Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже надо соблюдать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приводит к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, крыши домов улетают от сильного ветра, качество связи снижается.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства возможно вам уже знакомы. Но не мешает вспомнить их еще раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровняться, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма будет равна

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем любых два числа. Пусть а = 2, = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а,  число 3 место b

переместительный закон сложения в картинке


Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для наглядности сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, чтобы указать, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо сначала сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)


Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x


Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

2 на 3 на 4 первый вариант решения

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

2 на 3 на 4 первый второй решения

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

2 на 3 на 4 первый итог

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)


Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

1 на 2 на 3 на 4 итог


Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

распределительный закон умножения в картинке

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

a plus b na c рисунок

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b


Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25


Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20


Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
3 × (7 + 8)
Решение:
3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45
Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
5 × (6 + 8)
Решение:
5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70
Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81
Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)
Решение:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано

60 thoughts on “Законы математики”

  1. Наконец-то нашла самый идеальный сайт , но нет продолжения. Пожалуйста не останавливайтесь на этом. Вы мне так нужны!

    1. Спасибо, Алия!
      Да, новые уроки в процессе создания. Скоро они будут размещены на сайте.

      1. Спасибо. Продолжаю заниматься. Удачи и добра вам. Терпения и усидчивости мне.

      2. ребята ! огроменнейшее спасибо, вы просто герои. во времена тотального невежества ваш сайт просто спасательный круг. не бросайте нас. с бесконечным уважением ваш почитатель Блохин Сергей

        1. Полностью с вами согласен, Сергей и Алия. Сайт замечательный, но для хотя бы уровня ЕГЭ этого мало , здесь только правила до класса 8…
          Прошу прокачать уроки примерно до этого уровня, дальше конечно по вашему желанию!)

      3. Админу огромное спасибо ,выучил фундамент за пол часа ,хотя сам не увлекался математикой ,и в правду останавливайтесь

  2. Замечательный сайт!
    Всё подробно и понятно расписано. Продолжайте в том же духе, нужно больше информации.

  3. Спасибо большое . Лучший сайт . Готовлюсь к поступлению в универ . Учу математику с нуля. Спасаете . Ещё раз спасибо . Буду ждать новые уроки

  4. Спасибо! Математика нужна всегда и везде! Очень доходчиво объясняете!

  5. Спасибо вам огромное,мне скоро поступать на программиста,а математика очень необходима,так как только с ней проблема, спасибо вам огромное,не останавливайтесь,вы очень нам нужны.
    P.S а почему бы вам не оставить свои кошельки на сайте? Думаю,многие люди смогут так вас отблагодарить за ваш труд.

  6. Огромное человеческое спасибо Вам! Вы делаете большое и очень доброе дело.

    1. Мовсар вы не правы зачем обижаете человека очень доходчиво и четко и понятно все пишет,долгих вам лет жизни многоуважаемый составитель сайта.

  7. Скажите пожалуйста из чего вытекают законы порядка действий? Почему, например, сначала выполняются действия умножения или деления, а только потом сложения и вычитания для выражений? Это вытекает из самих законов математики? Тогда где можно найти математическое обоснование этому? Или просто так договорились люди?

    1. вытекает из самой физики. механики над конкретными предметами — неверите? проверьте сами

  8. Я бы добавил названия законов — дистрибутивный, коммутативный, ассоциативный. В физмат шуолах дают именно эти названия. Мне нравится идея проекта — не подстраиваться под учебники, программы. Давайте пожалуйста максимально полную, избыточную информацию. Также иногда хочется прочитать интересные истории. Кто это придумал, как считали до этого? Как менялась запись со временем?

  9. Очень доходчиво и простым способом обясняете! Сайт супер! Продолжайте в том же духе! Спасибо Вам и всех благ!!!

  10. Спасибо вам огромное за сайт,пожалуйста не останавливайтесь на этом,желаю вам счастье и удачи во всех ваших делах.

  11. извините, сайт конечно очень крут. Но, не могли бы, вы добавить уроки по тригонометрия? Заранее, спасибо.

  12. отлично!!! ВСЕ СУПЕР!! спасибо автору , весьма понятно и очень удобно … С нетерпением жду новых уроков.ПОБЫСТРЕЕЕЕ!!!

  13. Дорогой автор! Подскажите,пожалуйста,какой — нибудь ресурс,подобный вашему, для изучения геометрии с нуля.

    1. Здравствуйте, Анна!
      К сожалению, я не знаю есть ли ресурс на котором можно изучать геометрию.
      Могу только посоветовать школьные учебники Киселева и Погорелова.

  14. Здравствуйте! Admin, подскажите пожалуйста, учебники каких авторов Вы рекомендуете для изучения математики?

  15. И ещё вопрос.
    Почему «множимое»? Почему не «первый множитель» и «второй множитель»? У нас в школе так.

    1. Разницы нету. Множимое и множитель вместе называются сомножителями. Просто на начальных этапах изучения математики удобно первый сомножитель называть множимым. Подробно об этом написано здесь в теме «запись выражений содержащих умножение и деление».

  16. Всегда был с математикой и алгеброй на «вы», теперь же, благодаря вам, все больше на «ты». Ну очень подробно и понятно, школьные учителя — «отдыхают».
    Спас-ибо вам огромное!

  17. Тупые законы, ни о чем, ничто не развивают, в советское время было 2 закона: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, также и с умножением, в скобках действие выполняют первым, и ВСЕ, от этого плясали, развивали самостоятельное мышление, творчество.

  18. Я возможно ошибаюсь, но пропущен второй раздел про умножение (сочетательный закон).

    1. Не ошиблись. Тема действительно отсутствует. Дело в том, что этот урок еще не закончен. Нужно дополнить его некоторыми вещами и заданиями для самостоятельного решения.

  19. А где же описание сочетательного закона умножения? Переместительный описан, распределительный описан, а сочетательный — нет. Дополните, пожалуйста урок. Спасибо.

  20. Огромное СПАСИБО. Нигде не мог найти такой сайт или книгу где всё так хорошо объясняют. Если и находил, то там были только формулы и способы их решения, объяснения принципов вычисления выражений равнялись 0.

  21. Когда создам свой сайт, в благодарность за ваши труды выложу ссылки на ваш♦☻♦

  22. Админ, если это возможно: поставь кнопки на следующий\ предыдущий урок перед коментами, а не после, я понимаю что есть за и против этого, но хочется поглощать информацию базовых уроков линейно, не отвлекаясь на коменты.

  23. Формулировка распределительного закона умножения:

    Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму,

    мягко говоря расплывчата, а по существу неправильна.

    Скорее будет верна формулировка:

    Распределительный закон умножения позволяет вместо умножения суммы на число, умножить каждое слагаемое по отдельности на число, после чего результат сложить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *