Применение дробей

Этот урок будет интересным и познавательным. Мы научимся применять дроби для различных жизненных случаев.

Нахождение дроби от числа

Мы уже говорили, что дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть любым. Например,  15182 от пиццы это половина пиццы:

18picca12


Это был пример с пиццей. Но применение дробей не заканчивается на одной пицце. Например, давайте узнаем сколько составляет 15182 от десяти сантиметров:

18odnavtarayaotdecimetra

Как вы уже догадались 15182 от десяти сантиметров составляет пять сантиметров. Ведь что такое 15182 ?  Это простейшая дробь, которая означает половину от чего-либо. В нашем примере, у нас было 10 сантиметров. Мы разделили эти десять сантиметров пополам, и получили пять сантиметров.


Попробуем узнать, сколько составляет 15182 от одного часа. Вспоминаем, что такое час. Час — это 60 минут. Нам требуется найти 15182 (половину) от 60 минут. Нетрудно догадаться, что половина от 60 минут это 30 минут. Значит 15182 от одного часа составляет 30 минут или полчаса.


Попробуем найти 15182 от одного центнера. Центнер это 100 килограмм. Требуется найти 15182 (половину) от 100 килограмм. Нетрудно догадаться, что половина от 100 килограмм это 50 килограмм. Значит 15182 от одного центнера составляет 50 килограмм.


Поскольку мы занимаемся математикой, значит в большинстве случаев будем иметь дело с числами. Поэтому, нужно уметь находить дроби и от чисел. К счастью, в этом нет ничего сложного.

Например, найдём 15182 от числа 12. Дробь 15182 означает половину от чего-либо. В данном случае, нам требуется найти половину от 12. Нетрудно догадаться, что половина от 12 это 6. Значит 15182 от 12 составляет 6.

Чтобы легче было находить дробь от числа, ученые-математики вывели специальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель искомой дроби, и полученное число умножить на числитель искомой дроби.

Попробуем проследить весь процесс работы этого правила, чтобы лучше понять его. В качестве примера, возьмём десять сантиметров:

1810santimatrov

Пусть требуется найти 15182 от этих десяти сантиметров. Читаем первую часть правила. Но поскольку мы ищем часть от сантиметров, в правило вместо слова «число» будем подставлять слово «сантиметры», а вместо слова «дробь» будем подставлять нашу дробь 15182

Чтобы найти 18312 от десяти сантиметров, нужно эти десять сантиметров разделить на знаменатель 18312  …

Итак, делим десять сантиметров на знаменатель 15182. Знаменатель этой дроби 2. Значит делим десять сантиметров на два:

10см : 2 = 5см

Читаем правило дальше:

и полученные пять сантиметров умножить на числитель 18312.

Итак, умножаем пять сантиметров на числитель 15182. Числитель этой дроби 1. Значит умножаем пять сантиметров на один:

5см × 1 = 5см

Мы нашли 15182 от десяти сантиметров. 15182 от десяти сантиметров составляет пять сантиметров:

18odnavtarayaotdecimetra

Почему же после деления числа на знаменатель искомой дроби приходиться умножать полученное число на числитель искомой дроби? Дело в том, что знаменатель дроби показывает на сколько частей «чего-либо» разделено, а числитель показывает сколько этого «чего-либо» было взято.

В нашем примере, 10 сантиметров было разделено на две части (пополам), и из этих двух частей была взята одна часть. Умножая одну часть на числитель дроби, мы тем самым указываем сколько частей мы берём от чего-либо. То есть, умножив пять сантиметров на числитель дроби 15182, мы тем самым указали, что берем одну часть из двух.


Пример 2. Найти  1821  от 10 сантиметров.

Применим правило нахождения дроби от числа:

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель искомой дроби, и полученное число умножить на числитель искомой дроби.

Подставим в правило вместо слова «дробь» нашу искомую дробь 1821, а вместо слова «число» подставим слово «десять сантиметров»:

Чтобы найти 1822 от десяти сантиметров, нужно эти десять сантиметров разделить на знаменатель 1822

Итак, делим 10 сантиметров на знаменатель дроби 1821

10см : 5 = 2см

Получили два сантиметра. Теперь читаем оставшуюся часть правила. Вместо слова «число» подставим слово «два сантиметра», а вместо слова дробь подставим искомую дробь 1821

…и полученные два сантиметра умножить на числитель 1822

Итак, умножаем 2 сантиметра на числитель дроби 1821

2см × 2 = 4см

Мы нашли 1821 от десяти сантиметров. 1821 от десяти сантиметров составляет четыре сантиметра.

Весь процесс задачи можно увидеть на следующем рисунке:

1823

Видно, что 10 сантиметров были поровну разделены на пять частей, как и требовал от нас знаменатель дроби 1821.

Затем, было взято две части, как от нас требовал числитель дроби 1821

1824


Пример 3.  Найти 1841 от числа 56

Чтобы найти 1841 от числа 56 нужно 56 разделить на знаменатель дроби 1841, и полученное число умножить на числитель дроби 1841 .

Итак, сначала делим 56 на знаменатель дроби 1841

56 : 8 = 7

Теперь умножаем полученное число 7 на числитель дроби 1841

7 × 3 = 21

Получили ответ 21. Значит 1841 от числа 56 составляет 21.

Здесь действует тот же основной принцип дробей. Число 56 разделили на восемь частей, как требовал знаменатель дроби 1841. Затем от этих восьми частей взяли три части, как требовал числитель дроби 1841.


Пример 4. Найти 1611 от одного часа

Один час это 60 минут. Значит более точнее задание должно звучать так: найти 1611 от 60 минут. Теперь можно легко решить эту задачу.

Сначала делим 60 минут на знаменатель дроби 1611

60мин : 4 = 15мин

Теперь умножаем полученные 15 минут на числитель дроби 1611

15 мин × 2 = 30 мин

Получили ответ 30 минут. Значит 1611 от одного часа составляет 30 минут или как говорят в народе «полчаса».

Здесь действует тот же основной принцип дробей. 60 минут разделили на четыре части, как требовал знаменатель дроби 1611. Затем от этих четырех частей взяли две части, как требовал числитель дроби 1611.


Пример 5. Найти 15304 от одного метра

Один метр это сто сантиметров. Значит сначала делим 100 на знаменатель дроби 15304

100см : 5 = 20см

Теперь умножаем полученные 20см на числитель дроби 15304

20см × 4 = 80см

Получили ответ 80см. Значит 15304 от одного метра составляет 80 см.

Здесь действует тот же основной принцип дробей. 100 сантиметров разделили на пять частей, как требовал знаменатель дроби 15304. Затем от этих пяти частей взяли четыре части, как требовал числитель дроби 15304.


Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Что это значит? Это обратная задача к той, которую мы рассматривали выше. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель искомой дроби, и полученное число умножая на числитель искомой дроби. Так мы находили дробь от числа. А сейчас надо наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если  1851  от линейки составляет 6 см и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны сразу понять, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби 1851. Давайте решим эту задачу.

Требуется найти изначальное целое число по дроби  1851. Ещё известно, что 1851 составляет 6 см от всей линейки.

Мы уже знаем, каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, потому что знаменатель дроби 1851 это 5. Затем было взято две части от этих пяти частей, потому что числитель дроби 1851 это 2.

Знаменатель дроби  1851 показывает, что длина всей линейки разделена на пять равных частей. Для того, чтобы узнать длину всей линейки, в первую очередь надо узнать длину одной части. Как её узнать? Попробуйте догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

 

1852

Если две части от линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

6см : 2 = 3см

Итак, мы нашли длину одной части (1853) от всей линейки. 1853 от всей линейки составляет 3см. А всего частей пять, потому что знаменатель дроби 1853 это 5. Для того, чтобы узнать длину всей линейки, нужно просто взять все эти пять частей. Другими словами, умножить 3см на 5

3 см × 5 = 15

Мы нашли длину всей линейки. Длина всей линейки или 1825 (пять частей из пяти) составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке:

1854


Для того, чтобы легче было находить число по его дроби, ученые-математики вывели специальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы найти всё число по его дроби надо известное число разделить на числитель дроби, и полученное частное умножить на знаменатель этой дроби.


Пример 2.  15304 от всего числа составляет 20. Найти всё число.

Знаменатель дроби 15304 показывает, что число которое мы должны найти разделено на пять частей. Если  15304 от всего числа составляет 20, то для того чтобы найти всё число, нужно сначала найти 1855 (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого, 20 надо разделить на числитель дроби 15304.

Итак, делим 20 на числитель дроби 15304

20 : 4 = 5

Мы нашли 1855(одну часть из пяти) от всего числа. Эта часть равна 5. Теперь, чтобы найти всё число, нужно полученное число 5 умножить на знаменатель дроби 15304

5 × 5 = 25

Мы нашли 1825 от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число есть 25.


Пример 3.  1857 времени приготовления каши составляет 10 минут. Найти общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби 1857 показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если 1857 времени приготовления каши составляет 10 минут, то для того чтобы узнать общее время приготовления, нужно сначала найти 1858 времени приготовления каши. Для этого, 10 надо разделить на числитель дроби 1857

10мин : 2 = 5мин

Мы нашли 1858 времени приготовления каши. Это время есть 5 минут. Теперь, чтобы узнать общее время приготовления, надо 5 минут умножить на знаменатель дроби 1857

5мин × 3 = 15мин

Мы нашли 1859 приготовления каши. То есть, общее время приготовления каши. Общее время приготовления каши составляет 15 минут.


Пример 4.   1861  массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби 1861 показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если 1861 массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти 1862 массы мешка. Для этого, 30 надо разделить на числитель дроби 1861.

30кг : 2 = 15кг

Мы нашли 1862 массы мешка. 1862 массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби 1861

15кг × 4 = 60кг

Мы нашли 1863 массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.


Деление меньшего числа на большее

В жизни часто возникают ситуации, когда требуется разделить меньшее число на большее. Например, представим ситуацию. Имеется трое друзей:

1871

И требуется поровну разделить между ними два яблока. Как это сделать? Друзей трое, а яблок всего два. Мы попали в ситуацию в которой требуется разделить меньшее число на большее (два яблока на троих).

Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

При делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которого делимое, а в знаменателе  – делитель.

Давайте применим это правило. Оно говорит, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которого делимое, а в знаменателе делитель. Делимое у нас это два яблока. Записываем в числителе число 2:

1883

А делитель у нас это трое друзей (вспоминаем, что делитель показывает на сколько частей надо разделить делимое). Записываем тройку в знаменателе нашей дроби:

1884

Забавно, но 1882 это ответ к нашей задаче. Каждому другу достанется 1882 яблока. Почему так произошло?

Потому что, чтобы разделить два яблока на троих, надо разрезать ножом каждое яблоко на три части и раскидать поровну эти куски между тремя друзьями:

1881

Как видно на рисунке, каждое яблоко было разделено на три части и раскидано поровну на троих друзей. Каждому другу досталось 1882 яблока (два кусочка из трёх).


Какую часть одно число составляет от другого

Иногда возникает необходимость узнать какую часть одно число составляет от другого. Для таких случаев, предусмотрено следующее правило:

Для того, чтобы узнать какую часть одно число составляет от другого, надо первое число разделить на второе. В результате, получается дробь.

Например: яблоко разделили на пять одинаковых долек. Какую часть яблока составляют две такие дольки?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо первое число разделить на второе. Первое число это 2, второе это 5. Получается дробь 1851.

Значит две дольки из пяти долек составляют две пятых. Это можно увидеть на следующем рисунке:

1891

Итак, две дольки яблока из пяти составляют две пятых.


Возникает вопрос, а как узнать какое число первое, а какое второе? Очень просто. Нужно посмотреть на вопрос, который поставлен в задаче. То число, которое указано в вопросе задачи, оно и будет первым числом. Например, в предыдущей задаче вопрос был поставлен так:

«Какую часть яблока составляют две такие дольки?»

Если внимательно присмотреться к вопросу, то можно обнаружить, что в нём указано число 2. Оно и стало первым числом.

Иногда в вопросе мелькает сразу два числа. Например: какую часть составляет число 2 от числа 10?

В этом случае, первым числом будет то, которое в вопросе расположено раньше. В данном случае, первое число это 2, а второе это 10. Делим 2 на 10, получаем дробь 18101. Значит, число 2 от числа 10 составляет 18101 (две десятых).

Дробь 18101 означает, что число 10 разделено на десять частей, и от этих десяти частей взято две части.

Также, эту дробь можно сократить на 2. После сокращения дроби 18101 на 2 получаем дробь 1855.

Дробь 1855 тоже может служить ответом к задаче. Она будет означать, что число 10 разделено на пять частей, и от этих пяти частей взята одна часть.

Таким образом, число 2 составляет 1855 (одну пятую) от числа 10.


Пример 3. Какую часть составляет число 5 от числа 15?

Делим первое число на второе. Первое число 5, а второе 15. Значит делим 5 на 15, получаем дробь 18111 . Эту дробь можно сократить. Сократим её на 5 (потому что НОД для {5 и 15} это 5):

18112

Получили аккуратную дробь 1858 . Значит ответ будет выглядеть следующим образом:

Число 5 составляет 1858 (одну третью)  от числа 15.

Это можно даже проверить. Для этого, нужно найти 1858 от числа 15. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 5.

Итак, найдём 1858 от числа 15. Как находить дробь от числа мы уже знаем. Для этого нужно число разделить на знаменатель искомой дроби, и полученное число умножить на числитель дроби:

15 : 3 = 5

5 × 1 = 5

Получили ответ 5. Значит задача была решена правильно.


Пример 4. Какую часть 3 см составляют от 12 см?

Делим первое число на второе. Первое число это 3, второе 12. Получаем дробь 18121. Эту дробь можно сократить на 3:

18122

Получили ответ  18123.  Значит 3 см составляют 18123 (одну четвёртую) от 12 см.

18124

Проверим правильно ли мы решили эту задачу. Для этого, найдём 18123 от 12 см. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 3см.

Делим 12 на знаменатель дроби 18123

12см : 4 = 3см

Умножаем полученные 3 см на числитель дроби 18123

3см × 1 = 3см

Получили ответ 3см. Значит задача была решена правильно.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Применение дробей: 7 комментариев

  1. Здравствуйте)
    Подскажите на сколько будет некорректным такой вариант нахождения целого числа по дроби:
    две пятых от линейки составляет шесть сантиметров
    ваш вариант: 6/2 = 3; 3*5 = 15
    мой вариант: 6*5 = 30; 30/2 = 15
    Имеет ли это какое то важное значение?
    Я решила пример до того как увидела правильное решение и вот теперь мне стало интересно, обязательно ли в таком случае соблюдать правило)

    1. Здравствуйте)
      Способов решения может быть много. Ваш тоже правильный. А здесь приведено общепринятое правило, которое изучают в школе.

  2. ух, только повысили мой интерес…математика чудная и спасибо вам за ваш труд, вообще наверное только от вас зависит мое поступление в магистратуру, так что не останавливайтесь, на ваших плечах на самом деле благороднейшее дело =)

  3. Как записать в виде выражения? — «сколько составляет одна вторая от десяти сантиметров»- используя законы математики изложенные выше. в голове не укладывается.Спасибо.

  4. В предыдущем уроке «Единицы измерения» тонна почему то стала мужским родом. «В одном тонне тысяча»…(с) и т.д.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *