможным. Эта тема называется «округление чисел» или по-другому «приближённые значения чисел».

Приближённые значения

Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.

Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».

В математике, приближенные значения указываются с помощью специального значка. Выглядит он так:

22pribl

Читается как «приблизительно равно».

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, прибегают к такой операции, как округление чисел.


Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такая операция, как округление чисел.

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулем. Например, следующие числа являются круглыми,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно превратить в круглое. Процедуру, в которой число превращают в круглое, называют округлением числа. Также, округлением числа называют процедуру, в которой ищется приближённое значение.

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак. По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому, в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч и т.д.

Рассмотрим простой пример на округление. Имеется число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, от нас требуют найти ближайшее круглое число для числа 17. При этом, в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и цифры, которая находится в разряде десятков в числе 17 (т.е единицы).

Представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

2217pribl

На рисунке видно, что для числа 17 ближайшее круглое число это 20. Значит, ответ к задаче таким и будет: 17 приблизительно равно 20

17 ≈ 20

Мы нашли приближённое значение для 17, т.е. округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.


Теперь попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

2212pribl

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит, ответ к задаче таким и будет: 12 приблизительно равно 10

12 ≈ 10

Мы нашли приближённое значение для 12, т.е. округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так случилось мы рассмотрим позже.


Теперь попробуем найти ближайшее число для числа 15. Снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

2215pribl

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих двух круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20


Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлить число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

2214561

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

2214562

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит, заменяем число 56 на число 60

22pribl1456

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков получим 1460

1456 ≈ 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самого разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь находится 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять можно также до разряда сотен, тысяч, десяток тысяч и так далее.

После того, как становится понятно, что округление это ни что иное, как поиск ближайшего числа, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.


Первое правило округления

Из предыдущих примеров стало ясно, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами.

Первое правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Например, округлим число 123 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого, надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится двойка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 2

22123pribl

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после двойки это цифра 3. Значит цифра 3 является первой отбрасываемой цифрой.

22123pribl2

Теперь применяем правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 2 заменяем нулями (точнее нулём):

123 ≈ 120

Значит при округлении числа 123 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 120.


Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 123 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 1, потому что мы округляем число до разряда сотен.

22123pribl3

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после единицы это цифра 2. Значит цифра 2 является первой отбрасываемой цифрой:

22123pribl4

Теперь применим правило. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 1 заменяем нулями:

123 ≈ 100

Значит при округлении числа 123 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 100.

Как видно из примеров, в зависимости от того до какого разряда округляют число, зависит то сколько цифр будут заменено нулями.


Пример 3. Округлить число 1234 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 3. А первая отбрасываемая цифра это 4. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру (3) без изменений, а всё что находится после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1230


Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру (2) без изменений, а всё что находится после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1200


Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру (1) без изменений, а всё что находится после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1000


Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого, надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

22675pribl1

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой.

22675pribl2

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

675 ≈ 680

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.


Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, потому что мы округляем число до разряда сотен:

22675pribl3

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

22675pribl4

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

675 ≈ 700

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.


Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру (7), а всё что находится после неё заменяем нулём:

9876 ≈ 9880


Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру (8), а всё что находится после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 9900


Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру (9), а всё что находится после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 10000


Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, потому что сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

222971pribl

2971 ≈ 3000


Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

  • разряд единиц
  • разряд десятков
  • разряд сотен
  • разряд тысяч
  • и т.д

Разряды дробной части:

  • разряд десятых
  • разряд сотых
  • разряд тысячных
  • и т.д.

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

22tabl

Для целой части применяются те же правила округления, что и для округления обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков, а не разряда десятых. Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков находится в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

22123456pribl1

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120


Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

22123456pribl2

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет таким:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123


Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых находится 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

22123456pribl3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500


Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр 6, которая находится в разряде тысячных:

22123456pribl4

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,460


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Округление чисел: 14 комментариев

  1. Почему если 123,456 округлять до десятых, получается 123,50? ( Так написано в уроке)

    1. В уроке опечатка. Пропущен один ноль в конце.
      Должно быть 123,456 ≈ 123,500 или ещё проще 123,5 т.к. в десятичной дроби нули которые находятся в конце можно не писать

  2. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя (я не понял, почему последняя) сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

    1. Имеется в виду, что она в конце среди тех цифр, которые сохранились (после того как определена отбрасываемая цифра). Сохраняемые на самом деле это все цифры, которые не отбрасываются.

      Если вы к примеру округляете 123 до разряда десятков, то отбрасываемая цифра это 3, а сохраняемые цифры это 1 и 2, но двойка является последней из сохраняемых. В процессе округления она будет либо увеличена на единицу либо оставлена без изменения. В данном случае она останется без изменения — получается 120 (отбрасываемая цифра заменилась нулём)

      Если вы к примеру округляете 128 до разряда десятков, то отбрасываемая цифра это 8, а сохраняемые цифры это 1 и 2, но двойка является последней из сохраняемых. В процессе округления она будет либо увеличена на единицу либо оставлена без изменения. В данном случае она увеличится на единицу — получается 130 (отбрасываемая цифра заменилась нулём)

  3. В ваших обьяснениях не смог найти объяснения для отрицательных чисел: округление и приблизительное вычисление.
    Каким правилами надо руководствоваться при преобразовании отрицательных чисел
    десятичных в целые, например:
    -33,879 = -33 или -34
    -49,34 = -49 или -50
    -12,74 = -12 или -13 ?

    1. Теми же. Отрицательное число −a может быть записано как −(+a)

      −33,879 = −(+33,879) ≈ −(+34) = −34
      −49,34 = −(+49,34) ≈ −(+49) = −49
      −12,74 = −(+12,74) ≈ −(+13) = −13

      1. Почему не добавляется комментарий?
        !!! WARNING !!!

        The WP-Sentinel security system, has detected a potential hacker attack against this blog.

        1. Скорее всего ввели посторонние символы. Пробуйте удалить их и повторить заново

          1. В учебнике приводится следующее объяснение примерного расчета (прикидки) преобразования десятичного числа в целое ( _в т.ч. отрицательного_).
            _Пример 2 Приблизительное значение_
            Прикинь вначале, а потом подсчитай точно: 15,93 + 3,002 — 33,879 + 0,4
            Решение 
            возможная прикидка:  15 + 3 — 33 + 0 ≈ -15 , т.е. прикидка оставлением целой части
            точный расчет: 15,93 + 3,002 — 33,879 + 0,4
                                   =  18,932     — 33,879 + 0,4
                                   =         -14,947     + 0,4
                                   =                 -14,547                
            _Задание на проверку_
            10. Произведи прикидку, а затем подсчитай точно
            a) 75,1 — 49,34 ≈ 75 — 50 ≈ 25, точный расчет: 25,76
            b) -4,47 + 21,55 ≈ -4 + 21 ≈ 17, точный расчет: 17,08
            c) -14,259  — 12,74 ≈ -14 — 13 ≈ 27, точный расчет: 26,999
            Таким образом видно отличие в прикидке:
            — при объяснении: -33,879  ≈ -33
            — и в задании на проверку
            a) 75,1 — 49,34 ≈ 75 — 50 ≈ 25
            c) -14,259 — 12,74 ≈ -14 — 13 ≈ 27

            Как все же правильно?

            1. В выражении опечатка: 75,1 — 49,34 ≈ 75 — 50 ≈ 25, точный расчет: 25,76.

              Если округлять вычитаемое 49,34 до целой части, то получается 49, тогда приблизительный расчет будет равен 26, а не 25

              75,1 — 49,34 ≈ 75 — 49 ≈ 26, точный расчет: 25,76

  4. Возможно я не точно объясняю, но в учебнике не соответствие я увидел в том, что для _приблизительных расчетов / прикидки_
    (из десятичного числа в целое — без округления)
    — в объяснении _Пример 2 Приблизительное значение_​ берется только целая часть из -33,879​ получается -33

    — а в _Задание на проверку_ , к целой части добавляется еще и 1 (единица), так как это происходило бы при использовании правил округления
    10. Произведи прикидку, а затем подсчитай точно
    а) 75,1 — 49,34 ≈ 75 — 50 ≈ 25, для -49,34 берется -50 вместо -49
    c) -14,259 — 12,74 ≈ -14 — 13 ≈ 27, для -12,74 берется -13 вместо -12
    ​Разве перед прикидкой надо все равно прежде провести округление — тогда напрашивается, что д/б указание до какого знака вначале надо округлитъ.
    Но в учебнике на это внимание не акцентируется.

    1. Если следовать логике учебника, то да — перед прикидкой ничего округлять не нужно. Но если далее написано нечто, что кажется противоречащим, приходиться искать обходные пути, задавая себе вопрос «а как могло такое получится».

      Например, в задании 75,1—49,34 если округлять числа до целых, то вместо 49,34 однозначно не должно быть 50, т.к. 49,34 до целых не округляется до 50, и возможно в качестве прикидки 50 взято из-за опечатки.

      В задании -14,259—12,74 ≈ -14 — 13 ≈ 27 число 13 могло получится только путем округления 12,74 до целых.

      Можно сделать вывод, что перед прикидкой числа нужно округлять до целых.

      В задании 15,93+3,002—33,879+0,4 приведена «возможная» прикидка. Скорее всего это обычный подвох, чтобы сбить с толку. Если перед прикидкой округлить каждое число до целых, всё равно получается -15.

      без округления 15+3-33+0=-15
      с округлением 16+3-34+0=-15

      Значение не меняется из-за того, что слагаемые меняются пропорционально..

      Это похоже на:
      2+1-2=1
      3+1-3=1

      В общем, на одном учебнике свет клином не сошелся. Они написаны живыми людьми, которым тоже свойственно ошибаться. Поэтому никому не верьте на слово, всё перепроверяйте и всё получится. Вот кстати, в примере -4,47 + 21,55 ≈ -4 + 21 ≈ 17, точный расчет: 17,08 никакого округления не происходит, но тем не менее всё верно вычислено.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *