Применение дробей

Этот урок будет интересным и познавательным. Мы научимся применять дроби для различных жизненных случаев.

Нахождение дроби от числа

Мы уже говорили, что дробь это часть от чего-либо. Эта часть может быть чем угодно. Например, одна вторая от пиццы это половина пиццы:

18picca12

Это был пример с пиццей. Но применение дробей не заканчивается на одной пицце. Например, давайте узнаем сколько составляет одна вторая от десяти сантиметров:

18odnavtarayaotdecimetra

Как вы уже догадались одна вторая от десяти сантиметров составляет пять сантиметров. Ведь что такое одна вторая ?  Это простейшая дробь, которая означает половину от чего-то. У нас было 10 сантиметров. Мы разделили эти десять сантиметров пополам и получили пять сантиметров.

Попробуем узнать, сколько составляет одна вторая от одного часа. Вспоминаем, что такое час. Час это 60 минут. Нам нужно найти одна вторая (половину) от 60 минут. Нетрудно догадаться, что половина от 60 минут это 30 минут. Значит одна вторая от одного часа составляет 30 минут или полчаса.

Попробуем найти одна вторая от одного центнера. Центнер это 100 килограмм. Требуется найти одна вторая (половину) от 100 килограмм. Нетрудно догадаться, что половина от 100 килограмм это 50 килограмм. Значит одна вторая от одного центнера составляет 50 килограмм.

Поскольку мы занимаемся математикой, значит в большинстве случаев будем иметь дело с числами. Найдём одна вторая от числа 12.

Итак, нам нужно найти половину от числа 12. Нетрудно догадаться, что половиной от числа 12 является число 6. Значит одна вторая числа 12 составляет число 6.

Чтобы легче было находить дробь от числа, можно пользоваться следующим образом:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Попробуем проследить весь процесс работы этого правила. Для примера возьмём десять сантиметров:

1810santimatrov

Пусть требуется найти одна вторая от этих десяти сантиметров. Читаем первую часть правила:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби одна вторая

Итак, делим десять сантиметров на знаменатель дроби одна вторая. Знаменатель этой дроби равен числу 2. Поэтому делим десять сантиметров на 2

10 см : 2 = 5 см

Читаем вторую часть правила:

и полученный результат умножить на числитель дроби одна вторая

Итак, умножаем пять сантиметров на числитель дроби одна вторая. Числитель дроби это единица. Поэтому умножаем пять сантиметров на единицу:

5 см × 1 = 5 см

Мы нашли одна вторая от десяти сантиметров. одна вторая от десяти сантиметров составляют пять сантиметров:

18odnavtarayaotdecimetra

Почему же после деления числа на знаменатель дроби приходиться умножать полученный результат на числитель дроби? Дело в том, что знаменатель дроби показывает на сколько частей чего-либо разделено, а числитель показывает сколько частей было взято.

В нашем примере десять сантиметров были разделены на две части (пополам), и из этих частей была взята одна часть. Умножая одну часть на числитель дроби, мы тем самым указываем сколько частей мы берём от чего-то. То есть, умножив пять сантиметров на числитель дроби 15182, мы тем самым указали, что берем одну часть из двух.


Пример 2. Найти две пятых от 10 сантиметров.

Применим правило нахождения дроби от числа:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Сначала делим 10 сантиметров на знаменатель дроби две пятых

10 см : 5 = 2 см

Получили два сантиметра. Этот результат нужно умножить на числитель дроби две пятых

2 см × 2 = 4 см

Мы нашли две пятых от десяти сантиметров. две пятых от десяти сантиметров составляют четыре сантиметра.

Весь процесс решения можно увидеть на следующем рисунке:

1823

Сначала 10 сантиметров были разделены на пять равных частей. Затем было взято две части:

1824


Пример 3.  Найти три восьмых от числа 56.

Чтобы найти три восьмых от числа 56, нужно это число разделить на знаменатель дроби 1841, и полученный результат умножить на числитель дроби 1841 .

Итак, сначала делим число 56 на знаменатель дроби три восьмых

56 : 8 = 7

Теперь умножаем полученное результат на числитель дроби 1841

7 × 3 = 21

Получили ответ 21. Значит три восьмых от числа 56 составляет 21.


Пример 4. Найти две четвёртых от одного часа.

Один час это 60 минут. Задание можно понимать, как нахождение две четвёртых от 60 минут.

Сначала разделим 60 минут на знаменатель дроби две четвёртых

60 мин : 4 = 15 мин

Теперь умножим полученные 15 минут на числитель дроби две четвёртых

15 мин × 2 = 30 мин

Получили в ответе 30 минут. Значит две четвёртых от одного часа составляют тридцать минут или полчаса.


Пример 5. Найти четыре пятых от одного метра.

Один метр это сто сантиметров. Сначала разделим 100 см на знаменатель дроби четыре пятых

100 см : 5 = 20 см

Теперь умножим полученные 20 см на числитель дроби четыре пятых

20 см × 4 = 80 см

Получили ответ 80 см. Значит четыре пятых от одного метра составляют 80 см.


Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.

А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если две пятых длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби две пятых. Давайте решим эту задачу.

Требуется найти длину всей линейки по дроби две пятых. Известно, что две пятых длины всей линейки составляют 6 см.

Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби две пятых это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби две пятых это число 2.

Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

нахождение числа по дроби рисунок 1

Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

6 см : 2 = 3 см

Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или одна пятая длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5

3 см × 5 = 15

Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.

нахождение числа по дроби рисунок 2

Видно, что пять частей из пяти или пять пятых составляют пятнадцать сантиметров.

Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.


Пример 2. Число 20 это четыре пятых от всего числа. Найдите это число.

Знаменатель дроби четыре пятых показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если четыре пятых этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти одна пятая (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби четыре пятых

20 : 4 = 5

Мы нашли одна пятая от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби четыре пятых

5 × 5 = 25

Мы нашли пять пятых от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.


Пример 3. Десять минут это две третьих времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби две третьих показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если две третьих времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти одна третья времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби две третьих

10 мин : 2 = 5 мин

Мы нашли одна третья времени приготовления каши. одна третья времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби 1857

5 мин × 3 = 15 мин

Мы нашли три третьих времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.


Пример 4.   1861  массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби 1861 показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если 1861 массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти 1862 массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби 1861.

30кг : 2 = 15кг

Мы нашли 1862 массы мешка. 1862 массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби 1861

15кг × 4 = 60кг

Мы нашли 1863 массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.


Деление меньшего числа на большее

В жизни часто возникают ситуации, когда требуется разделить меньшее число на большее. Например, представим ситуацию. Имеется трое друзей:

1871

И требуется поровну разделить между ними два яблока. Как это сделать? Друзей трое, а яблок всего два. Мы попали в ситуацию в которой требуется разделить меньшее число на большее (два яблока на троих).

Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

При делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

Давайте применим это правило. Оно говорит, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе делитель. Делимое у нас это два яблока. Записываем в числителе число 2:

1883

А делитель у нас это трое друзей (вспоминаем, что делитель показывает на сколько частей надо разделить делимое). Записываем тройку в знаменателе нашей дроби:

1884

Забавно, но дробь 1882 это ответ к нашей задаче. Каждому другу достанется 1882 яблока. Почему так произошло?

Чтобы разделить два яблока на троих, надо разрезать ножом каждое яблоко на три части и раскидать поровну эти куски между тремя друзьями:

1881

Как видно на рисунке, каждое яблоко было разделено на три части и раскидано поровну на троих друзей. Каждому другу досталось 1882 яблока (два кусочка из трёх).


Какую часть одно число составляет от другого

Иногда возникает необходимость узнать какую часть первое число составляет от второго. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Чтобы узнать какую часть первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе. 

Например, яблоко разделили на пять одинаковых долек. Какую часть яблока составляют две дольки?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо первое число разделить на второе. Первое число это 2, второе — 5. Получается дробь 1851.

Значит две дольки из пяти долек составляют две пятых. Это можно увидеть на следующем рисунке:

1891

Итак, две дольки яблока из пяти составляют две пятых.

Возникает вопрос, а как узнать какое число первое, а какое второе? Для этого нужно посмотреть на вопрос, который поставлен в задаче. То число, которое указано в вопросе задачи, оно и будет первым числом. Например, в предыдущей задаче вопрос был поставлен так:

«Какую часть яблока составляют две такие дольки?»

Если внимательно присмотреться к вопросу, то можно обнаружить, что в нём указано число 2. Оно и стало первым числом.

Иногда в вопросе мелькает сразу два числа. Например: какую часть составляет число 2 от числа 10?

В этом случае первым числом будет то, которое в вопросе расположено раньше. В данном случае первое число это 2, а второе 10. Делим 2 на 10, получаем дробь 18101. Значит число 2 от числа 10 составляет 18101 (две десятых).

Дробь 18101 означает, что число 10 разделено на десять частей, и от этих десяти частей взято две части.

Также, эту дробь можно сократить на 2. После сокращения дроби 18101 на 2 получаем дробь 1855.

Дробь 1855 тоже может послужить ответом к задаче. Она будет означать, что число 10 разделено на пять частей, и от этих пяти частей взята одна часть.

Таким образом, число 2 составляет 1855 (одну пятую) от числа 10.


Пример 3. Какую часть составляет число 5 от числа 15?

Делим первое число на второе. Первое число 5, а второе 15. Делим 5 на 15, получаем дробь 18111 . Эту дробь можно сократить на 5

18112

Получили аккуратную дробь 1858 . Значит ответ будет выглядеть следующим образом:

Число 5 составляет 1858 (одну третью) от числа 15.

Это можно даже проверить. Для этого нужно найти 1858 от числа 15. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 5.

Итак, найдём 1858 от числа 15. Как находить дробь от числа мы уже знаем

15 : 3 = 5

5 × 1 = 5

Получили ответ 5. Значит задача была решена правильно.


Пример 4. Какую часть 3 см составляют от 12 см?

Делим первое число на второе. Первое число это 3, а второе 12. Получаем дробь 18121. Эту дробь можно сократить на 3

18122

Получили ответ 18123.  Значит 3 см составляют 18123 (одну четвёртую) от 12 см.

18124

Проверим правильно ли мы решили эту задачу. Для этого найдём 18123 от 12 см. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 3 см.

Делим 12 на знаменатель дроби 18123

12 см : 4 = 3 см

Умножаем полученные 3 см на числитель дроби 18123

3 см × 1 = 3 см

Получили ответ 3 см. Значит задача была решена правильно.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

23 thoughts on “Применение дробей”

  1. Здравствуйте)
    Подскажите на сколько будет некорректным такой вариант нахождения целого числа по дроби:
    две пятых от линейки составляет шесть сантиметров
    ваш вариант: 6/2 = 3; 3*5 = 15
    мой вариант: 6*5 = 30; 30/2 = 15
    Имеет ли это какое то важное значение?
    Я решила пример до того как увидела правильное решение и вот теперь мне стало интересно, обязательно ли в таком случае соблюдать правило)

    1. Здравствуйте)
      Способов решения может быть много. Ваш тоже правильный. А здесь приведено общепринятое правило, которое изучают в школе.

  2. ух, только повысили мой интерес…математика чудная и спасибо вам за ваш труд, вообще наверное только от вас зависит мое поступление в магистратуру, так что не останавливайтесь, на ваших плечах на самом деле благороднейшее дело =)

  3. Как записать в виде выражения? — «сколько составляет одна вторая от десяти сантиметров»- используя законы математики изложенные выше. в голове не укладывается.Спасибо.

  4. В предыдущем уроке «Единицы измерения» тонна почему то стала мужским родом. «В одном тонне тысяча»…(с) и т.д.

  5. прекрасный сайт друзья, всё у вас на отлично. но у меня будет такая просба я незрячий человек и мне очень трудно разбираться с дробями. почему то в примерах на дроби не обычный текст а графический рисунок, можете вы сделать это как текст? то есть вот например вместо граф. рисунка 2/4 или как-то

    1. Друг, зажми кнопку на клавиатуре Ctrl и колёсиком мышки покрути, это будет приближать в или отдалять, в зависимости от того в какую сторону крутишь.

  6. Спасибо вам большое! Корни когда будет? А вы есть физика с нуля у вас? Таким же подробным записями?

  7. Спасибо вам большое! Корни когда будет? А есть физика с нуля у вас? Таким же подробным объяснением?

  8. Как все подробно и детально рассказывается. Очень хорошая подача сложного материала. Спасибо за Ваши труды

  9. действия с дробями на больше уроков надо разделить, мне кажется, уже после половины урока интерес пропадает счету.

  10. Как вы думаете, есть ли разница между медленным, постепенным изучением материала, и быстрым прохождением, когда за день изучаешь по несколько уроков? Я слышал что иногда учиться лучше, когда все проходишь быстро, как по вашему?

  11. Спасибо огромное автору сайта!!! С вашими уроками я начала верить в свои силы. Математика всю школьную жизнь была для меня каким то бременем. Мне просто плакать хотелось перед каждым уроком. Ваши уроки просто изменили мою жизнь, и я перестала бояться и начала понимать. Спасибо Вам большое!!!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *