Прямая и обратная пропорциональность

В прошлых уроках мы частично изучили пропорцию. В этом уроке мы познакомимся с новыми понятиями, такими как прямая пропорциональность и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Человек за 1 минуту съедает 2 ореха:

1 минута — 2 ореха

За 2 минуты этот же человек съест вдвое больше орехов, т.е. 4 ореха.

2 минуты — 4 ореха

Легко заметить, что при увеличении времени в два раза, количество съеденных орехов тоже увеличилось в два раза.

2711

 

Теперь уменьшим время с двух минут до одной минуты. Тогда получится, что за одну минуту человек съедает 2 ореха.

1 мин — 2 ореха

Легко заметить, что при уменьшении времени в два раза, количество съеденных орехов тоже уменьшилось в два раза.

2712

Прямая пропорциональность заключается в том, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз. И наоборот. При уменьшении одной величины  в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

В первом случае, мы увеличили время с одной минуты до двух минут. В результате, количество съеденных орехов увеличилось прямо пропорционально, то есть вдвое.

Во втором случае мы наоборот уменьшили время с двух минут до одной минуты. В результате, количество съеденных орехов уменьшилось прямо пропорционально, то есть вдвое.

Примеры, которые мы рассмотрели выше, а именно:

2721

а также

2722

являются пропорциями. Если убрать слова минута и орехи, то видно, что это равенство двух отношений, в котором произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Любая составленная пропорция должна быть проверена на то, правильная она или нет. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то такая пропорция является правильной.

Проверим пропорции, которые мы составляли при изучении прямой пропорциональности:

2723

1 × 4 = 2 × 2

4 = 4

line

2724

2 × 2 = 1 × 4

4 = 4

line

Ярким примеров прямой пропорциональности является расстояние. Например, если человек двигается со скоростью 2 километров в час (км/ч), то за один час он пройдет два километра:

s = v × t = 2км/ч × 1ч = 2 км

Но если увеличить скорость, к примеру в два раза — сделать её равной 4 километра в час, то за тот же один час человек пройдёт вдвое больше расстояния:

s = v × t = 4км/ч × 1ч = 4 км

Видно, что при увеличении скорости в два раза, пройденное расстояние увеличивается вдвое.


Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Велосипедист от своего дома до спортплощадки со скоростью 20 км/ч доезжает за 6 минут

20 км/ч — 6 минут

Если скорость движения увеличить вдвое, т.е. сделать ее равной 40 км/ч, то на этот же путь велосипедист затратит вдвое меньше времени, т.е. 3 минуты:

40 км/ч = 3 минуты

Легко заметить, что при увеличении скорости в два раза, время движения уменьшилось во столько же раз, то есть в два раза:

2731

Теперь уменьшим скорость с 40 км/ч до 20 км/ч. Скорость уменьшилась в два раза. В результате, время движения увеличилось во столько же раз:

20 км/ч — 6 минут

Легко заметить, что при уменьшении скорости в два раза, время движения увеличилось во столько же раз, то есть в два раза:

2732

Обратная пропорциональность заключается в том, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. И наоборот — при уменьшении одной величины  в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.

Словосочетание «обратная пропорциональность» говорит само за себя. Дело в том, что при увеличении одной величины, другая уменьшается, т.е. действует обратно данной величине. При скорости 20 км/ч велосипедист доезжает за 6 минут, а при увеличении скорости до 40 км/ч доезжает за 3 минуты. То есть, величины скорость и время обратно пропорциональны. При увеличении одной — другая уменьшается. И наоборот. При уменьшении одной — другая увеличивается.

А если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины. Что это значит?

Дело в том, что примеры, которые мы рассмотрели выше, а именно:

2742

а также

2743

на самом деле пропорциями не являются. Потому что произведение крайних членов не равно произведению средних членов.

2751

и

2752

У нас величины обратно пропорциональны в обоих отношениях. А свойство обратной пропорциональности говорит, что если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

А что такое обратное отношение? Это ни что иное как обратная дробь. Наша задача перевернуть второе отношение, чтобы соблюдалось основное требование пропорции.

Вернёмся к нашим примерам и перевернём второе отношение.

2753

Теперь пропорции верны.


Если данный урок непонятен — не расстраивайтесь. Прямая и обратная пропорциональность это одна из специфических тем, которую человек понимает не сразу, а со временем.

В будущем, решая задачи вы непременно поймёте эту тему. А пока, если испытываете трудности — достаточно ознакомиться с ней.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

Прямая и обратная пропорциональность: 1 комментарий

  1. что ценно теория методически верно преподается. очень добрый сайт.

Обсуждение закрыто.