Пропорция

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение десять пятых равно отношению две первых

десять пятых равно две первых

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

класс из 15 школьников

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

10 : 5

Преобразуем данное отношение в дробь

десять пятых

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть, десять девочек так будут относится к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

отношение девочек к мальчикам десять к пяти

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

класс из 3 школьников

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

2 : 1

Преобразуем данное отношение в дробь:

две первых

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть, две девочки так будут относится к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки.

Можно сделать вывод, что отношение десять пятых пропорционально отношению две первых. Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что 12 на 3 равно 12 на 2, поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение 12 на 3 не пропорционально отношению 12 на 2.

12 на 3 не равно 12 на 2

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция десять пятых равно две первых состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была 12 на 3 не равно 12 на 2. Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями 12 на 3 и 12 на 2 знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию Пропорция четыре к восьми как два к четырем. Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения  Четыре вторых  и  Восемь четвертых  равны между собой:

Пропорция четыре к восьми как два к четырем

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

2613

2 = 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции  2613  крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Крайние и средние члены пропорции четыре к восьми как два к четырем

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

4 : 2 = 8 : 4

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

2615

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

2651

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.


Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

Например, проверим правильно ли составлена пропорция 2613 . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

2621

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

16 = 16

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция 2613 составлена правильно.


Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция 2631

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2632

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1

12 ≠ 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция 2631 составлена неправильно.

Поэтому в пропорции 2631 разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)

2633


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

20 thoughts on “Пропорция”

  1. Спасибо за Ваши уроки!Как хорошо, что есть еще такие люди, которые бескорыстно помогают другим!

  2. Спасибо за этот сайт . ОбЪяснения понятны… Прошёл 3 темы и всё понятно. Спасибо … Готовлюсь к экзамену.

    1. Экзамену?:D. Лол,это же уроки для дошкольников-школьников начальных классов.

      1. Не смешно))) пропорции проходят в 6 классе. Почитайте учебник по математике — все настолько запутано и напичкано ненужными сведениями, которые запутывают еще больше, что только здесь можно разобраться самому и помочь разобраться детям

    1. Если думать о пропорциях или о других математических вещах отдельно от реальной жизни — то практически никак. Ищите в жизни математические законы и информацию, которую можно подогнать под пропорцию или что ещё. Подобно тому, как вы из задачи на уроке извлекаете суть, отсекая всё лишнее (яблоки, бочки, километры, людей и т.п), оставляя лишь суть — цифры. Вы же понимаете, что вам нужны только цифры для подсчёта, а не конкретные сущности в виде вещей. Математические законы говорят как работать с этими цифрами, а сами цифры должны выбирать вы сами. Зашли в магазин, увидели стоимость товара, помножили на количество — вот и пригодилась базовая арифметика. Нужно найти применение пропорции? Выдёргивай для неё цифры из мира вокруг и применяй. А откуда брать цифры для неё — решать тебе в каждом конкретном случае.
      И ещё: никогда не дели на ноль! XD

  3. Большое спасибо вам за ваши старания и помощь людям в изучении математики. У вас всё замечательно выходит, очень понятно и без косяков, которые могли бы сбить с толку.

  4. Что такое «неправильная пропорция»? Уж коли есть пропорция, то она правильная априори. «Неправильная» просто пропорцией не является. А в остальном наглядно и доступно.

  5. Запас двухметровых дров пильщики распилили на полуметровые дрова за 4 часа 30 мин. За какое время тот же запас дров они распилили бы на сорокасантиметровые дрова? Ребята помогите решить эту пропорцию.

  6. большое спасибо за такой доходчивый урок.я,уже не молодой человек,но так хочется помочь своему внуку,обязательно буду пользоваься вашим сайтом .еще раз большое спасибо

  7. большое спасибо всё очень доходчиво спасибо за сайт хороший сайт если бы не этот сайт то я бы не знал спасибо большое очень молодцы этот сайт меня выручил ещё раз спасибо.Всем пока!

  8. Увы давно тут новых уроков нет. Тут я многому научился.Спасибо вам большое.
    Кстати если кто-то дальше хочеть учиться и знает английский то советую сайт https://www.khanacademy.org/math/algebra/ , вдруг кому-то понадобиться 🙂
    Ждём новых уроков.

  9. Здравствуйте. Я думаю, что имеет смысл добавить нахождение неизвестного члена пропорции.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *