Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа и в данном уроке мы научимся сравнивать их. Чтобы лучше понимать о чём будет идти речь, обязательно повторите следующие уроки:


Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы. А как мы знаем «чем правее, тем больше»Четыре больше единицы координатная прямая

4 > 1

Но для этого случая есть и правило, которое при желании можно применить. Выглядит оно так:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Ясно что для того, чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное  правило

Находим модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравниваем найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Это правило работает только для положительных чисел. Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравниваем найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3 < −1

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1. Это можно понять если воспользоваться координатной прямой

Минус три меньше чем минус единица

Видно, что −3 лежит левее, чем −1. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».


Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

−4 < 2

Мину четыре и два сравнение на координатной прямой

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

−4 < +2


Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа Минус три четвертых и одна четвертая

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что  Минус три четвертых  меньше, чем Одна четвертая

Минус три четвертых меньше чем одна четвертая


Пример 2. Сравнить рациональные числа минус пять вторых  и  минус одна вторая

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Модуль минус пяти вторых равен пяти вторым

Модуль минус одной второй равен одной второй

Сравниваем найденные модули:

Пять вторых больше чем одна вторая

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное минус одна вторая больше, чем минус пять вторых , потому что модуль числа минус одна вторая меньше, чем модуль числа минус пять вторых

Минус пять вторых меньше чем минус одна вторая


Пример 3. Сравнить числа 2,34 и Минус четыре целых одна третья

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34  больше, чем Минус четыре целых одна третья

2,35 > Минус четыре целых одна третья


Пример 4. Сравнить рациональные числа Минус четыре целых одна третья  и Минус семь целых одна вторая

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Модуль минус четырех целых одной третьей равен четырем целым одной третьей

Модуль минус семи целых одной второй равен семи целым одной второй

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Сравнение чисел четыре целых одна третья и семь целых одна вторая

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное Минус четыре целых одна третья больше, чем Минус семь целых одна вторая , потому что модуль числа Минус четыре целых одна третья меньше, чем модуль числа Минус семь целых одна вторая

Минус четыре целых одна третья больше чем минус семь целых одна вторая


Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и Минус одна целая и одна третья

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем Минус одна целая и одна третья

Ноль больше чем минус одна целая одна третья


Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и  Четыре пятых

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем Четыре пятых

Ноль меньше чем четыре пятых


Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

4,530

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

|4,530| = 4,530

|4,403| = 4,403

Сравниваем найденные модули:

Сравнение четырех целых пятисот тридцати тысячных и четырех целых четырех три тысячных

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

4,53 > 4,403


Пример 8. Сравнить рациональные числа Минус три пятых  и Минус семь целых одна третья

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Нахождение модулей для минус трех пятых и минус семи целым одной третьей

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число Семь целых одна третья в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Сравнение трех пятых с семь целых одной третьей

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное Минус три пятых больше, чем Минус семь целых одна третья , потому что модуль числа Минус три пятых меньше, чем модуль числа Минус семь целых одна третья

Минус три пятых больше чем минус семь целых одна третья


Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

|15| = 15

|2| = 2

15 > 2

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

15,4000   2,1256

154000 > 21256

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.


Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

|−15| = 15

|−0| = 0

15 > 0

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

 −0,152 > −15,2


Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

|−3| = 3

|−3| = 3

3 = 3

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

|−3,4| = 3,4

|−3,7| = 3,7

Сравниваем найденные модули:

Сравнение трех целых четырех десятых

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

−3,4 > −3,7


Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и  четыре восьмых

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью  четыре восьмых . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь три девятых

Находим модули чисел:

Модули чисел три девятых и четырех восьмых

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:Сравнение трех девятых и четырех восьмых

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число четыре восьмых больше, чем 0,(3) потому что модуль числа четыре восьмых больше, чем модуль числа 0,(3)

0,(3)  <  четыре восьмых


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках