Сложение и вычитание рациональных чисел

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо применять весь арсенал полученных ранее знаний, потому что подводных камней здесь много, как осенних листьев в саду.

Для успешного прохождения урока, обязательно нужно понимать следующие темы:

Если считаете, что знаете эти темы на отлично, или хотя бы на хорошо, то можете смело приступать к уроку. Если нет, то настоятельно советуем их повторить, поскольку они являются теоретической базой для данного урока.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби  a разделить на b,  где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа.


Пример 1. Найти значение выражения минус одна четвертая плюс три четвертых

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении является знаком операции и не относится к дроби три четвёртых. У этой дроби свой собственный знак плюса, который невидим по причине того, что он опускается. Но мы запишем его для наглядности:

каждое рациональное число заключено в скобки

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

минус одна четвёртая плюс три четвёртых равно одной второй

Модуль рационального числа три четвёртых  больше, чем модуль рационального числа минус одна четвёртая. Поэтому мы из рационального числа три четвёртых вычли рациональное число minus-odna-chetvertaya. Получили ответ две четвёртых. Далее сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ одна вторая. Ответ положителен.

При желании некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки, проставление модулей и т.п. можно пропустить. Они отнимают не только время, но и могут даже запутать. Данный пример вполне можно записать покороче:

Минус одна четвёртая прибавить три четвёртых равно одной второй


Пример 2. Найти значение выражения минус одна третья минус две третьих

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который дан в выражении является знаком операции и не относится к дроби две третьих. Дробь две третьих в данном случае является положительным рациональным числом, имеющим свой знак плюса, который невидим. Но мы опять же запишем его для наглядности

каждое рациональное число заключено в скобки

Операцию вычитания необходимо заменить сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому

Операция вычитания заменена сложением

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус

Минус одна третья минус две третьих равно минус единице

Решение для данного примера можно записать покороче:

минус одна третья вычесть две третьих будет минус единица


Пример 3. Найти значение выражения минус одна вторая плюс четыре пятых

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, сначала приведём эти дроби к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно останавливаться на этом моменте. Если испытываете трудности, обязательно вернитесь к уроку действия с дробями и повторите его.

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

минус пять десятых плюс восемь десятых

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше:

минус одна вторая плюс четыре пятых равно три десятых

Решение для данного примера можно записать покороче:

минус одна вторая прибавить четыре пятых равно три десятых


Пример 4. Найти значение выражения  минус одна шестая плюс две шестых минус пять шестых

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

минус одна шестая плюс две шестых минус пять шестых заключены в скобки

Заменим вычитание сложением там, где это нужно

Минус одна шестая прибавить две шестых минус прибавить минус пять шестых в скобках

Получили сумму из трёх слагаемых. В первую очередь найдём значение выражения минус одна шестая плюс две шестых, а затем к полученному ответу прибавим Минус пять шестых

Первое действие:

минус одна шестая плюс две шестых равно одной шестой

Второе действие:

минус одна шестая плюс минус пять шестых равно минус двум третьим

Таким образом, значение выражения минус одна шестая плюс две шестых минус пять шестых равно минус две третьих.

Решение для данного примера можно записать покороче

Минус одна шестая плюс две шестых минус пять шестых


Пример 5. Найти значение выражения минус единица плюс две целых две третьих

Заключим каждое число в скобки вместе со своими знаками. Для этого смешанное число две целых две третьих временно развернём

минус единица плюс два плюс две третьих

Вычислим целые части

минус единица плюс два равно единице

В главном выражении вместо минус единица плюс два запишем полученную единицу

единица плюс две третьих

Полученное выражение свернём. Для этого опустим скобки и запишем единицу и дробь две третьих вместе

одна целая две третьих

Значит значение выражения минус единица плюс две целых две третьих равно одна целая две третьих

Решение для данного примера можно записать покороче

Минус единица плюс две целых две третьих равно одна целая две третьих


Пример 6. Найти значение выражения минус две целых одна третья минус одна третья

Переведём смешанное число минус две целых одна третья в неправильную дробь. Остальную часть перепишем как есть. Получим следующее выражение

Минус семь третьих минус одна третья

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

Минус семь третьих минус одна третья в скобках

Заменим вычитание сложением

Минус семь третьих прибавить минус одну третью замена вычитания сложением

Получили сложение чисел с разными знаками. Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус

Минус семь третьих прибавить одну третью равно минус две целых две третьих

Таким образом, значение выражения минус две целых одна третья минус одна третья равно Минус две целых две третьих.

Решение для данного примера можно записать покороче

Минус две целых одна третья минус одна третья равно минус две целых две третьих


Пример 7. Найти значение выражение Минус пять минус две целых одна вторая

Запишем смешанное число минус две целых одна вторая в развёрнутом виде. Остальное перепишем как есть. Получим следующее выражение:

Минус пять минус два минус одна вторая

Заключим в скобки каждое число вместе своими знаками

Минус пять минус два минус одна вторая каждое число в скобках

Заменим вычитание сложением там, где это нужно

Минус пять прибавить минус два прибавить минус одну вторую замена вычитания сложением

Вычислим целые части

Минус пять прибавить минус два равно минус семь

В главном выражении вместо Минус пять прибавить минус два запишем полученное число −7

Минус семь прибавить минус одну вторую

Выражение Минус семь прибавить минус одну вторую  является развёрнутой формой записи смешанного числа Минус семь целых одна вторая .  Поэтому можно сразу записать ответ, поставив вместе числа −7 и дробь минус одна вторая (спрятав минус этой дроби)

Минус семь прибавить минус одну вторую равно минус семи целым одной второй

Но если нам интересно, что же происходит внутри этого процесса, то данное выражение можно и вычислить. Чтобы это сделать, число −7 нужно представить в виде дроби Минус одна седьмая , остальное переписать как есть

Минус семь первых прибавить минус одну вторую

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на этом шаге. Если испытываете трудности, обязательно вернитесь к уроку действия с дробями и повторите его.

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Минус четырнадцать вторых прибавить минус одну вторую

Дальнейшее вычисление не составляет особого труда

Минус четырнадцать вторых прибавить минус одну вторую равно минус семь целых одна вторая

Таким образом, значение выражения Минус пять минус две целых одна вторая  равно Минус семь целых одна вторая

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Если пропустить некоторые подробности, то его можно записать следующим образом:

Минус пять минус две целых одна вторая равно минус семь целых одна вторая


Пример 8. Найти значение выражения минус одна целая две третьих минус две целых две третьих

Данное выражение можно вычислить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Целые и дробные части выражения вычисляются по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Минус единица минус две третьих минус две минус две третьих

Заключим каждое число в скобки вместе со своими знаками:

Минус единица минус две третьих минус два минус две третьих в скобках

Заменим вычитание сложением там, где это нужно:

Минус единица плюс минус две третьих плюс минус два плюс минус две третьих замена вычитания сложением

Получили сумму из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение содержит несколько слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это позволит нам сгруппировать целые и дробные части по отдельности

Минус единица плюс минус два плюс минус две третьих плюс минус две третьих

Вычислим целые части:

минус единица прибавить минус два будет минус три

В главном выражении вместо минус единица прибавить минус два запишем полученное число −3

Минус три плюс минус две третьих плюс минус две третьих

Вычислим дробные части:

Минус две третьих плюс минус две третьих равно минус одна целая одна третья

В главном выражении вместо Минус две третьих прибавить минус две третьих запишем полученное смешанное число Минус одна целая и одна третья

Минус три прибавить минус одну целую одну третью

Чтобы вычислить получившееся выражение, смешанное число Минус одна целая и одна третья нужно временно развернуть, затем заключить в скобки каждое число и заменить вычитание сложением. Делать это нужно очень аккуратно, чтобы не перепутать знаки слагаемых.

Минус три плюс минус одна целая одна третья преобразование

После преобразования выражения  Минус три прибавить минус одну целую одну третью  мы получили новое выражение Минус три прибавить минус единицу прибавить минус одну третью , которое легко вычисляется. Похожее выражение было в примере 7. Напомним, что мы отдельно сложили целые части, а дробную оставили, как есть

Минус три прибавить минус единицу прибавить минус одну третью равно четырём целым одной третьей

Значит значение выражения минус одна целая две третьих минус две целых две третьих  равно Минус четыре целых одна третья

Решение для данного примера можно записать покороче

минус одна целая две третьих минус две целых две третьих равно минус четырём целым одной третьей

В коротком решении пропускаются этапы заключения чисел в скобки, замена вычитания сложением, проставление модулей и так далее. Если вы учитесь в школе или в ВУЗЕ, то от вас будут требовать пропускать эти примитивные действия, чтобы сэкономить время и место. Приведённое выше короткое решение можно записать ещё короче. Вот как это будет выглядеть

минус одна целая две третьих минус две целых две третьих равно минус четырем третьии одной третьей сокращенное

Поэтому, находясь в школе или в ином учебном заведении, будьте готовы к тому, что некоторые операции придётся проводить в уме.


Второй способ. Смешанные числа выражения минус одна целая две третьих минус две целых две третьих переводят в неправильные дроби и вычисляют, как обычные дроби.

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

минус одна целая две третьих минус две целых две третьих в скобках

Заменим операцию вычитания сложением

сложение и вычитание рациональных чисел

Теперь смешанные числа минус одна целая две третьих  и минус две целых две третьих переведём в неправильные дроби. Получим следующее выражение

Минус пять третьих прибавить восемь третьих

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус

Минус пять третьих прибавить восемь третьих равно минус четырём целым одной третьей

Получили ответ Минус четыре целых одна третья как и в прошлый раз.

Подробное решение вторым способом выглядит следующим образом:

минус одна целая две третьих минус две целых две третьих равно минус четырём целым одной третьей второй способ


Пример 9. Найти выражения выражения Минус две целых одна вторая прибавить минус одну целую две третьих

Первый способ. Сложим целые и дробные части по отдельности.

В этот раз попробуем пропустить некоторые примитивные действия, такие как запись выражения в развёрнутом виде, заключение чисел в скобки, замена вычитания сложением, проставление модулей и так далее

Минус две целых одна вторая прибавить минус одну целую две третьих равно минус четыре целых одна шестая

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.


Второй способ. Переведём смешанные числа в неправильные дроби и вычислим как обычные дроби.

Минус две целых одна вторая прибавить минус одну целую две третьих равно минус четыре целых одна шестая второй способ


Пример 10. Найти значение выражения Три целых одна седьмая вычесть минус одну целую две пятых

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому

Три целых одна седьмая вычесть минус одну целую две пятых замена вычитания сложением

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, и опустить скобки. Тогда получим простое выражение, которое решается легко

Три целых одна седьмая вычесть минус одну целую две пятых равно четырем целым девятнадцати тридцать пятым

В данном примере целые и дробные части были вычислены по отдельности.


Пример 11. Найти значение выражения Одна третья прибавить минус две третьих

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученными числом поставить тот знак, модуль которого больше

Одна третья прибавить минус две третьих равно минус одной третьей


Пример 12. Найти значение выражения Минус одна вторая минус две третьих прибавть одну третью плюс одну четвертую

Выражение состоит из нескольких параметров. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение Минус одна вторая минус две третьих в скобках, затем выражение Одна третья прибавить одну четвертую Полученные ответы сложим.

Первое действие:

Одна вторая минус две третьих равно минус одной шестой

Второе действие:

Одна третья прибавить одну четвертую без скобок

Третье действие:

Минус одна шестая плюс семь двенадцатых равно пять двенадцатых

Ответ: значение выражения Минус одна вторая минус две третьих прибавть одну третью плюс одну четвертую  равно  Пять двенадцатых


Пример 13. Найти значение выражения Минус четыре целых одна пятая вычесть минус одну целую одну вторую

Заменим вычитание сложением. Для этого к уменьшаемому прибавим число противоположное вычитаемому

Минус четыре целых одна пятая прибавить одну целую одну вторую

Получили сложением рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед ответом поставить тот знак модуль которого больше.

Мы имеем дело со смешанными числами. Чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно сравнить модули этих смешанных чисел. А чтобы сравнить модули смешанных чисел, нужно перевести их в неправильные дроби, и сравнить как обычные дроби.

На следующем рисунке показаны все этапы сравнения модулей смешанных чисел

Сравнение минус четырех целых одной пятой и одной целой одной второй

Узнав, какой модуль больше, а какой меньше, мы можем продолжить вычисление нашего выражения. Напомним, что мы должны из большего модуля вычесть меньший и перед ответом поставить тот знак модуль которого больше

Минус четыре целых одна пятая вычесть минус одну целую одну вторую равно минус двум целым семи десятой

Таким образом, значение выражения Минус четыре целых одна пятая вычесть минус одну целую одну вторую равно Минус две целых семь десятых


Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые тоже могут быть как положительными так и отрицательными.

Не забываем, что сложение и вычитание десятичных дробей происходит по разрядам. Также необходимо вспомнить, что количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то пустые разряды заполняются нулями. Важно также вспомнить, как сравниваются десятичные дроби.

Если вы забыли некоторые детали сложения и вычитания десятичных дробей, то настоятельно рекомендуем вернуться к урокам действия с десятичными дробями и применение десятичных дробей. В противном случае, следующие примеры могут показаться непонятными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой собственный знак плюса, который невидим по причине того, что он опускается. Но мы запишем его для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли −3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, т.к. в ответе должен стоять знак большего модуля, т.е. модуля |+4,3|.

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

Этот пример можно записать покороче:

−3,2 + (+4,3) = 1,1


Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и перед ответом поставить тот знак модуль которого больше

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

 3,5 + (−8,3) = −4,8


Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31


Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18


Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который дан в выражении является знаком операции и не относится к десятичной дроби 5,9. У этой десятичной дроби свой собственный знак плюса, который невидим по причине того, что он опускается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили  сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

Подробное решение данного примера записывается следующим образом:

−4,9 − 5,9 = (−4,9) − (+5,9) = (−4,9) + (−5,9) = −(|−4,9| + |−5,9|) =

= −(4,9 + 5,9)  = −(10,8) = −10,8

Короткое решение будет выглядеть так:

−4,9 − 5,9 = −10,8


Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своим знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и перед ответом поставить тот знак модуль которого больше. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Подробное решение данного примера записывается следующим образом:

7 − 9,3 = (+7) − (+9,3) = (+7) + (−9,3) = −(|−9,3| − |+7|) =

= −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Короткое решение будет выглядеть так:

7 − 9,3 = −2,3


Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и перед ответом поставить тот знак, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = |+1,2| − |−0,25| = 1,2 − 0,25 = 0,95

Подробное решение данного примера записывается следующим образом:

−0,25 − (−1,2) = (−0,25) + (+1,2) = |+1,2| − |−0,25| = 1,2 − 0,25 = 0,95

Короткое решение будет выглядеть так:

−0,25 − (−1,2) = 0,95


Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

В первую очередь выполним действия в скобках, затем сложим полученный ответ с числом −3,5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражения.

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Короткое решение данного примера можно записать следующим образом:

−3,5 + (4,1 − 7,1) = −3,5 + (−3,0) = −6,5


Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках, затем из числа которое получилось в результате выполнения первых скобок вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражения.

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Короткое решение данного примера можно записать следующим образом:

(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) = 0,6 − (−5,4) = 6,0 = 6


Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это нужно

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, сумма не будет зависеть от порядка действий. Это означает, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а сложим все слагаемые слева направо поочередно в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Короткое решение данного примера можно записать следующим образом:

−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 = 13,35 + (−6,2) − 6,15 = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Короткие решения создают меньше проблем и путаниц, поэтому желательно привыкать к ним.


Пример 24. Найти значение выражения Минус одна целая восемь десятых прибавить две целых пять шестых

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем как есть. Если испытываете затруднения с переводом десятичной дроби в смешанное число, обязательно повторите урок десятичные дроби.

Далее применяем ранее изученные методы: переводим смешанные числа в неправильные дроби, и вычисляем их как обычные дроби. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Минус одна целая восемь десятых прибавить две целых пять шестых равно одной целой одной тридцатой


Пример 25. Найти значение выражения Пять целых две третьих отнять минус четыре целых четыре десятых

Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь

Пять целых две третьих отнять минус четыре целых четыре десятых дробный вид

В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и опустить скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко

Пять целых две третьих отнять минус четыре целых четыре десятых равно десяти целым одной пятнадцатой


Пример 26. Найти значение выражения Минус три целых одна вторая прибавить минус ноль целых восемьдесят пять сотых

Переведём смешанное число Минус три целых одна вторая в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:

Минус семь вторых прибавить минус восемьдесят пять сотых

Получили  сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Минус три целых одна вторая прибавить минус ноль целых восемьдесят пять сотых равно минус четыре целых семь двадцатых


Пример 27. Найти значение выражения Две целых пять сотых прибавить минус три целых две пятых

Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, сначала её нужно перевести в смешанное число, а затем уже в неправильную дробь

Перевод двух целых пяти сотых в неправильную дробь

После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:

Двести пять сотых прибавить минус семнадцать пятых

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Две целых пять сотых прибавить минус три целых две пятых равно минус одна целая семь двадцатых


Пример 28. Найти значение выражения  Одна шестая вычесть минус ноль целых пять десятых

Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь

Одна шестая прибавить минус ноль целых пять десятых равно двум третьим


Пример 29. Найти значение выражения минус ноль целых двадцать пять сотых прибавить минус две четвертых минус одна целая двадцать пять сотых

Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное оставим как есть. Получим следующее выражение:

Минус двадцать пять сотых прибавить минус две четвертых вычесть сто двадцать пять сотых

Можно сначала заменить вычитание сложением там где это нужно, и сложить рациональные числа одно за другим. Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа Минус двадцать пять сотых и Минус две четвертых , а затем из полученного числа вычесть рациональное число Сто двадцать пять сотых. Этим вариантом и воспользуемся.

Первое действие:

Минус двадцать пять сотых прибавить минус две четвертых

 

 

Второе действие:

Минус три четвертых вычесть сто двадцать пять сотых

Ответ: значение выражения минус ноль целых двадцать пять сотых прибавить минус две четвертых минус одна целая двадцать пять сотых равно −2.


Пример 30. Найти значение выражения

Минус четыре одна десятая прибавить минус две целых три десятых прибавить семь целых одна третья прибавить минус ноль целых шесть десятых

Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное оставим как есть

Минус сорок одна десятая прибавить минус две целых три десятых прибавить семь целых одну третью прибавить минус шесть десятых

Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.

Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа Минус сорок одна десятая  и  Минус шесть десятых. У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему (к одинаковому знаменателю)

Первое действие:

Минус сорок одна десятая прибавить минус шесть десятых

Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом Минус две целых три десятых. У рациональных чисел Минус две целых три десятых и Минус четыре целых семь десятых  одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас

Второе действие:

Минус две целых три десятых прибавить минус четыре целых семь десятых

Ну и сложим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом Семь целых одна третья . Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, то есть их сумма будет равна нулю, потому что сумма противоположных чисел равна нулю

Третье действие:

Минус семь прибавить семь целых одну третью равно одной третьей

Ответ: значение выражения Минус четыре одна десятая прибавить минус две целых три десятых прибавить семь целых одна третья прибавить минус ноль целых шесть десятых равно одна третья


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках