Решение неравенств с модулем методом интервалов

Если неравенство содержит два и более модуля, его удобнее решать методом интервалов.

Процесс решения неравенств с модулем методом интервалов во многом похож на процесс решения уравнений с модулем методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство |7 − x|+|2+ 3|< 16

Решение

Для начала находим такие x, при которых подмодульные выражения 7 − x и 2+ 3 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения:

неравенства с модулем метод интервалов рис 1

Отметим числа 7 и  минус три вторых на координатной прямой. Мéньшие числа отмечаем левее, бóльшие правее:

неравенства с модулем метод интервалов рис 2

Получили три промежутка: неравенства с модулем метод интервалов рис 4  ,  неравенства с модулем метод интервалов рис 5 и неравенства с модулем метод интервалов рис 6 Теперь необходимо решить исходное неравенство на каждом из этих промежутков. Надо иметь ввиду, что на каждом из этих промежутков модули исходного неравенства могут раскрываться по-разному.

Решим исходное неравенство на первом промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 4

Далее рассуждаем так:

Если неравенства с модулем метод интервалов рис 4, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 4 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2+ 3| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 4 будет раскрываться со знаком минус.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 4 исходное неравенство примет вид:

неравенства с модулем метод интервалов рис 9

Решим данное неравенство:

неравенства с модулем метод интервалов рис 7

Итак, сейчас мы рассматриваем промежуток неравенства с модулем метод интервалов рис 4. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство > −4.

Теперь начинается самое интересное. Надо выяснить выполняется ли неравенство > −4 на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 4. Или задать такой вопрос: «при каких значениях промежутка неравенства с модулем метод интервалов рис 4 выполняется неравенство > −4»

Для наглядности нарисуем еще одну координатную прямую и изобразим на ней решения неравенства > −4 и неравенства с модулем метод интервалов рис 4

неравенства с модулем метод интервалов рис 8

На рисунке видно при каких значениях промежутка неравенства с модулем метод интервалов рис 4 выполняется неравенство > −4. Эти значения лежат в промежутке от −4 до минус три вторых

Значит первым нашим решением будет промежуток от −4 до минус три вторых

неравенства с модулем метод интервалов рис 20

Решим теперь исходное неравенство на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 5

Если неравенства с модулем метод интервалов рис 5, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет неотрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |2+ 3| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 5 тоже будет раскрываться со знаком плюс.

После раскрытия модулей на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 5 исходное неравенство примет вид:

неравенства с модулем метод интервалов рис 10

Решим данное неравенство:

неравенства с модулем метод интервалов рис 11

Cейчас мы рассматриваем промежуток неравенства с модулем метод интервалов рис 5. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство x < 6. Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство x < 6 при неравенства с модулем метод интервалов рис 5

неравенства с модулем метод интервалов рис 13

Неравенство x < 6 выполняется не на всём промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 5, а лишь на промежутке минус три вторых до 6. Запишем наше второе решение:

неравенства с модулем метод интервалов рис 21

Решим теперь исходное неравенство на последнем промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 6

Если неравенства с модулем метод интервалов рис 6, то при любом значении на данном промежутке подмодульное выражение 7 − x станет отрицательным, а значит модуль |7 − x| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 6 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |2+ 3| на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 6 будет раскрываться со знаком плюс.

Тогда в результате раскрытия модулей на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 6 исходное неравенство примет вид:

неравенства с модулем метод интервалов рис 14

Решим данное неравенство:

неравенства с модулем метод интервалов рис 15

Cейчас мы рассматриваем промежуток неравенства с модулем метод интервалов рис 6. И решив на этом промежутке исходное неравенство мы получили неравенство неравенства с модулем метод интервалов рис 17, Теперь надо выяснить выполняется ли неравенство неравенства с модулем метод интервалов рис 17 при неравенства с модулем метод интервалов рис 6

неравенства с модулем метод интервалов рис 16

Мы видим, что неравенство неравенства с модулем метод интервалов рис 17 не выполняется ни при каких значениях промежутка неравенства с модулем метод интервалов рис 6. Это значит, что исходное неравенство на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 6 решений не имеет.

Действительно, возьмём любое число из промежутка неравенства с модулем метод интервалов рис 6, например, число 9 и подставим его в исходное неравенство. В результате получим неравенство которое не выполняется:

неравенства с модулем метод интервалов рис 18

Теперь нужно собрать воедино ответы, которые мы получили на каждом промежутке. Чтобы сделать это, просто объединим промежутки неравенства с модулем метод интервалов рис 22 и неравенства с модулем метод интервалов рис 23

неравенства с модулем метод интервалов рис 24

Ответ: (−4 ; 6).


Пример 2. Решить неравенство: 3|− 2|+|5− 4| ≤ 10

Решение

Найдём x, при которых подмодульные выражения − 2 и 5− 4 обращаются в ноль. Для этого приравняем эти выражения к нулю и решим простейшие линейные уравнения:

неравенства с модулем метод интервалов рис 25

Отметим числа 2 и неравенства с модулем метод интервалов рис 26 на координатной прямой:

неравенства с модулем метод интервалов рис 27

Решим исходное неравенство на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 28. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с минусом:

неравенства с модулем метод интервалов рис 29

Полученное неравенство ≥ 0 выполняется не на всем промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 28, а только на промежутке от 0 до неравенства с модулем метод интервалов рис 26

неравенства с модулем метод интервалов рис 38

Решим теперь исходное неравенство на следующем промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 30. На данном промежутке модуль|− 2| раскрываются с минусом, а модуль |5− 4| с плюсом:

неравенства с модулем метод интервалов рис 31

Полученное неравенство x ≤ 4 выполняется на всём промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 30. Значит на промежутке неравенства с модулем метод интервалов рис 30 исходное неравенство имеет следующее решение:

неравенства с модулем метод интервалов рис 39

Решим исходное неравенство на следующем промежутке ≥ 2. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

неравенства с модулем метод интервалов рис 32

Полученное неравенство неравенства с модулем метод интервалов рис 33 выполняется не на всем промежутке ≥ 2, а только на промежутке от 2 до пять вторых

неравенства с модулем метод интервалов рис 40

Запишем окончательный ответ. Для этого объединим промежутки неравенства с модулем метод интервалов рис 34, неравенства с модулем метод интервалов рис 41 и неравенства с модулем метод интервалов рис 35 неравенства с модулем метод интервалов рис 36

Ответ: неравенства с модулем метод интервалов рис 37.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: .
Задание 2. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: решений нет.
Задание 3. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: .
Задание 4. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: .
Задание 5. Решить неравенство:
Решение:
Ответ: .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

7 thoughts on “Решение неравенств с модулем методом интервалов”

    1. Уважаемый создатель сайта огромная тебе благодарность, создав прекрасный сайт ты помог мне войти в мир чисел и узнать красоту математики, желаю тебе всех благ, процветания в жизни, огромных успехов, надеюсь проект не забросишь, благое дело)

  1. большое спасибо всем кто работает над этим сайтом, занимаюсь с вами больше полу года. вы очень помогаете детям у которых не всегда могут быть возможности на репетитора и т.п. процветания вам!

  2. Большое спасибо всем, кто создавал сайт и весь материал. Помогли многим, спасибо

  3. Здравствуйте! В 1 задании при x > 1, x точно принадлежит (2; +∞), а не (1; +∞)?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.