Сложение и вычитание целых чисел

В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел, а также правила для их сложения и вычитания.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и т.д.

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими «минусами» перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.

Прежде чем изучать данный урок, обязательно повторите, что представляют собой отрицательные числа и модуль числа.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть где располагаются отрицательные числа, а где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого, из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате, мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть как это происходит:

1+3 на координатной прямой

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.


Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

1-3=-2 на кординатной прямой

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.


Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

−2 + 4 = 2 на координатной прямой

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.


Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

−1 − 3 = −4 на координатной прямой

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.


Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

−2 + 2 = 0 на координатной прямой

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.


Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы вычислить то или иное выражение, необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками.  −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Сравнение модулей минус два и пять

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому, мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче −2 + 5 = 3


Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь, как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 — это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее и красивее. Это намного проще для восприятия, чем, если бы было 3 +−2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим тот знак, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили тот знак модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1


Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая предусмотрено следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить знак минуса.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

три минус семь и семь минус три

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

три минус семь и семь минус три равенство

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы в принципе и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы, совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.


На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Что это означает? Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию нужно заменить сложением.

Итак знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы просто ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас, мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели выше. Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому, из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу, быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без своего знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1  знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае, является положительным числом и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс перед положительными числами по традиции не пишут.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

( +3 ) − ( +1 )

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае, заменить вычитание сложением намного проще. Напомним, что для того, чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Вычитаемое в данном случае это число (+1), а противоположное ему число (−1). Заменим операцию вычитания сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |+3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле, это правило ещё не раз нас выручит.


Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к нормальному виду, расставив каждому числу свои знаки. У тройки знак плюса, потому что оно является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, потому что оно также является положительным:

( +3 ) − ( +7 )

Заменим вычитание сложением:

( +3 ) − ( +7 ) = ( +3 ) + ( −7 )

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4


Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

( −4 ) − ( +5 )

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. Для этого, к уменьшаемому (−4) нужно прибавить число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

Итак, заменяем вычитание сложением:

( −4 ) − ( +5 ) = ( −4 ) + ( −5 )

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить знак минус.

Итак, продолжаем вычислять наше выражение. Сложим модули чисел, как от нас требует правило и поставим перед полученным ответом знак минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9


Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

( −3 ) − ( +5 ) − ( +7 ) − ( +9 )

Заменим операции вычитания операциями сложения. Все минусы (кроме минуса, который перед тройкой поменяются на плюсы и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить знак минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение для данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24


Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

( −10 ) + ( +6 ) − ( +15 ) + ( +11 ) − ( +7 )

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем как есть, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями пропустим, чтобы они не путали нас:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15


Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда обучающийся начинает привыкать к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время, а порой даже путает.

Главное, уметь отличить отрицательное число от положительного, и применить нужное правило.


Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить тот знак, модуль которого больше.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить знак минуса.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому число противоположное вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить знак минус.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано