Решение уравнений с модулем методом интервалов

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений. Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

|− 5| − |x| = 1

У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:

uravnenie-s-modulem-risunok-52

Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.

Решим уравнение | 5|  |x| = 1 методом интервалов.

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

уравнение с модулем рисунок 49

Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.

Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |− 5| и |x|.

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:

метод интервалов рис 1

Для модуля |− 5| точкой перехода будет 5. Для модуля |x| точкой перехода будет 0.

Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:

уравнение с модулем рисунок 51

Проведем дуги от точек перехода:

уравнение с модулем рисунок 52

С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

уравнение с модулем рисунок 53

Обратите внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ < 5.

Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5.

Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.

уравнение с модулем рисунок 53

Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид ≤ 0, а второй промежуток принял бы вид 0 < < 5, потому что ноль уже был включен в первый промежуток.

Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.

Теперь выясним как будут вести себя модули |− 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.

Начнем с первого промежутка x < 0.

Если x < 0, то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение − 5 станет отрицательным, а значит модуль |− 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке x < 0 тоже будет раскрываться со знаком минус.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(− 5) + x = 1

уравнение с модулем рисунок 55

Второй модуль |x| на промежутке < 0 раскрылся с минусом. В самом же уравнении |− 5 |− |x| = 1 после выражения |x − 5| тоже располагался минус. В математике два минуса, идущие подряд, дают плюс. Поэтому и получилось выражение −(− 5) + x = 1.

Решим уравнение −( 5) + x = 1, которое получилось после раскрытия модулей на промежутке x < 0

уравнение с модулем рисунок 59

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.

Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0  < 5.

Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение  5, станет отрицательным, а значит модуль | 5| на промежутке 0  x < 5 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0  < 5 будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке 0  x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −( 5) − x = 1

уравнение с модулем рисунок 56

Решим это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 60

Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является  корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку  0  x < 5. Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1. Проверка также показывает это:

уравнение с модулем рисунок 70

Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5.

Если x больше или равно пяти, то модуль |− 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид − 5 − x = 1.

уравнение с модулем рисунок 57

Решим это уравнение:

уравнение с модулем рисунок 71

Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.

В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0  x < 5.

Ответ: 2.


Пример 2. Решить уравнение |− 3| + |+ 2| = 7

Решение

Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |− 3| и |+ 2|

метод интервалов рис 2

Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:

метод интервалов рис 3

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули | 3| и |+ 2| на этих промежутках.

На промежутке < −2 модуль |− 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка < −2. Например, числа −4 или −9

|− 3| = |−4 − 3| = |−7| = −(−7) = 7

|− 3| = |−9 − 3| =|−12| = −(−12) = 12

Следующий модуль |+ 2| на промежутке < −2 тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка < −2 в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8

|+ 2| = |−6 + 2| = |−4| = −(−4) = 4

|+ 2| = |−8 + 2| = |−6| = −(−6) = 6

Значит после раскрытия модулей на промежутке < −2 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3   2 = 7

Решим его:

метод интервалов рис 8

Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток < −2. Для этого нужно подставить в неравенство < −2 найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 < −2 верно, значит корень −3 входит в промежуток < −2 и соответственно является корнем исходного уравнения.

На следующем промежутке −2  < 3 модуль | 3| будет раскрываться с минусом, а модуль|+ 2| будет раскрываться с плюсом.

Значит после раскрытия модулей на промежутке −2  < 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

+ 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

метод интервалов рис 5

Это уравнение не имеет решений, значит на промежутке −2 ≤ < 3  исходное уравнение тоже не имеет решений (корней).

Наконец рассмотрим промежуток  3

На промежутке  3 модуль | 3| будет раскрываться с плюсом. Модуль|+ 2| так же будет раскрываться с плюсом. Значит на промежутке ≥ 3 исходное уравнение | 3| + |+ 2| = 7 принимает следующий вид:

x − 3 + + 2 = 7

Решим это уравнение:

метод интервалов рис 6

Этот корень входит в рассматриваемый промежуток ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

метод интервалов рис 7

Ответ: −3 и 4.


Пример 3. Решить уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16

Решение

Найдём точки перехода для модулей |2x  3| и |2x + 7|

метод интервалов рис 9

Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:

метод интервалов рис 10

Решим исходное уравнение |2 3| + |2+ 7| = 16 на промежутке метод интервалов рис 11. Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:

метод интервалов рис 12

Корень −5 принадлежит промежутку метод интервалов рис 11, значит является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке метод интервалов рис 13. Модуль |2x  3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:

метод интервалов рис 14

Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).

Теперь решим исходное уравнение на промежутке метод интервалов рис 15. Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

метод интервалов рис 16

Корень 3 принадлежит промежутку метод интервалов рис 15, значит является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5 и 3.


Пример 4. Решить уравнение | 2| + 3= | 5|  18

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x  2| и |x 5|

метод интервалов рис 17

Отметим точки перехода на координатной прямой:

метод интервалов рис 18

Решим исходное уравнение на промежутке < 2. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:

метод интервалов рис 19

Число −5 принадлежит промежутку < 2, значит является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке 2  < 5. Модуль | 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |− 5| — с минусом:

метод интервалов рис 20

Число -11 na 5 не принадлежит промежутку 2  x < 5, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке  5. Модули |− 2| и |− 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:

метод интервалов рис 21

Число −7 не принадлежит промежутку  5, значит не является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5


Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x 4|

метод интервалов рис 22

Отметим точки перехода на координатной прямой:

метод интервалов рис 23

Решим исходное уравнение на промежутке < 0. Все три модуля: |x|, |− 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:

метод интервалов рис 24

Число 13 na 4 не принадлежит промежутку < 0, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0  < 4. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |− 7| и |x 4| — с минусом:

метод интервалов рис 25

Число метод интервалов рис 26 не принадлежит промежутку 0  < 4, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4  < 7. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль | 7| — с минусом; модуль |− 4| — с плюсом:

метод интервалов рис 27

Число три вторых не принадлежит промежутку 4  < 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:

метод интервалов рис 28

Число 17 na 4 не принадлежит промежутку x ≥ 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2| 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.


Пример 6. Решить уравнение метод интервалов рис 29

Решение

Найдём точки перехода для модулей метод интервалов рис 30 и метод интервалов рис 31

Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.

Если у модуля метод интервалов рис 30 внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2− 1 ≥ 0 (что равносильно метод интервалов рисунок 40), то исходное уравнение примет вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|. Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны одна вторая. Отметим эту точку на координатной прямой.

метод интервалов рис 39

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2− 1 − 5| + = |6 − x|, то точки перехода надо найти для модулей |2− 1 − 5| и |6 − x|.

Для модуля |2− 1 − 5| точкой перехода будет число 3, а для модуля |6 − x| — число 6. Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку одна вторая

метод интервалов рис 40

Сейчас нас интересуют только те значения x, которые удовлетворяют условию метод интервалов рис 42, потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток метод интервалов рис 41 мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию метод интервалов рис 42

метод интервалов рис 43

Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это метод интервалов рис 44. На нем модуль |2 1  5| раскрывается с минусом, а модуль |6  x| с плюсом:

метод интервалов рис 45

Получили тождество — равенство верное при любом значении x. В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка метод интервалов рис 44. Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию метод интервалов рис 42

Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3  < 6. Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 46

Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию метод интервалов рис 42, согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке  6. На этом промежутке модуль |2 1  5| раскрывается с плюсом, а модуль |6  x| с минусом. Тогда:

метод интервалов рис 47

Корень 0 не удовлетворяет условию  6, значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.

Итак, если внутренний модуль уравнения метод интервалов рис 29 раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток метод интервалов рис 44, а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:

метод интервалов рис 48

Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2− 1 < 0 (что равносильно неравенству метод интервалов рисунок 41). В этом случае исходное уравнение примет вид:

|−2x + 1 − 5| + x = |6 − x|

Отметим точку одна вторая на координатной прямой.

метод интервалов рис 49

Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от одна вторая. Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.

Найдем точки перехода для модулей |−2+ 1  5| и |6  x|. Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6

метод интервалов рис 50

Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от одна вторая. Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом

метод интервалов рис 51

Решим уравнение на промежутке < −2. На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 52

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке < −2 исходное уравнение не имеет корней.

Решим теперь уравнение на промежутке метод интервалов рисунок 42. Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2+ 1  5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка метод интервалов рисунок 42 модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом.

Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток < −2, который мы уже рассмотрели. На промежутке < −2 модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.

На промежутке метод интервалов рисунок 42 модуль |−2+ 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:

метод интервалов рис 53

Получится корень который не удовлетворяет условию метод интервалов рисунок 42. Несмотря на это число одна вторая является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2− 1 ≥ 0.


Задания для самостоятельного решения

Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.

Задание 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ [−5 ; 3].
Задание 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ [3 ; +∞).
Задание 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: корней нет.
Задание 4. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: , 0.
Задание 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −5.
Задание 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −4, 2.
Задание 7. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: , .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

11 thoughts on “Решение уравнений с модулем методом интервалов”

  1. круто. люблю математику, особенно тему с модулями)) развивает мозг. спасибо вам!

  2. Не совсем понял что это значит ‘Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый.’ можете пожалуйста объяснить по подробнее.

  3. Здравствуйте! Большое спасибо, что выпускаете такой понятный и интересный материал. Жду не дождусь новый урок.

  4. Здравствуйте. Подскажите, почему в 6 уравнении для самостоятельного решения ответ -10/3 не являеется коренем уравнения? он вроде удовлетворяет условию х <= -2

  5. Прошу вас сделайте урок по квадратичной функции, очень трудно даётся

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.