Вынесение общего множителя за скобки

Продолжаем разбираться с основами алгебры и в данном уроке мы немного поиграемся с распределительным законом умножения, а именно рассмотрим такое действие, как вынесение общего множителя за скобки.

Основной принцип

Распределительный закон умножения, как мы помним позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3×(4+5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках, и сложить полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). В этом случае, каждое слагаемое которое в скобках, умножается на число 3:

 (4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3= 12 + 15

Ну и нетрудно догадаться, что получающееся в результате выражение 12+15 равно 27.

Пока что не будем вычислять конструкцию 3×4+3×5 и складывать полученные результаты 12 и 15. Оставим выражение в следующем виде 3(4+5)=3×4+3×5. Ниже оно нам потребуется таким, чтобы понять суть вынесения общего множителя за скобки.

Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя внутрь скобок. В принципе, это логично. В выражении 3×(4+5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хотя в школах и в ВУЗАХ записывать это не принято:

3 (4 + 5)=(3 × 4 + 3 × 5)

Поскольку в выражении 3×(4+5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, эта тройка является общим множителем для этих слагаемых.

3на4плюс5

Как говорилось выше, умножив этот общий множитель на каждое слагаемое в скобках, мы вносим его внутрь скобок. Но возможен и обратный процесс — общий множитель можно обратно вынести за скобки. В данном случае, в выражении 3×4+3×5 общий множитель виден как на ладони — это множитель 3. Его и нужно вынести за скобки. Для этого сначала записывается сам множитель 3

3

и рядом в скобках записывается выражение 3×4+3×5 но уже без общего множителя 3, потому что он вынесен за скобки

3(4+5)

Таким образом, в результате вынесения общего множителя за скобки в выражении 3×4+3×5 получается выражение 3(4+5). Это выражение тождественно равно предыдущему выражению 3×4+3×5

3×4+3×5 = 3(4+5)

Если вычислить обе части полученного равенства, то мы получим тождество:

3×4+3×5 = 3(4+5)

12 + 15 = 12 + 15

27 = 27


Как это работает

Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя внутрь скобок.

Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.

На самом деле в выражении 3×4+3×5, которое было рассмотрено выше, так и происходило. Каждое слагаемое было разделено на общий множитель 3. В нашем случае произведения 3×4 и 3×5 и являются слагаемыми, потому что если их вычислить, мы получим сумму 12+15

два на три плюс два на четыре в роли слагаемых

Итак, теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:

вынесение множителя 3 на 4 плюс 3 на 5 деление в скобках

Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.

Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:

вынесение множителя 3 на 4 плюс 3 на 5 сокращение в скобах

Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.

Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.

Вернёмся к нашему примеру 3(4+5). Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

После того, как вычислена конструкция 3×4+3×5, мы получаем новое выражение 12+15. Видим, что общий множитель 3 пропал из виду. Теперь в полученном выражении 12+15 попробуем обратно вынести общий множитель за скобки, но чтобы вынести этот общий множитель его сначала нужно найти.

Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.

Для нахождения общего множителя для слагаемых 12 и 15, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) этих слагаемых. Найденный НОД и будет общим множителем.

Итак, найдём НОД для чисел 12 и 15. Напомним что для того, чтобы найти НОД двух чисел, можно разложить эти числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите этот урок.

нахождение НОД для 12 и 15

НОД для 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого, сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12+15 разделено на общий множитель 3

вынесение общего множители 12 плюс 15

Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре, а пятнадцать разделить на три будет пять:

вынесение общего множители 12 плюс 15 окончательный ответ

Таким образом, при вынесении общего множителя за скобки в выражении 12+15 получается выражение 3(4+5). Подробное решение выглядит следующим образом:

вынесение множителя 12 и 15 подробно

В коротком решении пропускается момент в котором показано, как каждое слагаемое делится на общий множитель и выглядит оно так:

вынесение множителя 12 и 15 коротко


Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в выражении 15+20

Найдём НОД для слагаемых 15 и 20

нахождение нод для 15 и 20

НОД для 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем для слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:

вынесение общего множителя для 15 и 20

Получили выражение 5(3+4). Получившееся выражение можно проверить на правильность. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15+20

5 умножить на 3 плюс 4 раскрытие


Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18+24+36

Найдём НОД для слагаемых 18, 24 и 36. Напомним, что для того чтобы найти НОД для нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:

нахождение НОД для 18 24 36

НОД для 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем для слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:

вынесение общего множителя 18 24 36

Проверим на правильность получившееся выражение. Для этого умножим шестёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18+24+36

6 на 3 плюс 4 плюс 6


Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13+5

Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:

разложение на множители чисел 13 и 5

Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки поскольку это ничего не даст. Смотрите сами:

вынесение общего множителя для 13 и 5


Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195+156+260

Найдём НОД для слагаемых 195, 156 и 260

Нахождение НОД для 195 156 260

НОД для 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

вынесение общего множителя для 195 156 260

Проверим на правильность получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195+156+260

проверка выражение 13 умножить на скобку 15 плюс 12 плюс 20


Выражение в котором требуется вынести общий множитель за скобки может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16−12−4. Наибольшим общим делителем для чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:

вынесение общего множителя для 16 12 4

Проверим на правильность получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16−12−4

проверка выражения 4 умножить на скобку 4 минус 3 минус 1


Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72+96−120

Найдём НОД для чисел 72, 96 и 120

нахождение НОД для 72 96 120

НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

вынесение общего множителя 72 96 120

Проверим на правильность получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120

проверка выражения 24 умножить на скобку 3 плюс 4 минус 5


Общий множитель, выносимый за скобки может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6−3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

−6 + (−3)

Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель модулей слагаемых −6 и −3.

Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем для слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:

минус 6 минус 3 вынесение общего множителя

Легко заметить, что выражение полученное таким образом, получилось громоздким и не очень красивым — много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.

Способ 2.

Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением

−6 + (−3)

Общим множителем для чисел −6 и (−3) как мы помним было число 3. Но в этот раз мы вынесем за скобки не 3, а  −3

вынесение лбщего множителя минус 6 и минус 3 второй способ

Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще и красивее. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:

вынесение лбщего множителя минус 6 и минус 3 второй способ коротко

Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим. Главное, чтобы в конечном итоге получалось тождество.


Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20−16−2

Заменим вычитание сложением

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Наибольшим общим делителем для слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем для этих слагаемых. Посмотрим как это выглядит:

−10 × 2 = −20

 −8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Но приведенные разложения можно заменить на тождественно равные разложения. Различие будет в том, что общим множителем будет не 2, а −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Поэтому для удобства за скобки можно вынести не 2, а −2

вынесение множителя -20 -16 и -2 второй способ

Запишем приведенное решение покороче:

вынесение множителя -20 -16 и -2 второй способ коротко

А если бы вынесли за скобки 2, то получилось бы не совсем аккуратное выражение:

вынесение множителя -20 -16 и -2 первый способ


Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30+36−42

Заменим вычитание сложением

−30+16 +(−42)

Наибольшим общим делителем модулей слагаемых −30, 36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, 36 и −42 можно представить как

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = 36

7 × (−6) = −42

вынесение множителя -36 +36 -42


Вынесение минуса за скобки

При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и привести его в порядок.

Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3)

Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки

( −15 + (−5) + (−3) )

Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками

−(15 + 5 + 3)

Мы вынесли минус за скобки в выражении −15+(−5)+(−3) и получили −(15+5+3). Оба выражения равны одному и тому же значению −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Поэтому между выражениями −15+(−5)+(−3) и −(15+5+3) можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

−23 = −23

line

На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:

a(b+c) = ab + ac

Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки

 ab + ac = a(b+c)

Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.

Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Мы уже говорили, что коэффициент 1 (как и −1) не записывают.

Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный потому что каждое слагаемое разделено на минус единицу.

Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле минус выносился за скобки

вынесение минуса в -15 -5 -3


Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3+5+11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3+5+11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Как и в прошлом примере, здесь на самом деле за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит как

вынесение минуса в -3 +5 +11

Сначала получилось выражение −1(3+(−5)+(−11)), но мы раскрыли в нем внутренние скобки и получили выражение −(3−5−11). Раскрытие скобок это тема следующего урока, поэтому если данный пример вызывает у вас затруднения, можете пока пропустить его.


Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее. Пусть вас не останавливает то, что на первых порах вы будете допускать ошибки.

Для начала рассмотрим простейший пример. Пусть имеется выражение 3a+2a. Вынесем общий множитель за скобки.

В данном случае, общий множитель виден невооруженным глазом — это множитель a. Его и вынесем за скобки. Для этого записываем сам множитель a и рядом в скобках записываем выражение 3a+2a, но уже без множителя a поскольку он вынесен за скобки:

вынесение лбщего множителя в 3a и 2a

Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:

вынесение общего множителя в 3a и 2a подробно

Переменные a были сокращены на a, то есть в числителе и в знаменателе переменная а была разделена a.

У начинающих часто возникает вопрос почему при сокращении одинаковых переменных, получается единица. Всё очень просто. Вместо переменной a может стоять любое число. Эта переменная находится и в числителе и в знаменателе. А если в числителе и в знаменателе стоят одинаковые числа, то наибольший общий делитель для них будет само это число.

Например, если вместо переменной a подставить число 4, то конструкция 3a на a плюс 2a на a примет следующий вид: 12 на 4 плюс 8 на 4. Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:

вынесение общего множителя в 3a и 2a пояснение сокращения

Получается то же самое, что и раньше, когда вместо четверок стояла переменная a.

Поэтому не следует вставать в ступор при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.

line

Буквенное выражение как мы помним содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). Например, следующие выражения являются буквенными множителями:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Перед тем как выносить такой множитель за скобки нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.

Рассмотрим выражение 10a+15a. Попробуем вынести в нём общий множитель за скобки. Сначала определим из чего будет состоять общий множитель, то есть узнаем его коэффициент и какая переменная будет в него входить.

Коэффициентом общего множителя будет наибольший общий делитель коэффициентов буквенного выражения 10a+15a. Коэффициентами данного выражения являются числа 10 и 15, а их НОД это 5. Значит число 5 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определимся какая переменная будет входить в общий множитель. Для этого нужно посмотреть на выражение 10a+15a и найти буквенный сомножитель, который входит во все слагаемые. В данном случае, это сомножитель a. Этот сомножитель входит в каждое слагаемое выражения 10a+15a. Значит переменная a будет входить в буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки:

5a общий множитель для 15a и 10a

Теперь осталось вынести общий множитель 5a за скобки. Для этого разделим каждое слагаемое выражения 10a+15a на 5a. Для наглядности, коэффициенты и числа будем отделять значком ×

вынесение общего множителя в 10a и 15a.png

Проверим получившееся выражение на правильность. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a+15a

проверка выражения 5a на 2 плюс 3


Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа потому что ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.

Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 2a−2b. Здесь общим множителем, выносимым за скобку будет только число 2, а среди буквенных сомножителей общих множителей в выражении нет. Поэтому в данном случае будет вынесен только множитель 2

вынесение общего множителя 2a и 2b


Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x+9y+12

Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД это 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3

вынесение общего множителя в 3x 9y 12


Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x+6y+4z+10+2

Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД это 2. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2. А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2

вынесение множителя для 8x 8y 4z 10 2


Пример 4. Вынести общий множитель 6ab+18ab+3abc

Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД это 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b поскольку в выражении 6ab+18ab+3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab

вынесение лбщего множителя для 6ab 18 ab 3abc

Наверняка вы заметили, что при подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе.

Но допускается использовать прямое деление числителя на знаменатель. В этом случае ничего сокращать не нужно:

вынесение лбщего множителя для 6ab 18 ab 3abc коротко

Но лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. В этом случае выражение становится более аккуратнее и короче:

вынесение лбщего множителя для 6ab 18 ab 3abc еще короче


Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.

Например, вынесем общий за скобки в выражении −3a−2a.

Для удобства заменим вычитание сложением

−3a−2a = −3a + (−2a)

Общим множителем в данном выражении является множитель a. Но за скобки можно вынести не только a, но и −a. Его и вынесем за скобки:

вынесение множителя -3a и 2a второй способ

Получилось аккуратное выражение −a(3+2). Не следует забывать, что множитель −a на самом деле выглядел как −1a и после сокращения в обеих дробях переменных a, в знаменателях остались минус единицы. Поэтому в итоге и получаются положительные ответы в скобках

вынесение множителя из -3a -2a отрывок выражения


Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x−6y

Заменим вычитание сложением

−6x−6y = −6x+(−6y)

Вынесем за скобки −6

вынесение множителя -6x -6y

Запишем решение короче:

−6x−6y = −6(x+y)


Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a−4b−6c

Заменим вычитание сложением

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Вынесем за скобки −2

вынесение множителя в -2a-4b-6c

Запишем решение короче:

−2a − 4b − 6c = −2(a + 2b + 3c)


Вынесение общего множителя за скобки — очень важная тема. В данном уроке рассмотрены только азы и простейшие примеры. Мы ещё вернемся к этой теме, когда будем изучать многочлены.

Обязательно изучите данный урок поскольку в будущем при изучении многочленов потребуется выносить за скобки сложный множитель, состоящий из степеней.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 2. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 3. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 4. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 5. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 6. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 7. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 8. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 9. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 10. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 11. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 12. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 13. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 14. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 15. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 16. Вынесите минус за скобки в следующем выражении:
Задание 17. Вынесите минус за скобки в следующем выражении:
Задание 18. Вынесите минус за скобки в следующем выражении:
Задание 19. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:
Задание 20. Вынесите общий множитель за скобки в следующем выражении:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Вынесение общего множителя за скобки: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *