Разряды для начинающих

Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь мизер этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.

Сегодня мы продолжим эту тему, но опять же не будем рассматривать ее до конца, дабы не засорять мозг лишней информацией, которая на первых порах не особо то и нужна. Мы поговорим о разрядах.

Что такое разряд?

Что такое разряд? Если говорить простым языком, разряд это позиция цифры в числе (или место, где располагается цифра). Возьмём, к примеру, число 635. Это число состоит из трёх цифр: шестёрки, тройки и пятёрки.

Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается пятёрка, на второй позиции – тройка, на третьей позиции – шестёрка.

Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом единиц

Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятков

Позиция, где находится шестёрка, называется разрядом сотен

число 635
Разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен в числе 635

Почему разряды называются именно так? Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни» и т.д. Наверное,  не все понимали суть этих вещей. А дело было вот в чём.

Разряды помимо того, что играют роль позиции числа, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен. Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц находится пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что в разряде единиц на самом деле находится пять единичек. Выглядит это так:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

В разряде десятых находится тройка. О чем это говорит? А говорит это о том, что в разряде десятых на самом деле находится три десятки. Выглядит это так:

10 + 10 + 10 = 30

В разряде сотых находится шестёрка. О чем это говорит? А говорит это о том, что в разряде сотых находится шесть сотен. Выглядит это так:

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 600

Если сложить число наших единиц, число десятков и число сотен, мы получим наше изначальное число 635

5 + 30 + 600 = 635

Вот вам первое применение разрядов. С помощью разрядов мы представили число 635 в виде суммы. Конечно, не всегда это применяется, но фишка работает.

Разряды достаточно серьёзная тема. Даже если она на первый взгляд выглядит простой, необходимо уделить ей особое внимание. На первых порах следует научиться читать числа по разрядам. К примеру, перед нами число 52. Мы должны научиться говорить не только «пятьдесят два», но и «две единицы, пять десятков».

Также необходимо быстро научиться отвечать на то, какая цифра находится в определенном разряде. Например, если нас спросят, что находится в разряде сотен в числе 756, мы должны быстро как в армии ответить: «в числе 756 в разряде сотен находится семь».

Где применить разряды?

Что можно сделать с помощью разрядов? Они существенно облегчают некоторые вычисления. К примеру представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить выглядит следующим образом:

 632 + 264 =

Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро написать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Но начинать надо обязательно с разряда единиц. В первую очередь, после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):

632 + 264 = . . .

Теперь начинаем складывать. В разряде единиц у числа 632 находится двойка, а у числа 264 находится четверка. Складываем двойку с четверкой, получаем шестёрку. Пишем эту шестёрку в разряде единиц у нового числа (нашего ответа):

632 + 264 = . . 6

Дальше складываем десятки. В разряде десятков у числа 632 находится тройка, а 264 находится шестёрка. Складываем 3 и 6, получаем 9. Пишем 9 в разряде десятков у нового числа (нашего ответа):

632 + 264 = . 96

Ну и последнее, складываем отдельно сотни. В разряде сотен у числа 632 находится шестёрка, а у 264 двойка. Складываем 6 и 2, получаем 8. Пишем эту восьмёрку в разряде сотен у нового числа (нашего ответа):

632 + 264 = 896

Конечно, вы сделаете это всё быстро и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а вы на самом деле вычисляли маленькие числа.

Согласитесь, маленькие числа вычислять легче, чем большие.


Сложение в столбик

Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик тоже происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки складываются с десятками, сотни складываются с сотнями и так далее. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сложить 61 и 23.

Записываем сначала первое число, а под ним записываем второе число, таким образом, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем значком + по вертикали:

61+23Затем начинается складывание. Единицы первого числа складываются с единицами второго числа, и десятки первого числа складываются с десятками второго числа:

61+23=84

Получили 61 + 23 = 84.


Пример 2. Сложить 108 и 60

Записываем эти числа в столбик: единицы под единицами, десятки под десятками:

108+60Затем начинается складывание: единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. В нашем примере, разряд сотен есть только у одного числа 108. В этом случае, оставшийся разряд добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится».

108+60=168Видно, что мы «снесли» 1 к нашему ответу.

Кстати, когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Вспомните второй закон: от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Наш пример вполне можно было бы записать так:

60+108=108Первая запись, где 108 наверху более привычнее и красивее, чем вторая. Человек вправе выбирать любую запись из них, только надо обязательно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д. То есть, следующие записи являются неправильными:

60+108=708

Складывая числа в столбик если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуются перенести на следующий разряд. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.

Как и раньше записываем единицы под единицами, а десятки под десятками:

26 плюс 98

Складываем единицы с единицами: 6 + 8 = 14. Получили 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа.  В таких случаях, мы сначала «вытаскиваем» из 14 то что, находится в разряде единиц и записываем это в разряде единиц нашего ответа.  В разряде единиц у 14 находится четвёрка. Записываем эту четверку в разряде единиц нашего ответа:

26+98=4А куда девать 1? Здесь начинается самое интересное. Единицу мы переносим на следующий разряд. Эта единица будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.

Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, но записывать это в ответе пока рано. Надо добавить единицу, которая осталась от 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в нашем ответе. Поскольку это конец примера, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем целиком, образуя окончательный ответ. 26+98=124Этот простенький пример демонстрирует школьную ситуацию, в которой говорят «четыре пишем, один в уме». В уме хранить ничего не надо. Это создает путаницу, и затруднения для новичков. Если вы будете решать примеры, и у вас после сложения разрядов останется цифра, которую «надо держать в уме», запишите её над тем разрядом, куда она будет потом добавлена. Давайте запишем наш пример 26+98 следующим образом:

26+98=124i1Рассмотрим еще один пример на сложение в столбик. Сложим числа 784 и 548. Записываем сначала в столбик единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями:784+548Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 4 + 8 = 12. Двенадцать не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому мы из 12 «вынимаем» двойку из разряда единиц и записываем её в разряд единиц нашего ответа. А 1 который был в разряде десятков у 12 мы переносим на следующий разряд:784+548=xx2Теперь складываем десятки. Складываем 8 и 4 и ещё 1, который достался нам от предыдущей операции (1 достался нам от 12, на картинке он выделен синим цветом). Складываем 8 + 4 + 1 = 13. Тринадцать не вместится в разряд десятков нашего ответа, поэтому мы 3 запишем в разряд десятков, а 1 перенесём на следующий разряд:

784+548=x32Теперь складываем сотни. Складываем 7 и 5 и ещё 1, который достался нам от предыдущей операции (1 достался нам от 13, на картинке он выделен серым цветом). Складываем 7 + 5 + 1 = 13. Записываем 13 в разряд сотен:

784+548=1332Записывать сверху остатки от предыдущих операций вовсе необязательно, если вы решаете быстро. Это делается лишь для удобства и для более точного результата. Использовать эту технику или не использовать — решать сам. Но всё же на первых порах советуем записывать, чтобы не ошибиться.


Вычитание в столбик

Теперь рассмотрим такую операцию как вычитание в столбик. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности.

Например в числовом выражении 5−2=3 пятёрка это уменьшаемое (то, что уменьшают); двойка — вычитаемое (то, что вычитают), тройка — разность (то, что получили).

С помощью переменных разность можно записать так:

a − b = c

где a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.

Вычитание в столбик тоже происходит по разрядам — из единиц одного числа, вычитаются единицы другого числа, и из десятков одного числа вычитаются десятки другого числа.

Например, вычтем из числа 69 число 53. Записываем единицы под единицами, десятки под десятками и соединяем всё это добро значком минус (−). Далее вычисляем по разрядам:

69-53=16Получили ответ 16.

К сожалению, вычитать в столбик не так просто, как кажется на первый взгляд и этому есть несколько причин:

Причина первая. Для вычитания не работает переместительный закон. Говоря по-простому, следующее выражение является неверным:

a − b = b − a

Почему же оно не верно? А проверьте сами. Пусть переменная a = 5, а переменная b = 3. Подставляем эти значения в наше выражение и получаем:

переместительный закон не работает для вычитания

Итог виден. Переместительный закон не сработал для вычитания. Понятно, что 2 не равно −2. Мало того, что закон не сработал, он ещё выкинул нас в поле отрицательных чисел, где нам ходить пока рано. −2 это отрицательное число. Но не будем забегать вперед — всему своё время. Обратите внимание, что выражение 2≠−2 соединяется значком ≠ (не равно). Если вас смущает этот значок, вернитесь ко второму уроку, который называется основные операции.

И вторая причина, по которой вычитание в столбик является непростой операцией, заключается в том, что если один из разрядов уменьшаемого окажется меньше разряда вычитаемого, то приходиться «занимать» единицу у соседнего разряда. Давайте посмотрим как это выглядит.

Пример 1. Найти значение выражения 95 − 26

Записываем в столбик данное выражение:

9561Теперь начинаем вычитать. Из единиц уменьшаемого вычитаем единицы вычитаемого. В разряде единиц уменьшаемого находится 5. А в разряде единиц вычитаемого находится 6. От пятёрки шестёрку не отнять. Поэтому занимаем одну единицу у соседнего разряда. Занятая единица мысленно дописывается слева от пятёрки. В результате этого, пятёрка превращается в число 15. Теперь спокойно можно от 15 отнять 6. Получается 9. Записываем девятку в разряде единиц нашего ответа.

А поскольку в соседнем разряде стояло число 9 и мы заняли у него одну единицу, то это число уменьшилось на единицу, то есть превратилось в 8. Весь это процесс можно увидеть на рисунке:95612

Теперь вычитаем десятки. Из десятков уменьшаемого вычитаем десятки вычитаемого. В разряде десятков уменьшаемого раньше стояло число 9, но поскольку мы заняли у него единицу оно превратилось в 8. А в разряде десятков второго числа находится число 2. Восемь минус два будет шесть. Записываем шестёрку в разряде десятков нашего ответа:

95613Итого получили  95 − 26 = 69


Пример 2. Найдем значение выражения 2412 − 2317

Записываем в столбик данное выражение:

24122317Начинаем вычитать. Из единиц уменьшаемого вычитаем единицы вычитаемого. В разряде единиц уменьшаемого находится 2, а в разряде единиц вычитаемого находится 7. От двойки семёрку не отнять, поэтому занимаем единицу у следующего разряда. Эту занятую единицу мы мысленно приписываем слева к двойке:

241223171

Как видно на рисунке, занятая единица, мысленно дописывается слева от двойки. Далее от 12 вычли 7, получили 5.

Теперь от десятков уменьшаемого вычитаем десятки вычитаемого. В разряде десятков уменьшаемого раньше стояла единица, но поскольку мы заняли у этого разряда одну единицу, теперь там стоит 0. А в разряде десятков вычитаемого стоит 1. От нуля единицу не отнять. Поэтому разряд десятков занимает одну единицу у следующего разряда:

241223172Как видно на рисунке, занятая у разряда сотен единица мысленно дописывается слева от нуля. Далее от 10 вычли 1, получили 9.

Теперь от сотен уменьшаемого вычитаем сотни вычитаемого. В разряде сотен уменьшаемого раньше стояла 4, но поскольку мы заняли у этого разряда одну единицу, теперь там стоит 3. В разряде сотен вычитаемого тоже стоит 3. Три минус три будет ноль. Ноль в таких случаях не пишут.

Следующий разряд это разряд тысяч. В разряде тысяч уменьшаемого стоит 2. В разряде тысяч вычитаемого так же стоит 2. Два минус два будет ноль. Ноль опять же пишем.

Таким образом, выражение 2412 − 2317 равно 95

2412231795


Пример 3. Найти значение выражения 80 − 9

Записываем в столбик данное выражение:

80-9Начинаем вычислять по разрядам. В разряде единиц у числа 80 находится 0, а в разряде единиц у 9 сама девятка. От 0 не отнять 9. В таких случаях, надо занимать одну единицу у соседнего разряда. По соседству с 0 находится 8, поэтому ноль занимает одну единицу у восьмёрки, лишая его статуса восьмёрки (после того, как у восьмерки заняли одну единицу она превращается в семерку). А ноль превращается в десятку, потому что занял одну единицу у 8. (занятая единица мысленно дописывается слева от нуля). Теперь можно вычислить это выражение:

80-9=71


На самом деле любое число состоит из единичек. Более старшие разряды такие десятки, сотни, тысячи предназначены для удобства группировки чисел. Если бы мы головой окунулись в любое число и постарались бы увидеть его в живую, то перед нами оказались бы сплошные единицы, сложенные друг с другом. Например число 5 мы увидели бы примерно так:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

А число 500 вот так:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + ….. + = 500

Не стали записывать все пятьсот единичек, записав вместо них многоточие. Но суть вы поняли. Поэтому, когда речь идет о вычитании, можно представить, что вы работаете со сплошными единицами. Например выражение 10 − 7 означает, что имеется десять единиц

 1   1   1   1   1   1   1   1   1   1

и мы отнимаем оттуда семь единиц. Отнятые семь единицы закрасим красным

 1   1   1   1   1   1   1   1   1   1

Теперь удалим отнятые (красные) единицы. Останется три единицы.

1  1  1

Находясь в древности, и не зная про современные цифры, выражение 10−7=3 люди записали бы следующим образом:

| | | | | | | | | |  − | | | | | | | = | | |

Также можно рассуждать словами: десять единиц минус семь единиц получается три единицы.

Помните в начале урока, мы сказали что число 635 состоит из пяти единиц, трёх десятков и шести сотен. Это действительно так, но оказывается, что представление любого числа в виде сплошных единичек позволяет группировать этот набор единичек. Например, число 20 можно назвать двумя разными словосочетаниями: два десятка или двадцать единиц. Выглядит это так:

2dили так:

2edНа первой картинке единички сгруппированы в два ряда по десять штук и получилось то, что мы называем «два десятка». А на второй картинке, единички никак не сгруппированы, и мы назвали их просто «двадцать единиц»

Число 635 так же можно группировать. Например, мы можем назвать его несколькими способами:

  • шесть сотен и тридцать пять единиц: 600 + 35 = 635
  • шестьдесят три десятка и пять единиц:  630 + 5 = 635
  • шестьсот тридцать пять единиц: 635.

Подобная группировка помогает при вычитании в столбик. Например, найдем значение выражения 600 − 8. Сначала как обычно записываем в столбик:

600-8В разряде единиц у 600 находится ноль, значит надо занимать единицу у соседнего разряда, но беда в том, что в соседнем разряде тоже ноль. В таких случаях за соседний разряд можно принять число 60. Заняв у 60 одну единицу оно превратится в 59,  а наш ноль в 10 (потому что занятая единица мысленно дописывается слева о нуля). Теперь спокойно можно выполнить вычисления:600-8=592Говоря простым языком, вычислили отдельно единицы, а 59 просто «снесли».  Также можно прочесть этот пример словами: шестьсот единиц минус восемь единиц будет пятьсот девяносто две единицы.

Этот пример показывает, что если возникла необходимость занимать единицу у соседнего разряда, но там находится ноль, то за соседний разряд можно принять всё оставшееся число.


Пример 5. Найти значение выражения: 10000 − 999.

Записываем в столбик данное выражение:10000999Вычитаем из единиц первого числа единицы второго числа. В разряде единиц первого числа находится 0, а в разряде единицы второго числа 9. От нуля девятку не отнять, значит надо занимать единицу у соседнего разряда, но беда в том, что в соседнем разряде тоже ноль. Тогда за соседний разряд принимаем оставшееся число, и занимаем у этого числа единицу:

100009992Соседнее число в данном случае было 1000. Заняв у него единицу, мы превратили его в 999. Занятую единицу мысленно дописали слева от нуля. Далее спокойно вычислили. Получили 10000 − 999 = 9001.


Пример 6. Найти значение выражения 12301 − 9046

Записываем в столбик данное выражение.

123019046Теперь начинаем вычитать. В разряде единиц первого числа находится 1. А в разряде единиц второго числа находится 6. От единицы шестёрку не отнять, поэтому занимаем единицу у соседнего разряда. Но в соседнем разряде ноль. У нуля нечего занимать, потому что он ноль. Тогда за соседний разряд принимаем всё оставшееся число 1230 и занимаем у него единицу (в результате этого, 1230 превращается в 1229 потому что 1230−1=1229):

1230190461

Дальше пример решился просто. Получили 12301 — 9046 = 3255.


На этом урок завершаем. Данная тема достаточно большая и может оказаться непонятной для новичка, если начать рассказывать обо всём. В будущем мы к ней ещё вернемся, а пока скажем вам следующее:

Если данная тема понятна не полностью, не расстраивайтесь. Во-первых, знать в этой теме всё до мельчайших деталей совсем необязательно. Во-вторых, то что здесь рассказывается может применяться не везде или вообще нигде. В-третьих, вы всегда можете вернуться к этому уроку и прочитать его ещё раз. Ну и наконец, сейчас все вычисления делают калькуляторы и компьютеры, но понимать как это работает изнутри весьма полезно.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано