Периодические дроби

Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

0,66666666666666…

0,33333333333333…

0,68181818181818…

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

Получаем периодическую дробь

Давайте попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в пункте деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Итак, делим 1 на 3

23111

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется снова и снова. В результате, в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 длится бесконечно, поэтому разумнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими. Периодическими потому что у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять и из одной, как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333… это цифра 3. Обычно, такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают целую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

В нашем примере цифра, которая повторяется это цифра 3 — она является периодом в дроби 0,33333.. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

0, (3)

Читается как «ноль целых и три в периоде»


Пример 2. Разделить 5 на 11

23112

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

0, (45)

Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»


Пример 3. Разделить 15 на 13

23113

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

1, (153846)

Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».


Пример 4. Разделить 471 на 900

23114

В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2.  Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

0, 52 (3)

Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».


Виды периодических дробей

Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смешанные.

Если в периодической дроби период начинается сразу же после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

0, (3)

0, (6)

0, (5)

Видно, что в этих дробях период начинается сразу же после запятой.

Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смешанной. Например, следующие периодические дроби являются смешанными:

0,52 (3)

0,16 (5)

0,31 (6)

Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр. Можно понять даже по смыслу почему такие периодические дроби называют смешанными. «Смешанные» потому что дробь состоит из периода цифр и обычных цифр, то есть  «вперемешку».


Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нужного разряда.

Например округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

23115

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

0, (3) ≈ 0,33


Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

23116

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317


Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для нашего же развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби. Итак, записываем в числителе период дроби 0,(3) то есть тройку:

23211

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, это количество должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

23212

Полученную дробь 23213 можно сократить на 3, тогда получим следующее:

23214

Получили обыкновенную дробь 23215 .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается 23215


 Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

23311

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. При этом, это количество должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

23312

Полученную дробь  23313  можно сократить на 9, тогда получим следующее:

23314

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается  23315


Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

23411

Итак, записываем в числителе разность:

23412

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

23413

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

23414

Получили выражение, которое легко вычисляется:

23415

Получили ответ  23416

Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается 23416


Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

23511

Итак, записываем в числителе разность:

23512

А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

23513

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

   23514

Получили выражение, которое легко вычисляется:

23515

Получили ответ  23516

Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается 23516


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Периодические дроби: 11 комментариев

  1. Большое спасибо за урок! Откровенно говоря…эту тему не помню вообще…Будто ее и не было в школе О__о Ну или я ее проболела… (Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь)

  2. Вы бы хоть номер кошелька написали. А то столько трудились и никакой отдачи. С такими уроками никакой экзамен не страшен.

    1. Спасибо большое Тэла, за столь добрый отзыв 😉
      Если люди получают пользу от этих уроков — это уже отдача)

  3. Огромное Вам спасибо за уроки! Всё объясняете доступно и наглядно! На ваших уроках готовлюсь поступать на ФИТ на программиста. Хорошо бы еще алгебру выложили.)

  4. Вы не могли бы объяснить логику алгоритма перевода периодической дроби в обычную?

    Зачем в знаменателе ставятся девятки — заместно, например, округления числа, подставляемого в числитель, до последней цифры периода, и постановки степени 10 в знаменатель? Зачем, при переводе смешанной периодической дроби, производится соотв. вычитание и чем объясняется подстановка нулей и единиц в зависимости от принадлежности цифры к периоду??…

  5. Спасибо большое за урок 🙂 Скажите пожалуйсто при округлении(когда избавляемся от хвоста) откуда знать до каких разряд надо округлять?

    1. Вот и здесь последняя задача говорит округлить до разряда сотых,а почему не до десятых(например)?

      1. зависит от задачи, которую решаете. Если в задаче сказано округлять до десятых, значит округляете до десятых. Если сказано округлять до сотых — округляете до сотых

        1. Спасибо за ответ . Я даже не знаю как вас зовут,но уверен вы очень хороший человек,раз вы уделяете время для других. Кстати я советую друзья посешать этот сайт,как тут нигде не обясняют.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *