Соотношения

Соотношением называют некоторую взаимосвязь между сущностями нашего мира. Это могут быть числа, физические величины, предметы, продукты, явления, действия и даже люди.

В повседневной жизни, когда речь заходит о соотношениях, мы говорим «соотношения того-то и того-то». Например, если в вазе лежит 4 яблока и 2 груши, то мы говорим «соотношения яблок и груш» или если поменять местами яблоки и груши, то «соотношения груш и яблок».

В математике соотношение чаще употребляется как «отношение того-то к тому-то».  Например, соотношение четырёх яблок и двух груш, которые мы рассматривали выше, в математике будет читаться как «отношение четырех яблок к двум грушам» или если поменять местами яблоки и груши, то «отношение двух груш к четырем яблокам».

Соотношение выражается, как a к b (где вместо a и b любые числа), но чаще можно встретить запись, которая составлена с помощью двоеточия как a:b. Прочитать эту запись можно различными способами:

  • a к b
  • a относится к b
  • отношение a к b

Запишем соотношение четырех яблок и двух груш с помощью символа соотношения:

4 : 2

Это соотношение можно прочитать как «четыре к двум» либо «соотношение четырех яблок и двух груш» либо «четыре яблока относится к двум грушам»

Если же поменяем местами яблоки и груши, то будем иметь соотношение 2:4. Это соотношение можно прочитать как «два к четырем» либо «две груши к четырем яблокам» либо «две груши относятся к четырем яблокам».

В дальнейшем соотношение мы будем называть отношением.

Что такое отношение?

Отношение, как было сказано ранее, записывается в виде a:b. Также его можно записать в виде дроби a разделить на b. А мы знаем, что такая запись в математике означает деление. Тогда результатом выполнения отношения будет частное чисел a и b.

Отношением в математике называют частное двух чисел.

Отношение позволяет узнать сколько количества одной сущности приходится на единицу другой.  Вернемся к отношению четырех яблок к двум грушам (4:2). Это отношение позволит нам узнать, сколько яблок приходится на единицу груши. Под единицей подразумевается одна груша. Сначала запишем отношение 4:2 в виде дроби:

Четыре вторых

Данное отношение представляет собой деление числа 4 на число 2. Если выполнить это деление, мы получим ответ на вопрос сколько яблок приходится на единицу груши

четыре на два будет два

Получили 2. Значит четыре яблока и две груши (4:2) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одну грушу приходится два яблока

два яблока к двум грушам

На рисунке показано, как четыре яблока и две груши соотносятся между собой. Видно, что на каждую грушу приходится два яблока.

Отношение Четыре вторых можно перевернуть, записав как две четвёртых. Тогда у нас получится соотношение двух груш и четырех яблок или «отношение двух груш к четырем яблокам». Это отношение покажет, сколько груш приходится на единицу яблока. Под единицей яблока подразумевается одно яблоко.

Чтобы найти значение дроби две четвёртых нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее

два разделить на четыре равно пять десятых решение уголком

Получили 0,5.  Переведем эту десятичную дробь в обыкновенную:

ноль целых пять десятых перевод в обыкновенную дробь

Сократим полученную обыкновенную дробь на 5

сокращение дроби пять десятых

Получили ответ одна вторая (половину груши). Значит две груши и четыре яблока (2:4) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на одно яблоко приходится половина груши

две груши к четырем яблокам

На рисунке показано, как две груши и четыре яблока соотносятся между собой. Видно, что на каждое яблоко приходится половинка груши.

Числа, из которых составлено отношение, называют членами отношения. Например, в отношении 4:2 членами являются числа 4 и 2.


 

Рассмотрим другие примеры соотношений. Для приготовления чего-либо составляется рецепт. Рецепт строят из соотношений между продуктами. Например, для приготовления овсяной каши обычно требуется стакан хлопьев на два стакана молока или воды. Получается соотношение 1:2 («один к двум» или «один стакан хлопьев на два стакана молока»).

Преобразуем соотношение 1:2 в дробь, получим одна вторая. Вычислив эту дробь получим 0,5. Значит один стакан хлопьев и два стакана молока (1:2) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на один стакан молока приходится половина стакана хлопьев.

Если перевернуть соотношение 1:2 то получится соотношение 2:1 («два к одному» или «два стакана молока на один стакан хлопьев»). Преобразуем соотношение 2:1 в дробь получим две первых. Вычислив эту дробь получим 2. Значит два стакана молока и один стакан хлопьев (2:1) соотносятся (взаимосвязаны друг с другом) так, что на один стакан хлопьев приходится два стакана молока.


Пример 2. В классе 15 школьников. Из них 5 – это мальчики, 10 – девочки. Можно записать соотношение девочек и мальчиков 10:5 и преобразовать это соотношение в дробь десять пятых. Вычислив эту дробь получим 2. То есть, девочки и мальчики соотносятся между собой так, что на каждого мальчика приходится две девочки

отношение девочек к мальчикам десять к пяти

На рисунке показано, как десять девочек и пять мальчиков соотносятся между собой. Видно, что на каждого мальчика приходится две девочки.

Соотношение не всегда можно обращать в дробь и находить частное. В некоторых случаях это будет нелогично.

Так, если перевернуть отношение  десять пятых получится пять десятых , а это уже отношение мальчиков к девочкам. Если вычислить эту дробь получается 0,5. Получается, что пять мальчиков относятся к десяти девочкам так, что на каждую девочку приходится половина мальчика. Математически это конечно верно, но с точки зрения здравого смысла не совсем разумно, ибо мальчик это живой человек и его нельзя просто так взять и разделить, как грушу или яблоко.

Умение построить правильное отношение — важный навык при решении задач. Так в физике, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения.

Расстояние обозначается через переменную S, время — через переменную t, скорость — через переменную v. Тогда фраза «отношение пройденного пути ко времени есть скорость движения» будет описываться следующим выражением:

формула отношение пройденного пути ко времени есть скорость движения

Предположим, что автомобиль проехал 100 километров за 2 часа. Тогда отношение пройденных ста километров к двум часам будет скоростью движения автомобиля:

формула отношениеста километров к двум часам есть 50 километров

Скоростью принято называть расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. А отношение, как было сказано ранее, позволяет узнать сколько количества одной сущности приходится на единицу другой. В нашем примере отношение ста километров к двум часам показывает сколько километров приходится на один час движения. Видим, что на каждый час движения приходится 50 километров.

расстояние 100 км два часа движения скорость 50 км на час рисунок

Поэтому скорость измеряется в км/ч, м/м, м/с. Символ дроби (/) указывает на отношение расстояния ко времени: километров в час, метров в минуту и метров в секунду соответственно.


Пример 2. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара

рисунок текстовая формула отношение стоимости товара к его количеству

Если мы взяли в магазине 5 шоколадных батончиков и их общая стоимость составила 100 рублей, то мы можем определить цену одного батончика. Для этого нужно найти отношение ста рублей к количеству батончиков. Тогда получим, что на один батончик приходится 20 рублей


Сравнение величин

Ранее мы узнали, что отношение между величинами разной природы образуют новую величину. Так, отношение пройденного расстояния ко времени есть скорость движения. Отношение стоимости товара к его количеству есть цена одной единицы товара.

Но отношение можно использовать и для сравнения величин. Результат выполнения такого отношения есть число, показывающее во сколько раз первая величина больше второй или какую часть первая величина составляет от второй.

Чтобы узнать во сколько раз первая величина больше второй, в числитель отношения нужно записать большую величину, а в знаменатель меньшую величину.

Чтобы узнать какую часть первая величина составляет от второй, в числитель отношения нужно записать меньшую величину, а в знаменатель большую величину.

Рассмотрим числа 20 и 2. Давайте узнаем во сколько раз число 20 больше числа 2. Для этого находим отношение числа 20 к числу 2. В числителе отношения записываем число 20, а в знаменателе — число 2

otnoshenie-dvadtsati-k-dvum

Значение данного отношения равно десяти

отношение двадцати к двум есть десять

Отношение числа 20 к числу 2 есть число 10. Эта число показывает во сколько раз число 20 больше числа 2. Значит число 20 больше числа 2 в десять раз.


Пример 2. В классе 15 школьников. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить во сколько раз девочек больше мальчиков.

Записываем отношение девочек к мальчикам. В числителе отношения записываем количество девочек, в знаменатель отношения — количество мальчиков:

десять пятых

Значение данного отношения равно 2. Значит в классе из 15 человек девочек в два раза больше мальчиков.

Здесь уже не стоит вопрос о том, сколько девочек приходится на одного мальчика. В данном случае отношение десять пятых используется для сравнения  количества девочек с количеством мальчиков.


Пример 3. Какую часть число 2 составляет от числа 20.

Находим отношение числа 2 к числу 20. В числителе отношения записываем число 2, а в знаменателе — число 20

отношение двух к двадцати

Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее

деление числа два на число двадцать уголком

Значение отношения числа 2 к числу 20 есть число 0,1

отношение числа два к числу двадцать равно одна десятая

В данном случае десятичную дробь 0,1 можно перевести в обыкновенную дробь. Такой ответ будет проще для восприятия:

одна десятая перевод в обыкновенную дробь

Значит число 2 от числа 20 составляет одну десятую часть.

Можно сделать проверку. Для этого найдём одна десятая от числа 20. Если мы всё сделали правильно, то должны получить число 2

20 : 10 = 2

2 × 1 = 2

Получили число 2. Значит одна десятая часть от числа 20 есть число 2. Отсюда делаем вывод, что задача решена верно.


 

Пример 4. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества школьников составляют мальчики.

Записываем отношение мальчиков к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем пять мальчиков, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15

отношение пяти к пятнадцати

Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 5 нужно разделить на число 15

пять разделить на пятнадцать получается бесконечная дробь

При делении 5 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную

ноль целых три в периоде есть три девятых

Сократим полученную дробь на 3

сокращение дроби три девятых

Получили окончательный ответ одна третья. Значит мальчики составляют одну третью от всего класса

треть пятнадцати школьников это пять мальчиков

На рисунке видно, что в классе из 15 школьников треть класса составляют 5 мальчиков.

Если для проверки найти одна третья от 15 школьников, то мы получим 5 мальчиков

15 : 3 = 5

5 × 1 = 5


Пример 5. Во сколько раз число 35 больше числа 5 ?

Записываем отношение числа 35 к числу 5. В числитель отношения нужно записать число 35, в знаменатель — число 5, но не наоборот

отношение тридцати пяти к пяти

Значение данного отношения равно 7. Значит число 35 в семь раз больше числа 5.


Пример 6. В классе 15 человек. 5 из них это мальчики, 10 – девочки. Определить какую часть от общего количества составляют девочки.

Записываем отношение девочек к общему количеству школьников. В числителе отношения записываем десять девочек, в знаменателе — общее количество школьников. Общее количество школьников это 5 мальчиков плюс 10 девочек, поэтому в знаменателе отношения записываем число 15

отношение десяти к пятнадцати

Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае, число 10 нужно разделить на число 15

десять разделить на пятнадцать получается бесконечная дробь

При делении 10 на 15 получается периодическая дробь. Переведём эту дробь в обыкновенную

ноль целых шесть в периоде есть шесть девятых

Сократим полученную дробь на 3

сокращение дроби шести девятых

Получили окончательный ответ две третьих. Значит девочки составляют две трети от всего класса

две трети пятнадцати школьников это десять девочек

На рисунке видно, что в классе из 15 школьников две трети класса составляют 10 девочек.

Если для проверки найти две третьих от 15 школьников, то получим 10 девочек

15 : 3 = 5

5 × 2 = 10


Пример 7. Какую часть 10 см составляют от 25 см

Записываем отношение десяти сантиметров к двадцати пяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 10 см, в знаменателе — 25 см

отношение десяти к двадцати пяти

Чтобы найти значение данного отношения, нужно вспомнить, как делить меньшее число на большее. В данном случае число 10 нужно разделить на число 25

десять разделить на двадцать получается четыре десятых

Переведём полученную десятичную дробь в обыкновенную дробь:

четыре десятых перевод в обыкновенную дробь

Сократим полученную дробь на 2

сокращение дробь четыре десятых

Получили окончательный ответ две пятых. Значит 10 см составляют  две пятых  от 25 см.


Пример 8. Во сколько раз 25 см больше 10 см

Записываем отношение двадцати пяти сантиметров к десяти сантиметрам. В числителе отношения записываем 25 см, в знаменателе — 10 см

Найдём значение данного отношения

двадцать пять разделить на десять будет две целых пять десятых

Получили ответ 2,5. Значит 25 см больше 10 см в 2,5 раза (в два с половиной раза)


Важное замечание. При нахождении отношения одноименных физических величин эти величины обязательно должны быть выражены в одной единице измерения, в противном случае ответ будет неверным.

Например, если мы имеем дело с двумя длинами и хотим узнать во сколько раз первая длина больше второй или какую часть первая длина составляет от второй, то обе длины сначала нужно выразить в одной единице измерения.

Пример 9. Во сколько раз 150 см больше 1 метра?

Сначала сделаем так, чтобы обе длины были выражены в одной единице измерения. Для этого переведем 1 метр в сантиметры. Один метр это сто сантиметров

1 м = 100 см

Теперь находим отношение ста пятидесяти сантиметров к ста сантиметрам. В числителе отношения записываем 150 сантиметров, в знаменателе — 100 сантиметров

отношение 150 к 100

Найдём значение данного отношения

сто пятьдесят разделить на сто будет одна целая пять десятых

Получили ответ 1,5. Значит 150 см больше 100 см в 1,5 раза (в полтора раза).

А если бы не стали переводить метры в сантиметры и сразу попытались найти отношение 150 см к одному метру, то у нас получилось бы следующее:

отношение 150 к 1 есть 150

Получилось бы, что 150 см больше одного метра в сто пятьдесят раз, а это неверно. Поэтому обязательно нужно обращать внимание на единицы измерения физических величин, которые участвуют в отношении. Если эти величины выражены в разных единицах измерения, то для нахождения отношения этих величин, нужно перейти к одной единице измерения.


Пример 10. В прошлом месяце зарплата человека составляла 25000 рублей, а в текущем месяце зарплата выросла до 27000 рублей. Определить во сколько раз выросла зарплата

Записываем отношение двадцати семи тысяч к двадцати пяти тысячам. В числителе отношения записываем 27000, в знаменателе — 25000

отношение 27000 к 25000

Найдём значение данного отношения

27000 разделить на 25000 равно одна целая 8 сотых

Получили ответ 1,08. Значит зарплата выросла в 1,08 раза. В будущем, когда мы познакомимся с процентами, такие показатели, как зарплата мы будем выражать в процентах.


Пример 11. Ширина многоквартирного дома 80 метров, а высота 16 метров. Во сколько раз ширина дома больше его высоты?

Записываем отношение ширины дома к его высоте:

отношение 80 к 16

Значение данного отношения равно 5. Значит ширина дома в пять раз больше его высоты.


Свойство отношения

Отношение не изменится если его члены умножить или разделить на одно и тоже число.

Это одно из важнейших свойств отношения следует из свойства частного. Мы знаем, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится. А поскольку отношение является ничем иным как делением, то свойство частного работает и для него.

Вернемся к отношению девочек к мальчикам (10:5). Данное отношение показало, что на каждого мальчика приходится две девочки. Проверим, как работает свойство отношения, а именно попробуем умножить или разделить его члены на одно и то же число.

В нашем примере удобнее разделить члены отношения десять пятых на их наибольший общий делитель (НОД).

НОД членов 10 и 5 это число 5. Поэтому можно разделить члены отношения десять пятых на число 5

десять на два сократили получили две первых

Получили новое отношение две первых. Это есть отношение два к одному (2:1). Данное отношение, как и прошлое отношение 10:5 показывает, что на одного мальчика приходится две девочки.

два к одному две девочки на мальчика

На рисунке показано отношение 2:1 (два к одному). Как и в прошлом отношении 10:5 на одного мальчика приходится две девочки. Другими словами, отношение не изменилось.

Пример 2. В одном классе 10 девочек и 5 мальчиков. В другом классе 20 девочек и 10 мальчиков. Во сколько раз в первом классе девочек больше мальчиков? Во сколько раз во втором классе девочек больше мальчиков?

В обоих классах девочек  в два раза больше мальчиков, поскольку отношения  десять пятых дробь  и  двадцать десятых  равны одному и тому же числу.

Свойство отношения позволяет строить различные модели, которые имеют схожие параметры с реальным объектом. Предположим, что многоквартирный дом имеет ширину 30 метров и высоту 10 метров.

рисунок многоквартирный дом соотношение 30 на 10

Чтобы нарисовать на бумаге похожий дом, нужно рисовать его в таком же отношении 30 : 10.

Разделим оба члена этого отношения на число 10. Тогда получим отношение 3 : 1. Это отношение равно 3, как и предыдущее отношение равно 3

3 на 1 равно 3 и 30 на 10 равно 3

Переведем метры в сантиметры. 3 метра это 300 сантиметров, а 1 метр это 100 сантиметров

3 м = 300 см

1  м = 100 см

Имеем отношение 300 см : 100 см. Разделим члены этого отношения на 100. Получим отношение 3 см : 1 см. Теперь можно нарисовать дом с шириной 3 см и высотой 1 см

рисунок многоквартирный дом соотношение 3 см к 1 см

Конечно нарисованный дом намного меньше реального дома, но неизменным осталось отношение ширины и высоты. Это позволило нам нарисовать дом, максимально похожий на реальный

Отношение можно понимать и другим образом. Изначально было сказано, что у реального дома ширина составляет 30 метров, а высота 10 метров. Итого получается 30+10, то есть 40 метров.

Эти 40 метров можно понимать, как 40 частей. Отношение 30 : 10 говорит о том, что 30 частей приходится на ширину, а 10 частей на высоту.

Далее члены отношения 30 : 10 были разделены на 10. В результате получилось отношение 3 : 1. Это отношение можно понимать, как 4 части, три из которых приходится на ширину, одна — на высоту. В этом случае обычно требуется узнать сколько конкретно метров приходится на ширину и высоту.

Другими словами, нужно узнать сколько метров приходится на 3 части и сколько метров приходится на 1 часть. Сначала надо узнать сколько метров приходится на одну часть. Для этого общие 40 метров нужно разделить на 4, поскольку в отношении 3 : 1 всего четыре части

40 м : 4 = 10 м

Далее с помощью умножения определяют сколько метров приходится на ширину и высоту. Члены, которые даны в отношении используют в качестве сомножителя.

Определим сколько метров приходится на ширину:

10 м × 3 = 30 м

Определим сколько метров приходится на высоту:

10 м × 1 = 10 м


Несколько членов отношения

Если в отношении дано несколько членов, то их можно понимать, как части от чего-либо.

Пример 1. Куплено 18 яблок. Эти яблоки разделили между мамой, папой и дочкой в отношении отношение 2 1 3. Сколько яблок получил каждый?

Отношение отношение 2 1 3 говорит о том, что мама получила 2 части, папа — 1 часть, дочка — 3 части. Другими словами, каждый член отношения отношение 2 1 3 это определенная часть от 18 яблок:

отношение 2 1 3 рисунок

Если сложить члены отношения отношение 2 1 3, то можно узнать сколько всего частей имеется:

2 + 1 + 3 = 6 (частей)

Узнаем сколько яблок приходится на одну часть. Для этого 18 яблок разделим на 6

18 : 6 = 3 (яблока на одну часть)

Теперь определим сколько яблок получил каждый. Умножая три яблока на каждый член отношения отношение 2 1 3, можно определить сколько яблок получила мама, сколько получил папа и сколько получила дочка.

Узнаем сколько яблок получила мама:

3 × 2 = 6 (яблок)

Узнаем сколько яблок получил папа:

3 × 1 = 3 (яблока)

Узнаем сколько яблок получила дочка:

3 × 2 = 6 (яблок)


Пример 2. Новое серебро (альпака) — это сплав никеля, цинка и меди в отношении отношение 3 4 13. Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра?

4 килограмма нового серебра будет содержать 3 части никеля, 4 части цинка и 13 частей меди. Сначала узнаем сколько всего частей будет в четырех килограммах серебра:

3 + 4 + 13 = 20 (частей)

Определим сколько килограммов будет приходиться на одну часть:

4 кг : 20 = 0,2 кг

Определим сколько килограммов никеля будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении отношение 3 4 13 указано, что три части сплава содержат никель. Поэтому умножаем 0,2 на 3:

0,2 кг × 3 = 0,6 кг никеля

Определим сколько килограммов цинка будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении отношение 3 4 13 указано, что четыре части сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 4:

0,2 кг × 4 = 0,8 кг цинка

Определим сколько килограммов меди будет содержаться в 4 кг нового серебра. В отношении отношение 3 4 13 указано, что тринадцать частей сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 13:

0,2 кг × 13 = 2,6 кг меди

Значит, чтобы получить 4 кг нового серебра, нужно взять 0,6 кг никеля, 0,8 кг цинка и 2,6 кг меди.


Пример 3. Латунь — это сплав меди и цинка, массы которых относятся как 3:2. Для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Сколько требуется цинка для изготовления этого куска латуни?

Определим из скольких частей состоит сплав меди и цинка:

3 + 2 = 5 (частей)

Определим сколько граммов сплава приходится на одну часть. В условии сказано, что для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Также сказано, что три части сплава содержат медь. Значит разделив 120 на 3, мы определим сколько граммов сплава приходится на одну часть:

120 : 3 = 40 граммов на одну часть

Теперь определим сколько требуется цинка для изготовления куска латуни. Для этого 40 граммов умножим на 2, поскольку в отношении 3:2 указано, что две части содержат цинк:

40 г × 2 = 80 граммов цинка


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

6 thoughts on “Соотношения”

  1. Здравствуйте. Не подскажите как решать задачи типа
    1. Лестница имеет 14 ступенек. Если каждая ступенька была бы на 1,75 см выше, то необходимо было бы еще 12 ступенек. Какова высота одной из 14 ступенек?
    2. Вместе взятые возраст Влада и Вовы в три раза старше возраста Влада. Четыре года назад Вова был ровно в три раза старше Влада. Сколько лет на сегодня Владу и сколько лет Вове?
    Я вообще не представляю как такие задания решать и даже логически не могу это себе представить, особенно с первым заданием. Второе задание исключительно методом тыка решил (подобрал цифры).
    Может кто объяснит.
    И к какому разделу математики, алгебры или геометрии относится данноые задания?
    Спасибо

    1. Первая задача не совсем понятна. Вы точно формулировку как в учебнике написали?

      Вторую задачу можно решить путем составления системы уравнений

      null

      1. Спасибо конечно за урок пока все ясно.Вот эти задачи с Х и Y пока мне не ясно,надеюсь в следующих уроках будет объяснение для таких задач 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *