Пропорция

Продолжаем изучать соотношения и сегодня мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение десять пятых равно отношению две первых

десять пятых равно две первых

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

класс из 15 школьников

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

10 : 5

Преобразуем данное отношение в дробь

десять пятых

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть, десять девочек так будут относится к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

отношение девочек к мальчикам десять к пяти

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

класс из 3 школьников

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

2 : 1

Преобразуем данное отношение в дробь:

две первых

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть, две девочки так будут относится к одному мальчику, что на этого мальчика будут приходиться эти две девочки.

Можно сделать вывод, что отношение десять пятых пропорционально отношению две первых. Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере, десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что 12 на 3 равно 12 на 2, поскольку первое отношение как видно из рисунка показывает, что на одного мальчика приходится четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходится шесть девочек.

Поэтому отношение 12 на 3 не пропорционально отношению 12 на 2.

12 на 3 не равно 12 на 2


Из рассмотренных примеров видно, что пропорция строится из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция десять пятых равно две первых состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что двойка равна двойке.

Вторая рассмотренная нами пропорция была 12 на 3 не равно 12 на 2. Мы пришли к выводу, что она неверна, поэтому поставили между дробями 12 на 3 и 12 на 2 знак ≠ (неравно). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию Пропорция четыре к восьми как два к четырем. Данная пропорция является верной, поскольку отношения  Четыре вторых  и  Восемь четвертых  равны между собой:

Пропорция четыре к восьми как два к четырем

Можно проверить это, выполнив деление в этих двух дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А двойка равна двойке:

2613

2 = 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обоих дробей) называются членами пропорции. При этом, эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции  2613  крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Крайние и средние члены пропорции четыре к восьми как два к четырем

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, сразу станет всё понятно:

4 : 2 = 8 : 4

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

2615

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

2651

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения вам уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.


Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции гласит, что в правильной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное как обычное умножение. Чтобы проверить любую пропорцию на то правильная она или нет, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такую пропорцию можно назвать правильной.

Например, проверим верна ли пропорция 2613 . Для этого, перемножаем её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

2621

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно шестнадцати.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно шестнадцати.

4 × 4 = 2 × 8

16 = 16

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция 2613 верна.


Пример 2. Проверить верна ли пропорция 2631

Проверим, соблюдается ли основное свойство пропорции. То есть, проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению средних членов. Перемножим члены пропорции:

2632

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1

12 ≠ 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению средних членов пропорции. Значит пропорция 2631 не верна.

Поэтому в пропорции  2631  разумнее заменить значок равенства (=) на значок не равно (≠)

2633



Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Пропорция: 5 комментариев

  1. Спасибо за Ваши уроки!Как хорошо, что есть еще такие люди, которые бескорыстно помогают другим!

  2. Спасибо за этот сайт . ОбЪяснения понятны… Прошёл 3 темы и всё понятно. Спасибо … Готовлюсь к экзамену.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *